Pobierz DRGANIA I FALE i więcej Publikacje w PDF z Akustyka tylko na Docsity!
DRGANIA I FALE • Ruchem drgający – ruch lub zmianę^ stanu, które charakteryzuje powtarzalno
ść^ w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. • Fale – różnego rodzaju zaburzenia stanu materii lub pola rozchodz
ące się^ w przestrzeni.
-^ Wspólną^ cechą^ wszystkich zjawisk falowych jest zdolno
ść^ przenoszenia energii. Drganie harmoniczne
Jeżeli układ, na który nie działają^ zmienne si
ły zewnętrzne, zostaje wprawiony w drgania na skutek jakiegokolwiek początkowego odchylenia od po
łożenia równowagi, to takie drgania nazywamy swobodnymi****. Ruch drgający nazywamy okresowym (periodycznym), je
żeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się^ podczas drgań, powtarzają^ si
ę^ w pewnych odstępach czasu****. Dla drgań^ harmonicznych zależność^ drgań^ wielko
ści fizycznej od czasu^ t^ opisujemy^ )tcos(As^ φ^ ω^ += (8.1) o
gdzie^ A^ – amplituda,ω^ – częstość^ kątowa,ο^ ϕ^ – faza początkowa drgań, ω^ t +^ ϕ^ – faza drgań^ w chwili czasu^ t .ο
Określone stany układu powtarzają^ się^ w odst
ępie czasu^ T^ nazywanym okresem drgań , w którym faza drgań^ wzrasta o 2π, t.j.
π φ ω φ ω 2 ++=++ )t()Tt( oo
stąd
π 2 T = (8.2) ω^ o
Częstotliwość^ drgań
1 =ν (8.3) T
Porównując (8.2) i (8.3) otrzymujemy
νπ ω 2 = (8.4) o
Jednostką^ częstotliwości jest hertz (1Hz) – jest to cz
ęstotliwość^ periodycznych drgań^ w których jeden cykl wykonywany jest w 1s.Pierwszą^ i druga pochodna po czasie wielkości^
s^ π ds ⎞⎛^ ++=+−= ϕωωφωω tcosA)tsin(A^ ⎟⎜ oooo^2 dt ⎠⎝
(8.5) ( )πϕωω 2 sd^22 ϕωω^ ++−=+−=^ tcosA)tcos(Aoooo^^2 dt
Metoda wykresów fazowych^ Druga ωo^ ϕ 0 x s^ Rys. 8.2. Metoda wykresów fazowych.
metoda^ opisu^ drgań^ harmonicznych (liczby zespolone).^ (^ )ϕω^ + ti^ o =^ Aes^ (8.8)Część rzeczywista tego wyrażenia^ s)tcos(AsRe^ =+=^ ϕ^ ω o^ przedstawia drganie harmoniczne.Przyjmuje się,^ że^ drgająca wielkość^ s^ równa jestczęści rzeczywistej wyrażenia zespolonego^ (8.8),czyli (^ )ϕω^ + ti^ o =^ Aes^ (8.9)
Mechaniczne drgania harmoniczne Oscylatorem harmonicznym nazywamy układ opisywany równaniem (8.7).Przykłady oscylatora harmonicznego: • wahadło sprężynowe, fizyczne i matematyczne, • drgające obwody elektryczne.Wahadło sprężynowe wykonuje drgania harmoniczne pod wpływem siły spr
ężystości^ F = –kx , gdzie^ k jest współczynnikiem sprężystości. Równanie ruchu dla wahadła^2 xd^ kxm^ −=^2 dt
2 kxd czyli 0 =+^ x^2 mdt Porównując to wyrażenie do równania (8.7) wynika,
że wahadło sprężynowe wykonuje drgania harmoniczne^ )tcos(Ax^^ ϕ^ ω^ +=^ z częstością^ o
kołową k =ω (8.10) o m
i okresem
kT π 2 = (8.11) m
Wzór (8.11) jest słuszny dla drgań^ sprężystych w których spe
łnione jest prawo Hooke'a, kiedy masa sprężyny jest mała w porównaniu z masą^ ciała.
