Modele Nieliniowe i Funkcja Produkcji: Ćwiczenia z Ekonometrii, Schematy z Ekonometria

Pobierz Modele Nieliniowe i Funkcja Produkcji: Ćwiczenia z Ekonometrii i więcej Schematy w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!

Ekonometria

Model nieliniowe i funkcja produkcji

Jakub Mućk

Katedra Ekonomii Ilościowej

Agenda

1 Modele nieliniowe

2 Funkcja produkcji

Outline

1 Modele nieliniowe

2 Funkcja produkcji

Modele nieliniowe

Ogólna postać:

y = g ( β, x ) + ε (1)

gdzie y to zmienna objaśniana,

β to wektor parametrów strukturalnych,

x to wektor zmiennych objaśniających,

ε to składnik losowy.

Szczególne przypadki:

Modele liniowe względem parametrów

y = β 0 + β 1 f 1 ( x 1 ) +... + β k f k ( x k ) + ε (2)

Modele liniowe względem zmiennych

Przykład:

y = β 0 + β 1 β 2 x 1 + ββ 34 x 2 + ε (3)

Problem identyfikacji strukturalnych parametrów.

Modele nieliniowe

Przykłady modeli nieliniowych względem zmiennych, ale liniowych

względem parametrów:

Model wielomianowy:

y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 12 +... + β k x 1 k + ε. (4)

Model hiperboliczny:

y = β 0 + β x 12 + ε. (5)

Model logarytmiczny:

y = β 0 + β 1 ln ( x 1 ) + ε. (6)

Model z interakcjami (iloczynami):

y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 1 x 2 + ε. (7)

Efekty krańcowe oraz elastyczności cząstkowe

Efekt krańcowy

Efekt krańcowy = ∂∂xy i. (8)

Interpretacja: o ile wzrośnie y jeżeli x i wzrośnie o jedną jednostkę.

Model liniowy: stały efekt krańcowy równy β i.

Elastyczność cząstkowa

Elastyczność cząstkowa = ∂∂xy i / /yx. (9)

Interpretacja: o ile % wzrośnie y jeżeli x i wzrośnie o 1%.

Model liniowy: elastyczność cząstkowa zależna od bieżacych wartości x i

y i równa β i x i /y

Modele linearyzowane

Linearyzacja modeli

Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.

Wybrane własności logarytmu naturalnego

ln(x) < ln(y) dla 0 < x < y, ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x , y > 0, ln(xa^ ) = a ln(x) dla x , a > 0, ln(ex^ ) = x oraz eln(x)^ = x dla x > 0.

Model wykładniczy:

y = eβ^0 + β^1 x^1 + ... + β k^ xk^ + ε.^ (10)

Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln ( y ) = β

0 +^ β 1 x 1 +^...^ +^ β k x k +^ ε.^ (11)

Model funkcji Cobba-Douglasa:

y = β 0 xβ 1 1 ·... · xβ k k ε. (12)

Po obustronnym zlogarytmowaniu:

ln ( y ) = ln ( β 0 ) + β 1 ln ( x 1 ) +... + β k ln ( x k ) + ln ( ε ). (13)

Uwaga: założenie ln ( ε ) ∼ N ( 0 , σ ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.

Modele linearyzowane

Linearyzacja modeli

Wybrane modele nieliniowe można sprowadzić do postaci liniowej.

Wybrane własności logarytmu naturalnego

ln(x) < ln(y) dla 0 < x < y, ln(xy) = ln(x) + ln(y) dla x , y > 0, ln(xa^ ) = a ln(x) dla x , a > 0, ln(ex^ ) = x oraz eln(x)^ = x dla x > 0.

Model wykładniczy:

y = eβ^0 + β^1 x^1 + ... + β k^ xk^ + ε.^ (10)

Po obustronnym zlogarytmowaniu:ln ( y ) = β

0 +^ β 1 x 1 +^...^ +^ β k x k +^ ε.^ (11)

Model funkcji Cobba-Douglasa:

y = β 0 xβ 1 1 ·... · xβ k k ε. (12)

Po obustronnym zlogarytmowaniu:

ln ( y ) = ln ( β 0 ) + β 1 ln ( x 1 ) +... + β k ln ( x k ) + ln ( ε ). (13)

Uwaga: założenie ln ( ε ) ∼ N ( 0 , σ ) nie implikuje, że ε jest z rozkładu normalnego.

Interpretacja przekształceń logarytmicznych

1 Relacja typu poziom - poziom , tj.

y = α + βx. (14)

Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β jednostek.

2 Relacja typu poziom - logarytm , tj.

y = α + β ln x. (15)

Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o 100 β jednostek.

3 Relacja typu logarytm - poziom , tj.

ln y = α + βx. (16)

Wzrost X o jednostkę odpowiada wzrostowi y o 100 β % jednostek.

