Pobierz Dyfrakcja - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Wykład 29

29. Dyfrakcja

Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnel (przełom XVIII i XIX w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikają- cym wszechświat eterze. Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektro- magnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru). Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.

S

B (^) C

a)^ P

Fala ze źródła S pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C. Natę- żenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj. wektory E ). Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:

• elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od punktu P.
• światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami. Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe) pojawia się gdy źródło fal S i ekran ( C ), na którym powstaje obraz znajdują się w skoń- czonej odległości od ekranu ze szczeliną ( B ). Taki przypadek nosi nazwę dyfrakcji Fresnela. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne. Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcją Fraunhofera. Czoła fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to wi- dać na rysunku (b).

do bardzo odległego ekranu z bardzo odległęgo źródła

b)

θ

B

Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za pomocą dwu soczewek (rysunek c).

S

f f B C

P

θ

c)

Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga. W dalszej części wykładu będziemy zajmować się tylko dyfrakcją Fraunhofera.

29.1 Pojedyncza szczelina

Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a. Rozpatrzmy punkt środkowy P 0 ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fa- zie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie. Dlatego w środkowym punkcie P 0 będzie maksimum.

P 0

f B

a

C

Rozpatrzmy teraz inny punkt P 1 na ekranie (rysunek poniżej). Promienie docierające do P 1 wychodzą ze szczeliny pod kątem θ. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a drugi w jej środku. (Promień xP 1 przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchy- lany).

a

∆x sinθ

B C

P

P 0

Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi ∆ x sin θ stąd różnica faz ∆ϕ pomiędzy falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi

λ

θ π

ϕ sin 2

∆ x

czyli

θ λ

π ϕ sin

∆ = ∆ x

• Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę sa- mą drogę optyczną do punktu P (całe światło ma tę samą fazę).
• Dla małych kątów θ amplitudy ∆ E 0 zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od różnych pasków przyjmujemy za jednakowe. Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól elektrycznych E ) o tej samej amplitu- dzie ∆ E 0 , tej samej częstości i tej samej różnicy faz ∆ϕ między kolejnymi wektorami. Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P , tzn. dla różnych ką- tów θ, tzn. dla różnych ∆ϕ. Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych miejsc na ekranie.
• Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (∆ϕ=0°).
• Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum środkowego (∆ϕ=5°).
• Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (∆ϕ=30°).
• Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym) (∆ϕ=42°).

Eθ = EM

EEθθ Eθ

a)^ Eθ^ = 0

b)

c)

d)

Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa E M ale amplituda E θ jest różna. Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natę- żenia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe.

29.3 Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe

Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej na poprzednim rysunku (b).

R

R

Em Em

E θ

Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości d x to łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi Em czyli równa jest amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek). Kąt ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w łuku tzn. ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeli- ny.

sin 2  

α

α I θ (^) Im (29.5)

Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla

α = m π, m = 1, 2, 3,....

Podstawiając do równania (29.4) otrzymujemy

a sin θ = m λ, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)

Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe). Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych. Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla których

α = ( m +1/2) π, m = 1, 2, 3,.......

Podstawiając to do równania (29.5) na natężenie otrzymujemy I θ/ Im = 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Widać, że natężenia kolejnych maksimów bardzo szybko maleją. Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe I θ dla różnych szerokości szczeliny (w sto- sunku do długości fali λ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ).

a=10λ

a=5λ

a=λ

10 5 5 10

wzgl

ędne nat

ęż

enie

θ (^) (deg)

29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach

W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a << λ) tak, że każda ze szczelin oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli takie fale (spójne) interferowały to otrzymywali- śmy prążki o jednakowym natężeniu. Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a << λ. Oznacza to, że pojedyn- cza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ- rym natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu Younga) ale zależne od te- go obrazu dyfrakcyjnego. Odejście od założenia a << λ powoduje głównie zmianę natężenia prążków (ich poło- żenia pozostają prawie nie zmienione). Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem

I (^) θ,int = Im ,intcos^2 β

gdzie

θ λ

π β sin

d

przy czym d jest odległością między szczelinami. Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane równaniem

2 , ,

sin  

α

α I θ dyf Imdyf

gdzie

θ λ

π α sin

a

przy czym a jest szerokością szczeliny. Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji stałą ampli- tudę (dla wąskich szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym. Otrzymu- jemy

2 (cos )^2 sin  

α

β α I (^) θ Im (29.6)

Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie ekranu natężenie światła, z każdej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy- frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale interferują). Rysunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla d = 50 λ i trzech wartości sto- sunku a / λ.

Obwiednie prążków interferencyjnych pokrywają się dokładnie z obrazem dyfrakcyj- nym. Obraz jest więc iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego (rysunek poniżej). Czynnik interferencyjny (cos^2 β ) jest pokazany na górnym wykresie, czynnik dyfrakcyjny (sin α / α )^2 na środkowym, a ich iloczyn na dolnym.

wzgl

ędne nat

ęż

enie

wzgl

ędne nat

ęż

enie

(^10 5) θ (deg) 5 10

a = 5λ

wzgl

ędne nat

ęż

enie