Elektryczne drgania harmoniczne t = (1/4)T^ t = 0 t = (1/2)T^ +Q-Q -Q+Q
t = (3/4)T (a)^ (b)^
(c)^ (d) (^2) ( ) (^) QC (^21) W = (^222) ( ) (^) LI (^21) W = (^ )^ LI^21 W^ =(^ )^ QC^21 W^ =oo Rys. 8.3. Przebieg drgań^ elektrycznych w obwodzie LC. Rozważmy obwód elektryczny^ RLC^ zawierający cewk
ę^ o indukcyjności^ L , kondensator o pojemności C^ i rezystor o rezystancji^ R. Z prawa Kirchoffa mamy
EVIR =+^ sc gdzie:^ IR^ – napięcie na rezystorze,^ C/QV =^ – napięcie na kondensatorze, a c^ dt/LdIE^ −=^ SEM^ indukcji. s^
Więc
QdI^0 =++ IRLCdt (^22) A ponieważ I = dQ/dt oraz dt/Qddt/dI = , otrzymujemy 21 dQRQd^0 =++^ Q (8.15)^2 LCdtLdt Jeżeli^ R^ = 0 to otrzymujemy równanie różniczkowe swobodnych drga
ń^ harmonicznych 21 Qd (^0) =+ Q 2 LCdt Ładunek wykonuje drgania harmoniczne
(^ )ϕω^ += tcosQQ (8.16) oo Częstość^ drgań^ własnych
1 =ω (8.17) o LC
Okres drgań
LCT π 2 = (8.18)
Składanie drgań^ harmonicznych równoległycho jednakowej częstości. Dudnienie^ Dokonamy^ złożenia A 2 A^ ϕ ϕ-^1 2 ϕAϕ 2 1 ϕ 1 xO x^ x 21 x Rys. 8.4. Wektorowa metoda składania drgań.
drgań^ harmonicznych^ o jednakowych częstotliwościach^ (^ )^ ϕ^ ω^ += tcosAx^111 o^ (^ )^ ϕ^ ω^ += tcosAx^222 o Równanie drgania wypadkowego ma postać^ (^ )ϕω^ +=+= tcosAxxx (8.21) o (^21) gdzie amplituda A i^ faza^ ϕ^ są^ określonewyrażeniami 222 (^ ) 2 ϕϕ^ −++= cosAAAAA (8.22)^122121 ϕϕ sinAsinA +^2211 ϕ (^) tg = (8.23)^ ϕϕ cosAcosA +^2211
Ciało biorące udział^ w dwóch drganiach harmonicznych o jednakowych kierunkach wykonuje tak
że
drgania harmoniczne w tym kierunku i o tej samej cz
ęstotliwości co drgania składowe.
Amplituda drgania wypadkowego: •^ gdy^ ...),,m(m^^2102 =±=−πϕϕ^ , wówczas^12
AAA^ +=^21
-^ gdy^ ...),,m(1)+m(^^2102 =±=−πϕϕ^ , wówczas^12
AAA^ +=^21 Dudnienie Rozważymy dwa dodawane drgania równoległe nieznacznie ró
żniące się^ częstotliwościami drgań. Niech amplitudy składanych drgań^ będą^ równe^
A , a ich częstości kołowe^ ω^ i^ ω^ +^ Δω^ przy czym
Δω^ <<
ω.^ Przyjmijmy,^ że fazy początkowe drgań^ są^ zerowe, wówczas
tcosAx ω= 1^ t)cos(Ax^ ωΔ ω += 2
Uwzględniając^ że^ ω^ ωΔ^ <<^2 /^ , znajdujemy
ωΔ ⎞⎛^ tcostcosAx^ ω= 2 (8.24)⎟⎜ 2 ⎠⎝
Otrzymane wyrażenie jest iloczynem modulowanej amplitudy
ωΔ ~^ tcosAA 2 = (8.25) 2
Składanie drgań^ wzajemnie prostopad
łych
Rozważmy^ złożenie^ dwóch^ drgań^ harmonicznych
o^ jednakowej^ częstości^ ω,^ zachodzących^
w kierunkach wzajemnie prostopadłych wzdłuż^ osi
x^ i^ y. Dla prostoty przyjmiemy,^ że faza początkowa pierwszego drgania jest zerowa:
tcosAx ω=^ (8.26)^ )tcos(By^ ϕω+=
Zapisując drganie składowe w postaci
yx^ ϕωϕωω sintsincostcos;tcos −== BA
i uwzględniając,^ że
2 x ⎞⎛ 1 −= tsin ω⎟⎜ A ⎠⎝
otrzymujemy po prostych przekształceniach równanie elipsy
(^22 2) yxyx^2 ϕ sin =+− (8.27) (^22) ABBA Otrzymaliśmy przypadek tak zwanych drgań^ eliptycznie spolaryzowanych.Orientacja osi elipsy i jej rozmiary zależą^ od amplitud drga
ń^ składowych i różnicy faz^ ϕ.
