1
Dziedzina funkcji. Funkcja odwrotna. Granice funkcji.
Ciągłość funkcji. Punkty nieciągłości funkcji.
Zad 1 Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
f x xf x ctgx
ctgx f x x f x x f x x
x
x
( ) ; ( ) ; ( ) arcsin ; ( ) log ; ( ) sin ;=
+
−
=−= = + =
−
1
2 1 1
1
22 1 2
2
3
Zad 2 Naszkicować wykres funkcji:
f x x f x x x x f x x f x x( ) sin( ) ; ( ) ( ; ( ) arcsin ; ( ) log ;= + + = − + + = = +3 2 1 1 1 2 1 2 1
22
Zad 3 Znaleźć funkcje odwrotne (o ile istnieją) do danych funkcji:
f x f x x x f x x f x x f x x
x
( ) ; ( ) ; ( ) sin ; ( ) log ( ); ( ) arcsin ;= = − = = + + = −
+
2 2 3 1 2 4 1
1 2 22
Zad 4 Obliczyć granice:
lim ; lim ; lim ; lim ; lim ; lim( );
x x x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x x x
→ →− → →− → →∞
+
+
−
+
+
−
+ −
+
+
−
−
+ −
1
2
2
2
3
3
2
2
225
2
1
1
4
2
27
3
3 5 2
4
9
2
5
25
1
;
2sin
11
lim;
cos1
lim;
3sin
2sin
lim;
2
cos
lim;
sin
lim;
2
cos
lim
2
00
222
x
tgxtgx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
+−−
−
−
−
→→→
→→→
π
πππ
π
π
( )
lim ;lim( ) ; lim ;lim ; lim ; lim ;lim ; lim ( ) ;
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tgx
x
tgx x
x
x
x
x
xe x a
x
x
x
→ →
−
→
−
→
−
→ → → → ∞
−+ +
− −
+
− + + −
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
2 2
0
2 2
2
1 4 2 2 2
1 2
2
1 2
1 3 2
3 1
π π
Zad 5 Zbadać ciągłość funkcji:
f x x
xx f f x x
xx f
f x x
xx f
( ) , , ( ) ; ( ) sin , , ( ) ;
( ) sin , , ( )
=−
+≠ − − = − = ≠ =
= ≠ =
2
25
55 5 10 0 0 1
0 0 1
Zad9 Wyznaczyć punkty nieciągłości danej funkcji, określić ich rodzaj oraz naszkicować
wykres:
f x
dla x x
x dla x
dla x
( )
, ,
=
= = ±
− < <
>
2 0 2
4 0 2
4 2
2
.
Które warunki ciągłości są spełnione w tych punktach, a które nie?
Zad.10 Dana jest funkcja
f x
x
tg x dla x
A dla x
( )
cos
.
=
−
−≠ ±
+ =
2 1
1 4
14
2
π
π
;
Wyznaczyć taką wartość parametru A, dla której dana funkcja jest ciągła w punkcie
x=
π
4
.
Zad 11 Dana jest funkcja
f x x x x x( ) = − + + −
432
6 6 7 6
