Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Przygotuj się do egzaminów
Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Otrzymaj punkty, aby pobrać
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Społeczność
Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity
Bezpłatne poradniki
Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity
W ramach tego kursu poznamy funkcje i ich własności: definicję funkcji oraz definicję wykre- su funkcji liczbowej, a także między innymi ta-.
Typologia: Ćwiczenia
1 / 69
Ta strona nie jest widoczna w podglądzie
Nie przegap ważnych części!
Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt realizowany przez Uniwersytet Rzeszowski w partnerstwie z Uniwersytetem Jagiellońskim oraz Państwową Wyższą Szkołą Zawodową w ChełmieCentralne Biuro Projektu, Uniwersytet Rzeszowski ul. Rejtana 16a, 35-959 Rzeszów tel. 17 8721304, faks 17 8721281
E-learning – matematyka – poziom podstawowy
Materiały merytoryczne do kursu
Matematyka jest produktem myśli ludzkiej, niezależnej od doświadczenia, jednak wspaniale pasuje do świata realnego i tak świetnie go tłumaczy. (Albert Einstein)
W ramach tego kursu poznamy funkcje i ich własności: definicję funkcji oraz definicję wykre- su funkcji liczbowej, a także między innymi ta- kie pojęcia jak: dziedzina funkcji, miejsce zero- we, zbiór wartości, wartość najmniejsza i naj- większa funkcji w danym przedziale, monoto- niczność funkcji. Poznamy jak wykonać przesu- nięcia wykresu funkcji wzdłuż osi x oraz osi y. Omówimy także pewne szczególne funkcje jak liniowa i trygonometryczna, a także zapoznamy się z pojęciem złożenia funkcji i funkcji odwrot- nej.
Wino należało przelać 7 razy
W każdej nauce jest tyle prawdy, ile jest w niej matematyki. (I. Kant)
1 Pojęcie funkcji
W matematyce oraz w życiu codziennym mamy do czynienia z różnymi przyporządkowaniami, np. każdej osobie mieszkającej na stałe w Polsce przyporządkowuje się numer PESEL, jak rów- nież każdej osobie przyporządkowuje się imię. Niektóre z tych przyporządkowań są funkcjami, a niektóre nie.
Inna sytuacja: Nauczyciel WF-u przeprowadził wśród uczniów klasy Ia sprawdzian z biegu na 100 m. Wy- niki sprawdzianu zapisał w postaci zbioru par liczb, gdzie pierwszy element pary oznaczał nu- mer ucznia z dziennika, zaś drugi element pa- ry oznaczał czas w sekundach, uzyskany przez ucznia. Notatki nauczyciela są następujące: {(2; 15), (5; 17), (10; 13), (18; 12,5), (19; 14), (21; ), (26; 15,5), (28; 16,3)}.
Uczniowi z numerem 21 nie został przypisa- ny czas biegu (być może uczeń nie ukończył biegu), zatem powyższe przyporządkowanie nie jest funkcją.
********(rysunek bieżni i sportowców)*********
Spróbujmy uogólnić definicję funkcji na język matematyki:
Definicja Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y (przy czym zbiory X i Y są niepuste) nazywamy takie przy- porządkowanie, w którym każdemu elemento- wi ze zbioru X został przyporządkowany tyl- ko jeden element ze zbioru Y , co zapisujemy f : X → Y.
Funkcje zazwyczaj oznaczamy literami f, g, F, G , itp.
Ćwiczenie: Rozstrzygniemy, czy następujący warunek okre- śla pewną funkcję. a) Każdemu państwu przyporządkowujemy je- go stolicę (jest to funkcja). b) Każdemu wielokątowi przyporządkowujemy jego pole (jest to funkcja). c) Każdemu czworokątowi przyporządkowuje- my jego oś symetrii (nie jest to funkcja, bo czwo- rokąt może mieć więcej osi symetrii i nie ma- my jednoznacznego przyporządkowania czworo- kątowi osi symetrii).
2 Sposoby opisywania funkcji
W przypadky, gdy X i Y są zbiorami liczb funkcj¸e ze zbioru X w zbiór Y nazywamy funk- cją liczbową, którą możemy przedstawiać na róż- ne sposoby:
Wykresem funkcji liczbowej f : X → Y na- zywamy zbiór tych wszystkich punktów płasz- czyzny o współrzędnych ( x, y ), w prostokątnym układzie współrzędnych, gdzie x ∈ X , a y ∈ Y.
- Wykres
**************plik 4*************
Rozwiąż rebus:
**************plik 5*************
3 Przekształcanie wykresu funkcji
3.1 Symetria względem osi OX
Mamy dany wykres funkcji y = f ( x ). Utwo- rzymy wykres funkcji y = −f ( x ): dla kilku ob- ranych wartości x wyznaczamy −f ( x ) i obser- wujemy figurę powstałą po połączeniu punktów ( x, −f ( x )), czyli dla x 1 i x 2 szukamy wartości f ( x 1) i f ( x 2) , nast¸epnie −f ( x 1) i −f ( x 2) oraz rysujemy wy- kres przechodzący przez punkty ( x 1 , −f ( x 1)), ( x 2 , −f ( x 2)):
******************plik symOX1’**************
******************plik symOX2’**************
Zauważamy: Uwaga Wykres funkcji −f ( x ) powstaje z wykresu funk- cji f ( x ) przez odbicie wzgl¸edem osi OX.
3.2 Symetria względem osi OY
Mamy dany wykres funkcji y = f ( x ). Utwo- rzymy wykres funkcji y = f ( −x ): dla kilku ob- ranych wartości x wyznaczamy f ( −x ) i obser- wujemy figurę powstałą po połączeniu punktów ( −x, f ( −x )).
******************plik symOY1***************
******************plik symOY2***************
Zauważamy, że dla obranego x otrzymujemy te same wartości f ( x ) i f ( −x ). Zatem: Uwaga Wykres funkcji f ( −x ) powstaje z wykresu funk- cji f ( x ) przez odbicie względem osi OY. Z symetrii względem osi OX i OY możemy za- obserwować:
3.3 Translacja (przesunięcie) o wektor
Mamy dany wykres funkcji y = f ( x ).
- Narysujemy wykres funkcji y = f ( x ) + b ; Jeśli punkt ( x, y ) należy do wykresu funkcji y = f ( x ), to:
******************plik tran1’***************
******************plik tran2’****************
Uwaga Wykres funkcji y = f ( x ) + b powstaje w wy- niku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = f ( x ) o wektor [0 , b ] (wzdłuż osi OY ).
Przykład
******************plik 9**************
