Pobierz Doświadczenie Reynoldsa Ruch jednostajny i więcej Notatki w PDF z Analiza czasu i ruchu tylko na Docsity!
WYKŁAD 4
4. RUCH JEDNOSTAJNY
4.1. Doświadczenie Reynoldsa
Obserwacje ruchu cieczy rzeczywistej wykazują, że ruch ten przebiega w rozmaity sposób
zależnie od szeregu warunków. Charakter ruchu cieczy lepkiej bardzo wyraźnie ukazały
doświadczenia Reynoldsa polegające na obserwacji ruchu cieczy w przezroczystej rurze, w której
ciecz płynęła ruchem trwałym przy różnych prędkościach.
Dla małych przepływów i bardzo małych prędkości,
wprowadzony do przewodu barwnik porusza się wraz z cieczą w postaci pojedynczej nitki
równoległej do osi rurociągu i brak jest zauważalnego mieszania się zabarwionej cieczy z otaczającą
cieczą (rys.23a). Mimo kolejnego zwiększania prędkości obraz ruchu jest podobny aż do pewnej
określonej prędkości, po przekroczeniu której obraz się gwałtownie zmienia. Barwnik nie porusza się
już w postaci cienkiej nitki lecz rozpływa się i zabarwia cały strumień badanej cieczy (rys.23b).
Wskazuje to, że cząstki cieczy nie poruszają się wzdłuż torów równoległych lecz prócz kierunków
ruchu głównego wzdłuż osi rury, istnieją dodatkowe ruchy poprzeczne powodujące mieszanie się
wpuszczanego barwnika.
Rys. 23. Obraz przepływu barwnika
Opisane badanie wykazują wyraźnie, że
mamy do czynienia z dwoma rodzajami ruchu.
Ruch, przy którym cząsteczki cieczy poruszają
się po torach równoległych nazywany jest
ruchem warstwowym lub laminarnym. Drugi
rodzaj ruchu nazywany jest ruchem burzliwym
lub turbulentnym
Jeśli w rurociągu, w którym obserwowana
jest płynąca ciecz, będą zainstalowane w
pewnej odległości od siebie dwa piezometry, to
w warunkach ruchu ustalonego (trwałego, stała
prędkość ruchu cieczy) będzie można odczytać
różnicę ciśnień ( h), czyli straty energii na odcinku między piezometrami ( l ). Poza obserwacją obrazu
ruchu, możemy także zmierzyć i obliczyć charakterystyczne parametry, opisujące warunki
przeprowadzanego doświadczenia. Będą to następujące wielkości: prędkość średnia przepływu
cieczy v , otrzymana z bezpośredniego pomiaru objętości cieczy V wypływającej z rurociągu o znanej
średnicy w określonym czasie t, i jednostkowe straty energii h/l.
Wyniki pomiarów można nanieść na wykres. Otrzymaną krzywą można opisać równaniem
n
I a v
l
h
lub po logarytmowaniu obu stron równania w postaci lg I = lg a + n lg v.
Wykres uzyskanej krzywej w układzie współrzędnych logarytmicznych przedstawiono na rys.24.
W granicach prędkości od a do b prosta przebiega pod kątem 45°, tzn. wykładnik potęgowy n w
zależności opisującej tę krzywą wynosi 1, natomiast przy prędkościach powyżej granicy c wykładnik
ten przybiera wartość 2_._ W przedziale b - c, w tzw. obszarze przejściowym, punkty doświadczalne są
dość rozproszone i ich położenie zależy czy w trakcie przeprowadzania doświadczenia kolejno
zwiększaliśmy, czy zmniejszaliśmy prędkość. Prędkości określające ten obszar nazywane są dolną
lub górną prędkością graniczną.
Na podstawie rozważań o podobieństwie przepływów w rurociągach o różnej średnicy
stwierdzono, że granice obszaru przejściowego mogą być określone za pomocą bezwymiarowej
liczby zwanej liczbą Reynoldsa, którą definiujemy następująco
v
v d
Re =
gdzie v jest prędkością średnią w przekroju rurociągu, d jego średnicą a kinematyczny
Rys. 24
l
h
χ
A ρg o
τ
f = (37a)
gdzie ro - naprężenia styczne przy ściankach rurociągu, A - pole przekroju poprzecznego, - obwód
zwilżony a hf - straty wysokości ciśnienia na opory tarcia na długości rurociągu l.
