Pobierz Dynamika punktu materialnego II - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 5
5. Dynamika punktu materialnego II
5.1 Siły kontaktowe i tarcie
5.1.1 Siły kontaktowe
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi siły kontaktowe. Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z maleją- cą odległością. To jest siła elektromagnetyczna i może być bardzo duża w porównanie z siłami grawitacyjnymi. Jeżeli siła ciężkości pcha blok w dół siłą Fg to powstaje druga siła - siła kontaktowa F 1. Siła wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady dynamiki Newtona jest bardzo istotne, żeby obliczyć siłę wypadkową. Przykład 1 Rozważmy dwa klocki m 1 i m 2 na gładkiej powierzchni. Do klocka m 1 przyłożo- no siłę F. Czy siła F jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak było to zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona klocek 2 działałby na klocek 1 siłą równą i przeciwnie skierowaną. Wtedy Fwyp równałaby się zero!!!!, czyli, że nie można by było poruszyć ciała 1 bez względu na to jak duża jest siła F.
F
-Fk Fk
m 1 m^2
Zasada Newtona nie mówi, że siła F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; po- winno się przyjąć siłę kontaktową Fk o dowolnej wartości. Ogólnie: powinno się stoso- wać drugą zasadę dynamiki oddzielnie do każdego ciała. Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - Fk = m 1 a Dla klocka 2 Fk = m 2 a Stąd przyspieszenie a = F /( m 1 + m 2 ) Zauważmy, że ten wynik można otrzymać gdy traktujemy te dwa klocki jak jedną masę m = m 1 + m 2.
5.1.2 Tarcie
Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasa- dy dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać siła. Taką siłę nazywamy siłą tarcia.
Rozważmy np. klocek, do którego przykładamy "małą" siłę F tak, że klocek nie po- rusza się. Oznacza to, że sile F przeciwstawia się siła tarcia T. Mamy więc: T = - F. Zwiększamy stopniowo siłę F aż klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza powierzchnia tym szybciej to nastąpi. Oznacza to, że siła tarcia zmienia się od wartości zero do pew- nej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły F. Oznaczmy tę krytyczną siłę T s (s-statyczna). To jest maksymalna siła tarcia statycznego. T s (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:
- Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),
- Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia na- ciska na drugą. Stosunek siły T s do nacisku F N nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego μ s
N
s s (^) F
T
μ = (5.1)
Uwaga: Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Jeżeli F jest większe od T s to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia T k (k - kinetycz- na) przeciwstawiająca się ruchowi. Siła Tk spełnia trzy prawa empiryczne:
- Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),
- Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia na- ciska na drugą ,
- Nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni. Istnieje odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego μ k
N
k k (^) F
T
μ = (5.2)
Dla większości materiałów μ k jest nieco mniejszy od μ s. Np. μ k ≈ 1 dla opon na jezdni betonowej. Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości od- działywań atomów na powierzchni. Nie będziemy się tym zajmować. Ograniczmy się do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. W samo- chodzie np. na pokonanie siły tarcia zużywa się około 20% mocy silnika. Tarcie powo- duje zużywanie poruszających się części maszyn. Staramy się je zwalczać. Z drugiej strony bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, trzymać ołówka, kre- dy, czy też nimi pisać.
5.2 Siły bezwładności
We wstępie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił występujących w przyrodzie. Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi , ponieważ możemy je zawsze zwią- zać z jakimś konkretnym ciałem, możemy podać ich pochodzenie. Czy to samo może- my powiedzieć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspiesza- niu, hamowaniu czy zakręcaniu samochodu?
F s = mk a
Okazuje się, że wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki sam jak dla obserwatora związanego z Ziemią ale pod warunkiem uwzględnienia sił po- zornych. Siły te "znikają" jeśli rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalne- go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń w układach poruszających się z przyspieszeniem. W takim układzie uwzględ- niamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przy- spieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a. Przykład 3 Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy niż w windzie stojącej. Obliczyć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g. Rozwiązujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed- nym przypadku znajduje się na zewnątrz windy, a w drugim jest pasażerem tej windy.
H
h
W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), że ciało przebywa dłuższą drogę gdy winda jest w ruchu. Dla windy stojącej
2 H = gt^1
Dla windy w ruchu
2 H + h = gt^2
oraz
2 h = at^2
przy czym
2 4 t 1 t =^5
Rozwiązanie tego układu równań daje wynik a g 25
=^9
Drugi obserwator za każdym razem widzi, że ciało przebywa tę samą drogę H od sufitu do podłogi ale w różnych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest różne przyspie- szenie. Obserwator wprowadza do obliczeń dodatkową siłę nadającą przyspieszenie – a. Odpowiednie równania wyglądają teraz: Dla windy stojącej
2 H = gt^1
Dla windy w ruchu
( g a ) t 22 H
Uwzględniając, że
2 41
t = t
otrzymujemy a g 25
Tak więc uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady dynamiki w układach nieinercjalnych. W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a. Inny przykład stanowią układy nieinercjalne poruszające się ruchem obrotowym. Np. obserwator w satelicie krążącym wokół Ziemi obserwując ciało spoczywające w tym satelicie stwierdza, że siła wypadkowa działająca na ten obiekt jest równa zeru. Musi więc istnieć, według niego, siła która równoważy siłę grawitacji (dośrodkową). Siłę tę nazywamy siłą odśrodkową i jest to siła pozorna.
Na zakończenie rozpatrzmy ruch postępowy ciała w obracającym się układzie od- niesienia. Przykładem może być człowiek poruszający się po linii prostej (radialnie) od środka do brzegu karuzeli obracającej się z prędkością kątową ω. Na rysunku poniżej pokazana jest zmiana prędkości człowieka.
∆θ
v (^) r
v (^) s v (^) r
v (^) s
r
r+∆r A
A'
ω
v (^) r
v (^) r
∆v^ r
∆θ
Linia (promień) wzdłuż której porusza się człowiek zmienia swój kierunek (karuzela obraca się) o kąt ∆θ w czasie ∆ t , człowiek zmienia swoje położenie z punktu A do A'. Obliczymy teraz zmianę jego prędkości radialnej v r i stycznej v s. Prędkość radialna zmienia swój kierunek.
Wprowadzenie sił pozornych (nie umiemy pokazać ich źródła) jest konieczne aby móc
iruje. W wyniku tego ob- rotu
stosować mechanikę klasyczną w układach nieinercjalnych. Ziemia nie jest idealnym układem inercjalnym ponieważ w w zjawiskach zachodzących na Ziemi obserwujemy siłę Coriolisa. Przykładowo, rzeki płynące na półkuli północnej podmywają silniej prawy brzeg. Również ciała spa- dające swobodnie odchylają się od pionu pod działaniem tej siły. W większości rozpa- trywanych przez nas zjawisk można jednak zaniedbać wpływ ruchu Ziemi na ich prze- bieg.
