Czy wszystkie wielkości należy obliczać dokładnie?, Schematy z Fizyka

Pobierz Czy wszystkie wielkości należy obliczać dokładnie? i więcej Schematy w PDF z Fizyka tylko na Docsity! Czy wszystkie wielkości należy obliczać dokładnie? Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela Czy to nie ciekawe? Fizycy zajmują się wieloma aspektami życia ludzkiego. Z jednej strony planują radioterapię onkologiczną, z drugiej zaś – szacują prędkość spadającego przedmiotu, czy drogę hamowania pędzącego samochodu. Pytanie zatem, czy zawsze powinni wszystko określać dokładnie? A może mogą pozwolić sobie na przybliżone obliczenia? Odpowiedzi na te i wiele innych pytań poznasz czytając niniejszy materiał. Dodatkowo przypomnisz sobie reguły matematyczne rządzące zaokrąglaniem. Czy wszystkie wielkości należy obliczać dokładnie? Zaokrąglając wyniki do wybranej z nich, kierujemy się dwiema regułami: gdy następna cyfra po tej, do której zaokrąglamy jest mniejsza od 5 (czyli równa 0, 1, 2, 3 lub 4), to zaokrąglamy w dół (czyli z tak zwanym niedomiarem) – po prostu „odcinając” końcówkę jeżeli cyfra po tej, do której zaokrąglamy jest większa lub równa 5 (5, 6, 7, 8 lub 9), to zaokrąglamy w górę (z nadmiarem) – „odcinając” końcówkę dodajemy wówczas jeden do ostatniej cyfry. Cyfry znaczące - formalizm rachunku niepewności pomiarowej Czym są cyfry znaczące? Według definicji są to wszystkie cyfry (oprócz zer na początku), których rząd jest większy od niepewności pomiarowej. Nie martwmy się jednak, jeśli niewiele nam mówi to pojęcie. Bardziej obrazowo możemy wytłumaczyć je na prostym przykładzie. Wyobraźmy sobie, że wykonujemy pomiar, którego wynikiem jest 321,57 cm. Niepewność pomiaru wynosi zaś 0,1 cm. Zatem – według definicji – cyframi znaczącymi będą: trzy, dwa, jeden i pięć. Ilość cyfr znaczących określa się licząc od lewej strony z pominięciem występujących na początku zer, zatem liczba 1,23 ma trzy cyfry znaczące, zaś 0,052 – dwie. Jak to się ma do fizyki? Podając zmierzoną wielkość, zapisujemy liczbę oraz jej niepewność (także jednostki wyniku). Według ogólnie przyjętych zasad niepewność zaokrągla się do dwóch cyfr znaczących. Następnie, liczbę otrzymaną w wyniku pomiaru (bezpośredniego lub pośredniego) zaokrągla się do tej samej cyfry, do której wcześniej zaokrągliliśmy niepewność. Brzmi to trochę magicznie, ale jeśli przyjrzymy się temu dokładniej, okaże się proste. Przykład W wyniku pomiaru wyznaczyliśmy wielkość wraz z niepewnością . W jaki sposób dokonać zaokrągleń? Należy zaokrąglić niepewność do dwóch cyfr znaczących: . W tym przypadku jest to zaokrąglenie do części setnych metra na sekundę kwadrat. Następnie zaokrąglamy wynik do tej samej cyfry, czyli do setnych części metra na sekundę kwadrat: . Cyfry znaczące - zdrowy rozsądek, praktyka i potrzeba Wiemy już, jak zapisywać i zaokrąglać liczby będące wynikami pomiarów. Każdą wielkość można podać z większym lub mniejszym przybliżeniem. W życiu codziennym bardzo często stosujemy zaokrąglenia, przybliżenia czy szacujemy pewne wielkości. Jednak nie zawsze g = 9,876258 m s 2 u(g) = 0,325 m s 2 u(g) = 0,33 m s 2 g = 9,88 m s 2 można tak postępować. Należy kierować się zdrowym rozsądkiem biorąc pod uwagę to, jaki jest cel postępowania. Podobnie w fizyce. Przyjrzyjmy się kilku przykładom. Dwa przykłady – obliczanie masy 1. Jeśli mamy za zadanie wyznaczyć masę samochodu poruszającego się z określonym przyspieszeniem a pod wpływem siły F, możemy