Równanie (37a), przedstawiane jest w postaci
ρgR I o
τ = h (37b)
gdzie promień hydrauliczny Rh = A/ a spadek hydrauliczny (jednostkowe straty energii na
długości rurociągu) I = h/l. Równanie (37) nazywana jest podstawowym równaniem ruchu
jednostajnego, ważnym dla przewodów pod ciśnieniem i dla koryt otwartych.
r
r
o
o
W wielu przypadkach korzystne jest stosowanie pojęcia prędkości dynamicznej v x definiowanej
jako v (^) o / g 2 (^) * = , co pozwala zapisać
v = gRhI
2 *^ (38)
Powyżej przedstawione zależności ważne są dla ruchu laminarnego i burzliwego.
W praktycznym zastosowaniu najczęściej spotykana jest zależność w której występuje współczynnik
oporu liniowego , zwana wzorem Darcy-Weisbacha
g
v
R
l h h
f 4 2
2 = (39)
Warto zauważyć, że jest ono równoważne zależności( ) 8
2 v * v = .
4.3. Rozkład prędkości w ruchu laminarnym
Dla ruchu jednostajnego ustalonego, wychodząc z newtonowskiej definicji lepkości cieczy
dy
du
= (str. 2) oraz równania (37b), można na drodze teoretycznej wyprowadzić równanie
określające rozkład prędkości w przekroju poprzecznym. Dla rurociągów o przekroju kołowym
równanie to można przedstawić w postaci
( )
2
Re 1
d
r
v
u
u
ur
gdzie u(r) jest prędkością w odległości promienia r mierzonego od osi przewodu (rys.26) a liczba
Reynoldsa Re = vdv *.
Dla kanału otwartego, bardzo szerokiego równanie rozkładu prędkości ma postać
( )
−
h
y
h
u y
u
u y Re 2 8
(^1) *
gdzie u(y) prędkość w odległości pionowej y mierzonej od dna kanału (rys. 27), h jest głębokością
napełnienia koryta a liczna Reynoldsa Re = v (4 Rh) /v. Dla kanału bardzo szerokiego przyjmuje się
promień hydrauliczny R h = h. Równanie (40) i (41) są zależnościami kwadratowymi tzn. wykresy
prędkości są parabolami, charakterystycznymi dla ruchu jednostajnego laminarnego (rys. 28).
Rys. 27 Rys. 28
4.4. Rozkład prędkości w ruchu burzliwym
Mechanizm strumienia burzliwego jest nadzwyczaj złożony. Ruch cząsteczek cieczy w takim
Rys. 26
stąd
= =
t T
t
x uxdt T
u (43)
czyli uśredniona w czasie prędkość pulsacji jest równa zero.
Rozpatrzmy przypadek ruchu płaskiego, z tak
przyjętym układem współrzędnych, że ruch cieczy
odbywa się w kierunku osi x , wtenczas uśredniona
w czasie składowa prędkości w kierunku osi y
uy = 0 - wektor chwilowej prędkości oraz
wszystkie składowe tego wektora pokazano na
rys.30.
W quasi-ustalonym strumieniu burzliwym cząstka cieczy prócz ruchu postępowego w kierunku
ruchu głównego, doznaje jeszcze przemieszczeń poprzecznych. Badanie tego ruchu sprowadza się
najczęściej do określenia charakterystyk burzliwości i powiązania ich z prędkością uśrednioną. Tę
drogę poszukiwań nazywa się półempiryczną teorią burzliwości.
Zgodnie z teorią Prandtla , jeśli elementarna masa cieczy przy przemieszczaniu w kierunku
poprzecznym przejdzie na odległość l , to nastąpi zmieszanie danej masy z masą otaczającą,
powodując zmianę wektora ilości ruchu danej masy.
Wskutek istnienia
prędkości pulsacji
istnieje chwilowy
przepływ przez pole A
(rys. 31). Cząsteczki
przepływają z punktu,
gdzie jest prędkość
ux ( y ) do punktu gdzie
( ) ( )
dy
du
u y u y l
x
x +^1 ' = x + ^ (44)
Przez powierzchnię A w czasie t przepływa masa cieczy
Rys. 30
Rys. 31
m = u y A t (45)
Jeśli masa m , która w danej chwili ma prędkość pulsacji ux' po przejściu przez poletko zostanie
jej pozbawiona, to znaczy, że nastąpi zmiana pędu o wartość
m u ' (^) x =− u ' xu ' y A t (46)
Zmiana ilości ruchu (pędu) w kierunku osi x musiała być spowodowana pewną siłą F działającą
w tym kierunku (tzn. stycznie do głównego kierunku ruchu). W oparciu o zasadę ilości ruchu
− u ' xu ' y A t = F t (47)
Dzieląc powyższe wyrażenie przez A t , otrzymujemy
puls uxuy A
F
Uwzględniając odpowiednie zależności między składowymi prędkości pulsacji otrzymujemy
2 2
dy
du l x
puls (49)
gdzie l jest tzw. drogą mieszania.
