Drugie prawo Keplera i owale Newtona. Kontrowersje wokół ..., Ćwiczenia z Historia

Pobierz Drugie prawo Keplera i owale Newtona. Kontrowersje wokół ... i więcej Ćwiczenia w PDF z Historia tylko na Docsity! po obu stronach daje rozwiązanie: gęstość ciśnienie m/M r/R 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,1 Wykres dla n = 3 Parametry gwiazd politropowych: n ξ1 µ1 ρc 〈ρ〉 0,0 2,44949 4,89898 1,00000 0,5 2,75270 3,78865 1,83514 1,0 3,14159 3,14159 3,28987 1,5 3,65375 2,71406 5,99070 2,0 4,35287 2,41105 11,40254 2,5 5,35528 2,18720 23,40646 3,0 6,89685 2,01824 54,18248 3,5 9,53581 1,89056 152,88366 4,0 14,97155 1,79723 622,40788 4,5 31,83646 1,73780 6189,47313 5,0 ∞ 1,73205 ∞ Wynik dla n = 5 pochodzi z rozwiązania analitycznego. (7) µ = −ξ2 dθ dξ . Mając z obliczeń ξ1 i µ1 na powierzchni, rzeczywisty promień R i masę gwiazdy M obliczamy z (3), otrzymując R = rnξ1 ∼ ρ(1−n)/(2n) c i M = mnµ1 ∼ ρ(1−n/3) c . Eliminując ρc, otrzymujemy: (8) Mn−1R3−n = 1 4π [ K(n+ 1) G ]n µn−1 1 ξ3−n 1 = const. W podobny sposób średnia gęstość 〈ρ〉 to M/( 4 3πR 3) = 3ρcµ1/ξ 3 1 , skąd przy pomocy (4) (9) ρc 〈ρ〉 = ξ3 1 3µ1 oraz Pc ρc = Gmn (n+ 1)rn = GM (n+ 1)R ξ1 µ1 . Zależność 8 jest bardzo ważna i może być weryfikowana w oparciu o obserwacje astronomiczne. Odwracając problem, dla znanych M i R oraz n można obliczyć ρc i K. Z równania (8) wynika, że dla n = 3 gwiazda o danej masie zachowując równowagę mechaniczną (hydrostatyczną), może przyjmować różne promienie. Oznacza to, że jej równowaga jest obojętna. Można pokazać, że w równowadze trwałej są kule gazowe dla n < 3. Przykładem jest Ziemia o wnętrzu złożonym z ciekłych metali, gdzie gęstość praktycznie nie zmienia się z ciśnieniem, co oznacza n = 0 w równaniu (1). Natomiast dla n > 3 gwiazda nie jest trwała: ulega albo rozproszeniu, albo kurczy się do momentu, w którym zmiana własności sprasowanego gazu spowoduje n < 3. Używając równania (9), można także obliczyć temperaturę w centrum gwiazdy. Skorzystamy z równania stanu gazu doskonałego, zapisanego jako P = kTρ/µg, gdzie µg to masa cząsteczki gazu, a k to stała Boltzmanna. Jeśli m i V to masa i objętość gazu, to gęstość jest m/V , a stała liczba Avogadro N jest ilością cząsteczek w molu, to Nµg jest masą mola; zatem liczba moli to q = m/(Nµg) i stała gazowa jest równa R = kN , to podstawiając, otrzymujemy PV = qRT , czyli zwykłą postać równania gazu. Wstawiając do (9), dostajemy (10) Pc ρc = kTc µg = GM (n+ 1)R ξ1 µ1 . Dla Słońca w przybliżeniu można użyć n = 3, choć naprawdę n jest nieco mniejsze i zmienia się z promieniem. Wyjaśnienie, dlaczego tak się dzieje, to temat na inną opowieść: o porównaniu gwiazd zwykłych (takich jak Słońce) i „kwantowych”, czyli białych karłów. Matematyka i jej historia. Nie tylko ciekawostki! Drugie prawo Keplera i owale Newtona. Kontrowersje wokół Lematu XXVIII w Principiach Grzegorz ŁUKASZEWICZ*, Mikołaj SIERŻĘGA** Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski Drugie prawo Keplera, mówiące o tym, że w równych odstępach czasu promień wodzący planety, poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola (patrz ilustracja na następnej stronie), było w dużym stopniu ignorowane w astronomii przednewtonowskiej. Na przykład w dziele Astronomia Carolina, z którego korzystał Newton, jest ono wyraźnie nieobecne. Wynikało to z jego niewielkiej przydatności do obliczeń położenia planet na ich orbitach. Załóżmy, że znamy okres T obiegu planety po orbicie eliptycznej. Promień wodzący planety zakreślił Johannes Kepler (1571–1630) w tym czasie znane pole S = πab, gdzie a i b są półosiami elipsy. Rozpoczynając wędrówkę po orbicie w danym punkcie Q, po czasie T jesteśmy znowu w Q. Położenie to jest funkcją czasu obiegu T , jak i pola S zakreślonego w tym czasie przez promień wodzący planety. Korzystając z drugiego prawa Keplera, możemy teraz znaleźć pole s sektora zakreślonego przez promień wodzący planety w dowolnym odcinku czasu o długości t. Wydawałoby się, że w tym ogólnym przypadku można także łatwo wyrazić i obliczyć położenie P planety na jej orbicie jako funkcję czasu t lub zakreślonego w czasie t pola s. Okazuje się, że tak nie jest. 17 Relacja F (P, S) = 0 wiążąca położenie P planety na orbicie z polem S sektora 4 3 2 1 S1 S2 S1 = S2 Ilustracja drugiego prawa Keplera. (lub z czasem zakreślenia sektora, gdy skorzystamy z drugiego prawa Keplera) jest