podać wynik z dokładnością nawet do kilku procent. Przeszacowanie czy niedoszacowanie masy półtoratonowego samochodu o kilkadziesiąt kilogramów nie musi mieć wielkiego znaczenia. Kto zaś wynik dzielenia 4700 N przez 2,9 m/s  (w takim zadaniu) podałby jako 1 620,689655 kg, naraziłby się na śmieszność. Nawet wynik 1621 kg wygląda „podejrzanie”. Bardziej zgodne ze zdrowym rozsądkiem jest 1620 kg albo wręcz 1600 kg. 2. Jeśli jednak będziemy obliczać defekt masy jądra atomowego (Rys. 2.), musimy przyjąć większą dokładność, niż jeden procent. 4He2 p n γ γ n 2mn + 2mp > mHe p Rys. 2. Schemat hipotetycznej reakcji, w której z dwóch neutronów i dwóch protonów powstaje jądro He. Suma mas substratów tej reakcji jest większa od masy produktów, jeśli przyjmiemy, że fotony są bezmasowe Gdy obliczamy defekt masy jądra  przyjmujemy największą dokładność dostępną w tablicach. Masa produktu ( ) wynosi Jądro to zawiera dwa protony o masie i dwa neutrony o masie . Zatem suma mas nukleonów (składników jądra) to , a deficyt masy to: 2 4 2 He 4 2 He m4 2 He = 4, 00150 u. m p = 1, 00727 u m n = 1, 00866 u 4,03186 u Δm = 2m p + 2m n − m4 2 He = 0, 03036 u Gdybyśmy zaś zastosowali zaokrąglenia do dwóch cyfr znaczących: dałoby nam - w tym przybliżeniu - deficyt masy zerowy: i uniemożliwiłoby przeprowadzanie dalszych obliczeń i wyciąganie wniosków. Podsumowanie Nie tylko w fizyce jądrowej, ale także i w innych dziedzinach nauki i techniki, nie można swobodnie stosować zaokrągleń. Z jednej strony ważna może być jak największa dokładność, dostępna w zadanych warunkach. Z drugiej strony zdrowy rozsądek  i praktyka podpowiadają, że wynik w postaci „harmonii cyfr” może być nieczytelny, a przez to nie tylko nieużyteczny ale czasami także mylący.  Doskonałym przykładem jest tutaj fizyka medyczna. Specjalistę z tej dziedziny spotkać można w każdym szpitalu. To właśnie on odpowiada, między innymi, za prawidłowe działania sprzętu służącego do obrazowania, a w przypadku planowania leczenia – ustalaniem sposobu i dawki, jaką zostanie napromieniowany pacjent. Nawet kilkumilimetrowe przesunięcie może być wtedy niebezpieczne – z tego względu wykonując obliczenia unika on przybliżeń i zaokrągleń, jeśli to tylko możliwe. Jak widać powyżej, każdą wielkość można zmierzyć, obliczyć lub po prostu podać z mniejszą bądź większą dokładnością. Decyzja o tym, jak postąpimy, zależy przede wszystkim od sytuacji. W fizyce, tak jak i w życiu codziennym, musimy dokonywać wyborów zarówno uwzględniając wymagania formalne, jak i zdroworozsądkowo. Niepewność pomiaru, zaokrągloną do dwóch cyfr znaczących,  przyjmuje się jako wzorzec i przybliża się mierzone wielkości zgodnie z tą niepewnością. W niektórych jednak przypadkach należy zastanowić się, czy większa dokładność nie będzie korzystniejsza. Wtedy jednak musimy powtórzyć pomiar i uzyskać mniejszą jego niepewność. Słowniczek cyfry znaczące (ang.: significant figures) wszystkie cyfry (oprócz zer na początku), których rząd jest większy od niepewności pomiarowej. Zaokrąglanie niepewności pomiarowej m4 2 He = 4, 00150u ≈ 4, 0u m p = 1, 00727u ≈ 1, 0u m n = 1, 00866u ≈ 1, 0u Δm = 2m p + 2m n − m4 2 He = 0 Polecenie 3 Rozwiązujesz następujące zadanie: „Oblicz długość ziemskiej orbity. Przyjmij, że światło dociera od Słońca do Ziemi w osiem minut, a prędkość światła to 300 000 km/s.” Wiesz (bo się tym interesujesz), że czas przelotu światła od Słońca do Ziemi to 8,317 minuty. Podaj