Wyznaczone powyżej naprężenie styczne wywołane pulsacją prędkości występuje niezależnie
od rozpatrywanych poprzednio naprężeń stycznych powstających dzięki lepkości cieczy, a zatem
całkowite naprężenie styczne jako jednostkowa siła oporu ruchu, występujące przy pulsacyjnym
ruchu burzliwym cieczy lepkiej równa się
2 2
dy
du l dy
du (^) x x
Przy ruchu laminarnym l = 0 , przy ruchu w pełni burzliwym pierwszy człon jest bardzo mały
w porównaniu z drugim i naprężenia styczne stają się proporcjonalne do kwadratu prędkości co
określane jest zwykle jako obszar kwadratowego prawa oporu.
Przyjmując w równaniu (50) wyrażenie dy
du l 2 x
= , gdzie jest tzw. współczynnikiem
burzliwej wymiany , równanie to można sprowadzi do postaci
Prostą zależność między współczynnikiem oporów liniowych a liczbą Reynoldsa można
otrzymać poprzez całkowanie równania (40) w polu przekroju poprzecznego rurociągu,
prostopadłego do wektorów prędkości, skąd otrzymamy
v 2
Re
gd
l oraz hf
Zależności te ważne są wyłącznie w obszarze ruchu laminarnego tj. w granicach Re 2300.
5.3. Opory ruchu rurociągów hydraulicznie gładkich
W obszarze przejściowym, w granicach między ruchem laminarnym a ruchem w pełni
burzliwym dla rurociągów hydraulicznie gładkich może być stosowany empiryczny wzór Blasiusa w
postaci
1 / 4 0 , 316 Re −
Zależność ta może być stosowana w przedziale 4000 < Re < 100 000.
5.4. Opory liniowe w obszarze ruchu burzliwego
Pośród bardzo wielu formuł empirycznych, opisujących zależność współczynnika oporu
liniowego, należy wyróżnić wzór Colebrooka i White'a w postaci
Re^3 ,^71 d
2 lg
gdzie = ks czyli szorstkość bezwzględna rurociągu o średnicy d. Wzór ten, wyprowadzony wprost
z równania rozkładu prędkości typu logarytmicznego uważany jest za bardzo wiernie opisujący
wyniki doświadczeń. Prostsza w zastosowaniu w praktyce jest formuła Moodyego :
6 1 /^3
Re
d
l
Zależność ta została opracowana w postaci diagramów do wygodnych w praktycznym
zastosowaniu (rys.33).
Jeszcze bardziej korzystna w zastosowaniu jest uproszczona formuła Altszula w postaci
0 , 25 0 , 25
Re
Re
= r + r (58)
gdzie r jest szorstkością względną
d
r
Na rys.33 (wykres Colebrooka - White'a) liniami przerywanymi zaznaczono krzywe ograniczające
zmienność współczynnika w przejściowym obszarze ruchu. Według Czugajewa liczby Reynoldsa
odpowiadające temu obszarowi określone są jako (Re)'gran < Re < (Re)''gran. W przypadku gdy
zachodzi zależność 4000 Re (Re)'gran należy stosować w praktyce zależności dla rurociągów
gładkich, natomiast dla Re (Re)''gran znajdujemy się w obszarze kwadratowej zależności oporów
ruchu, czyli ruchu w pełni burzliwego. Wg Czugajewa można przyjmować następujące graniczne
wartości liczb Reynoldsa:
dolne wartości (^ ) r
gran
Re
górne wartości (^ ) r
gran
Re (60)
gdzie r jest szorstkością względną.
5.5. Straty miejscowe (lokalne)
Dodatkowe straty energii występują przy każdej zmianie prędkości przepływu cieczy tzn. przy
zmianie ilości ruchu (pędu) straty te obliczamy z formuły
g
hm 2
2 v
gdzie - współczynnik strat miejscowych, zależny od geometrii przewodu powodującej zmiany
prędkości i wywołujące dodatkową burzliwość ruchu, v - średnia prędkość wody w przewodzie
wyznaczona zwykle dla przekroju znajdującego się poniżej przeszkody.