przestępna i jej obliczenie prowadzi do szeregów nieskończonych. Przestępna jest np. relacja F (x, y) = xy + sin x = 0, gdzie sin x = x− x3 3! + x5 5! − . . . , w odróżnieniu np. od relacji wielomianowej G(x, y) = y 2 − x + 2x3 = 0. Praktyczne obliczenia wymagałyby stosowania aproksymacji bardziej kłopotliwych rachunkowo od innych, obmyślonych w tamtych czasach, metod obliczania położenia planet na orbitach. W dodatku sama eliptyczność orbit, ze Słońcem w jednym z ognisk elipsy, stanowiąca treść pierwszego prawa Keplera, była jeszcze kwestionowana. Przykładowo dyrektor Obserwatorium Paryskiego, Giovanni Domenico Cassini, próbował przeforsować krzywe swego własnego pomysłu, znane jako owale Cassiniego. Z kolei trzecie prawo Keplera, mówiące o tym, że stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu średniej odległości od Słońca jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym, było dość powszechnie przyjęte, co wynikało z jego zgodności z obserwacjami. Historia recepcji praw Keplera jest dość skomplikowana i ma wiele wątków. Spójny opis można znaleźć np. w książce I. Bernarda Cohena. W swoich Principiach, czyli Matematycznych Zasadach Filozofii Naturalnej, Newton argumentował, że z drugiego prawa Keplera nie da się ściśle obliczyć położenia planety na orbicie ze względu na przestępność wspomnianej wyżej funkcji. Rozumowanie Newtona dotyczyło zresztą dużo szerszej od elips klasy torów owalnych, nazywanych w dyskusjach owalami Newtona. Ponieważ Newton nie określił dokładnie, co rozumie przez owal, jego argumentacja została podważona poprzez kontrprzykłady. Jeden z pierwszych podał Gottfried Leibniz. W każdym razie w przypadku elips Newton miał rację. Fascynująca historia kontrowersji wokół poniższego Lematu XXVIII Newtona jest opisana w artykule Bruce’a Pourciau. Lemat XXVIII (Principia, Księga 1) Nulla extat figura Ovalis cujus area rectis pro lubitu abscissa possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri. [Nie istnieje figura owalna taka, że pola wszystkich jej segmentów odciętych przez dowolne proste można wyznaczyć w sposób ogólny jako rozwiązania równań wielomianowych]. Możemy to rozumieć tak, że jeśli dowolna prosta ax+ by = c odcina z danego owalu segment o polu S, to nie istnieje równanie wielomianowe W (S, a, b, c) = 0 wiążące pole S ze współczynnikami a, b, c równania tej prostej. Prawdziwość tego lematu, w przypadku elipsy, implikuje trudności z zastosowaniem drugiego prawa Keplera do obliczania położenia danej planety w dowolnej chwili. Kontrowersje co do samego lematu wynikają z wątpliwości, co rozumiał Newton przez „figurę owalną”. Już Bernoulli, Huygens i Leibniz nie mieli co do tego pełnej jasności, natomiast „dowód” Newtona zdawał się pasować do dowolnej zamkniętej figury. Chcąc się temu zagadnieniu dokładniej przyjrzeć, w tym artykule podamy przykłady „figur owalnych”, dla których lemat jest prawdziwy bądź fałszywy. Oryginalny „dowód” Newtona można znaleźć w jego magnum opus. Przykład 1. Rozważmy koło, ograniczone okręgiem x2 + y2 = a2, i jego górny segment odcięty prostą y = c, 0 6 c < a. Jeżeli przez S oznaczymy pole tej części, to można obliczyć, że x y O a c g = c x2 + y2 = a2 S S = π a2 2 − a 2 arc sin c a − c √ a− c √ a+ c. W przypadku koła jest to ogólna sytuacja, stąd Lemat XXVIII jest prawdziwy dla tego owalu. Powyższa zależność jest przestępna, gdyż nie da się jej sprowadzić do zależności wielomianowej. Wykonując obrót koła, a następnie spłaszczając je poprzez transformację (x, y)→ (x, z), z = b ay, otrzymujemy ogólny wzór wiążący pole segmentu elipsy o półosiach a, b, b < a odciętego przez przecinającą ją prostą. Przykład 2. Rozważmy teraz parabolę y = x2 i ograniczony segment nad nią odcięty prostą y = c, c > 0. Nie jest to przypadek najogólniejszy, ale sprawdzamy, że pole S tak określonego obszaru wyraża się poprzez c zależnością x y c S y = x2 y = c 9S2 − 16c3 = 0, a zatem Lemat XXVIII nie jest prawdziwy dla paraboli. Można powiedzieć – zgoda, ale parabola nie jest owalem zamkniętym. Można jednak uzyskać (wypukły) owal zamknięty, zakrywając ją z góry częścią okręgu o promieniu np. 2 i środku na osi y. Taki okrąg styka się z naszą parabolą w dwóch punktach i łatwo wykazać, że współczynnik kierunkowy stycznej do uzyskanej figury owalnej zmienia się w sposób ciągły. Mamy zatem gładki (na oko) owal, wypukły, zamknięty, ale 18