dokładność, z jaką zaokrąglisz poszczególne wielkości, w tym liczbę Opisz także, jak zaokrąglisz uzyskany wynik. π. Uzupełnij Sprawdź się Pokaż ćwiczenia: 輸醙難 Ćwiczenie 1 Które z podanych wymiarów określisz z większą dokładnością. W każdej z par wskaż jedną. Masa jabłek zerwanych w przydomowym sadzie czy masa lekarstwa, które podasz choremu Dawka promieniowania jonizującego w czasie naświetlania czy dawka promieniowania UV w ciepły, letni dzień Szerokość kuchennej szai na wymiar czy długość patyka do podparcia pomidorów Ćwiczenie 2 Zaokrąglij podane liczby do cyfry jedności. 736,65 10,2563 0,0325 輸 輸 Ćwiczenie 3 Wskaż te liczby, które zostały zapisane z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. 0,5 1,05 2,57 0,40 0,00057 0,054 Ćwiczenie 4 Zaokrąglij podane liczby z dokładnością do trzech cyfr znaczących. 27560,52 3,0056833 1033560,0256 0,00073652 Ćwiczenie 5 Z jaką dokładnością podano każdą z tych liczb? 27400 0,027 1,023 72,3460 do sześciu cyfr znaczących do trzech cyfr znaczących do dwóch cyfr znaczących do pięciu cyfr znaczących nie da się tego stwierdzić do czterech cyfr znaczących       輸 輸 醙 Cele operacyjne: Uczeń: 1. dowie się, jakie wielkości oblicza się dokładnie; 2. zrozumie, kiedy można stosować zaokrąglenia; 3. przypomni sobie, jak zaokrągla się liczby; 4. dowie się, czym są cyfry znaczące; 5. nauczy się stosować poznaną wiedzę do rozwiązywania problemów praktycznych. Strategie nauczania: flipped classroom Metody nauczania: merytoryczna dyskusja wprowadzająca, obserwacja, rozmowa kierowana Formy zajęć: praca indywidualna, dyskusja grupowa Środki dydaktyczne: tablica multimedialna / rzutnik Materiały pomocnicze: - PRZEBIEG LEKCJI Faza wprowadzająca: Nauczyciel na wcześniejszej lekcji prosi uczniów o zapoznanie się z przygotowanymi materiałami (może to być niniejszy e‐materiał) oraz o przypomnienie informacji dotyczących zaokrąglania przyswojonych wcześniej na lekcjach matematyki. Na początku bieżącej lekcji nauczyciel rozpoczyna z uczniami dyskusję na temat tych materiałów, prosi ich o wskazanie kluczowych informacji w nich zawartych. Faza realizacyjna: Konstruowanie wiedzy z zakresu nowego tematu: – nauczyciel prosi uczniów o to, by przypomnieli reguły rządzące zaokrąglaniem, – uczniowie odpowiadając na prośbę nauczyciela przedstawiają reguły rządzące zaokrąglaniem liczb, – nauczyciel pyta uczniów, czy kojarzą pojęcie cyfr znaczących, – uczniowie odpowiadają na pytanie nauczyciela, – nauczyciel omawia z uczniami cyfry znaczące na podstawie konkretnych przykładów rachunkowych, – uczniowie zadają pytania dotyczące kwestii niezrozumiałych, – nauczyciel odpowiada na pytania uczniów. Kolejny etap lekcji obejmuje rekonstruowanie wiedzy uczniów: – uczniowie wykonują zadania wskazane przez nauczyciela (mogą to być zadania dołączone do niniejszego materiału), – nauczyciel sprawdza poprawność uczniowskich rozwiązań. Faza podsumowująca: Nauczyciel przeprowadza z uczniami rozmowę, podczas której omawiają rozwiązywane w trakcie lekcji zadania. Dodatkowo powinien sprowokować uczniów do wskazania problemów napotkanych w czasie samodzielnej pracy. Praca domowa: Zadaniem uczniów jest zapoznanie się z filmem samouczkiem dołączonym do niniejszego materiału oraz wykonanie trzech zadań wskazanych przez nauczyciela. Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania danego multimedium Film samouczek może być wykorzystany do samodzielnej pracy ucznia przed lub na lekcji.