Rozpatrzymy niektóre szczególe przypadki: •^ (^ ) ,...,,mm^^210 ±±==πϕ^ w tym przypadku elipsa degeneruje się^ do odcinka prostej
B^ xy ±= (8.28) A gdzie znak + odpowiada zeru i parzystym warto
ściom^ m^ (rys. 8.6a), a znak – nieparzystym wartościom^ m^ (rys. 8.6b). Wypadkowe drganie stanowi drganie harmoniczne o cz
ęstości^ ω^ i
(^2) amplitudzie ( ) 1 Ax − zachodzące^
wzdłuż^ prostej^ nachylonej^ pod^ kątem ( )[ ]π
ϕ^ mcosA/Barctg =^. W tym przypadku mamy drgania liniowo spolaryzowane.(a)^ (b) ,... (^4) , (^2) , (^0) m ±±= ,...^5 ,^3 ,^1 m^ ±±±= yy^ y BB^ B ϕ ϕ^ A^ Ax^ x^ x-A OA-A -B -B^ (c) Rys. 8.6. Superpozycja drgań^ harmonicznych wzajemnie prostopad
łych o różnych amplitudachi jednakowych częstościach.
Krzywe Lissajous : przykład^ (^ )ϕω^ +=^ tsinAx^^1 (^ ) tsinAy^^ ω=^2 Poniżej zamieszczono przykłady krzywych Lissajous o parametrach
Drgania swobodne tłumione Wszystkie rzeczywiste układy drgające są^ układami rozpraszającymi energię. W wielu przypadkachzanikania drgań mechanicznych siły tarcia są^ proporcjonalne do prędkości^ rvF −= t^ gdzie r jest współczynnikiem oporu. Wówczas równanie ruchu^2 dssdrksm^ −−=^2^ dtdt gdzie m jest masą ciała drgającego,^ ks^ siłą^ zwrotną^ sprężyny a^ r(ds/dt)^ siłą^ tarcia. Otrzymujemy wi
ęc 0 2 kdsrsd^ =++^ s^2 mdtmdt
czyli 2 dssd^202 =++^ s^ ωδ^ (8.31) o^2 dtdt
gdzie^ const =δ^ jest współczynnikiem pochłaniania,^ ω^ częstością^ nietłumionych drgań^ swobodnych uk^ o
ładu (^ δ^ = 0).
Ao A^1 A^2
δ− t(^ )ϕ+ω= tcoseAs o^ tδ−eAA^ −=o^ texpAA^ δ−−=o^
s, A T^ Rys. 8.7. Drgania swobodne tłumione. Drgania tłumione nie są^ harmonicznymi, ponieważ^ drgania nie powtarzaj
ą^ się. Dlatego wielkość^ ω
możemy tylko umownie nazwać^ częstością^ kołow
ą^ drgań^ tłumionych^22 ππ== T^22 ω^ δω−^ o
Jeżeli^ A(t)^ i^ A(t+T)^ są^ amplitudami^ dwóch kolejnych^ drgań^ odpowiadających^ chwilom^
czasu
różniących się^ o umowny okres drgań, to stosunek
)t(A^ T^ δ e = )Tt(A + nazywamy^ dekrementem tłumienia , a jego logarytm
T)t(A δΘ Tln === (8.37)^ τ )Tt(A +
logarytmicznym dekrementem tłumienia. W celu scharakteryzowania drgającego układu wprowadzono poj
ęcie dobroci^ Q , która dla małych wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia jest równa
ωππ^ oQ === (8.38)^ δδΘ^2 To
Dla wahadła sprężynowego, porównując równanie (8.30) z równaniem (8.31) mamy
r =δ (8.39)^ m 2
oraz
t δ −^ )tcos(eAs^ ϕω+= o
gdzie
(^2) r 2 −=ωω o^24 m