4 Relacja typu logarytm - logarytm , tj.

ln y = α + β ln x. (17)

Wzrost x o jednostkę odpowiada wzrostowi y o β % jednostek.

Estymacja parametrów strukturalnych modeli nieliniowych

1 Model linearyzowane/ liniowe względem parametrów :

Metoda estymacji: standardowa dla modeli liniowych (np. MNK).

W przypadku MNK standardowe testowanie własności statystycznych skład-

nika losowego (autokorelacja, heteroskedastycznośc, normalność).

Uwaga: w przypadku modeli linearyzowanych należy pamiętać o przekształ-

ceniach, aby odpowiednio interpretować wyniki oszacowań.

2 Model ściśle nieliniowe

Metoda estymacji: nieliniowa MNK (non-linear least squares).

min β

∑ i

e^2 i (18)

gdzie e = y − g ( x, β ).

Zagadanienie optymalizacji nieliniowej: wybór wartości początkowych, moż-

liwość uzyskania minimum lokalnego.

Analogiczne sprawdzanie własności składnika losowego.

Outline

1 Modele nieliniowe

2 Funkcja produkcji

Funkcja produkcji

opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem

procesu produkcji. Najczęściej:

Y = F ( K , L ). (21)

Czynniki produkcji: praca ( L ) i kapitał ( K ).

Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji

(^1) Dodatnia produktywność czynników wytwórczych: MPK(K , L) = ∂ F( ∂ KK ,^ L) > 0 oraz MPL(K , L) = ∂ F( ∂ KL ,^ L) > 0 , (22) gdzie MPK(K , L) = FK oraz MPL(K , L) = FL. (^2) Malejąca produktywność czynników wytwórczych: ∂ MPK(K , L) ∂ K =^

∂^2 F(K , L)

∂ K^2 <^^0 i^

∂ MPL(K , L)

∂ L =^

∂^2 F(K , L)

∂ L^2 <^^0.^ (23)

(^3) Komplementarność czynników wytwórczych: ∂ MPK(K , L) ∂ L =^

∂^2 F(K , L)

∂ K ∂ L >^^0 i^

∂ MPL(K , L)

∂ K =^

∂^2 F(K , L)

∂ L ∂ K >^^0.^ (24)

(^4) Stałe korzyści skali: F ( λ K , λ L) = λ F (K , L) (25)

Funkcja produkcji

opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem

procesu produkcji. Najczęściej:

Y = F ( K , L ). (21)

Czynniki produkcji: praca ( L ) i kapitał ( K ).

Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji

(^1) Dodatnia produktywność czynników wytwórczych: MPK(K , L) = ∂ F( ∂ KK ,^ L) > 0 oraz MPL(K , L) = ∂ F( ∂ KL ,^ L) > 0 , (22) gdzie MPK(K , L) = FK oraz MPL(K , L) = FL. (^2) Malejąca produktywność czynników wytwórczych: ∂ MPK(K , L) ∂ K =^

∂^2 F(K , L)

∂ K^2 <^^0 i^

∂ MPL(K , L)

∂ L =^

∂^2 F(K , L)

∂ L^2 <^^0.^ (23)

(^3) Komplementarność czynników wytwórczych: ∂ MPK(K , L) ∂ L =^

∂^2 F(K , L)

∂ K ∂ L >^^0 i^

∂ MPL(K , L)

∂ K =^

∂^2 F(K , L)

∂ L ∂ K >^^0.^ (24)

(^4) Stałe korzyści skali: F ( λ K , λ L) = λ F (K , L) (25)

Funkcja produkcji

opisuje zależność pomiędzy wykorzystanymi czynnikami wytwórczymi a efektem

procesu produkcji. Najczęściej:

Y = F ( K , L ). (21)

Czynniki produkcji: praca ( L ) i kapitał ( K ).

Aksjomaty neoklasycznej funkcji produkcji

(^1) Dodatnia produktywność czynników wytwórczych: MPK(K , L) = ∂ F( ∂ KK ,^ L) > 0 oraz MPL(K , L) = ∂ F( ∂ KL ,^ L) > 0 , (22) gdzie MPK(K , L) = FK oraz MPL(K , L) = FL. (^2) Malejąca produktywność czynników wytwórczych: ∂ MPK(K , L) ∂ K =^

∂^2 F(K , L)

∂ K^2 <^^0 i^

∂ MPL(K , L)

∂ L =^

∂^2 F(K , L)

∂ L^2 <^^0.^ (23)

(^3) Komplementarność czynników wytwórczych: ∂ MPK(K , L) ∂ L =^

∂^2 F(K , L)

∂ K ∂ L >^^0 i^

∂ MPL(K , L)

∂ K =^

∂^2 F(K , L)

∂ L ∂ K >^^0.^ (24)

(^4) Stałe korzyści skali: F ( λ K , λ L) = λ F (K , L) (25)