Pobierz Ekonometria: rachunek macierzowy, klasyczny modle regresji liniowej i inne i więcej Notatki w PDF z Ekonometria tylko na Docsity!
Ekonometria
Rachunek macierzowy:
Mnożenie macierzy (schemat Falka) Macierz symetryczna (iloczyn transponowany jest zawsze symetryczny) Macierz diagonalna (na przekątnej liczby, poza nią zera) Macierz jednostkowa (jw. na przekątnej jedynki) Macierz trójkątna (pod lub nad przekątną same zera) Macierz nieosobliwa (gdy wyznacznik macierzy jest różny od zera) Macierz ortogonalna (gdy iloczyn transponowany równy jest macierzy jednostkowej)
Macierz idenpotentna (gdy kwadrat macierz jest jej równy) Macierz określona dodatnio (gdy wszystkie minory główne są dodatnie Trace (ślad) macierzy (suma elementów na przekątnej Rząd macierzy
Klasyczny model regresji linowej (KMRL):
Założenia normalnie zapisane Założenia w rachunku macierzowym
1. yt 1 xt 1 ... 2 xt 2 t 1. Y ^ X
- Wartości xt (^) 1 ... xtk są znanymi
wartościami nielosowymi
- X jest znaną macierzą nielosową
- Między x (^) t 1 ... xtk nie ma dokładnej
zależności liniowej
- r (X) = k (gdzie T k )
4. Składniki losowe t są zmiennymi
losowymi o zerowych wartościach oczekiwanych
4. E ( ) 0 Tx 1
- I. Rozproszenie mierzone odchylenie standardowym (S) jest takie samo dla wszystkich = wariancje (S 2 ) składników
losowych poszczególnych obserwacji są skończone i jednakowe:
t ^ const
2 2 var( )
Składniki losowe poszczególnych obserwacji są między sobą nieskorelowane:
r ( p , s ) 0 p s
- T
T T T
T
T
I
C C V
C V C
V C C
V
2
1 2
2 1 2 2
1 1 2 1
Szacowanie wartości w KMRL:
y T
y
Y ...
1
T T Tk
k
k
x x x
x x x
x x x
X
1 2
21 22 2
11 12 1
k
1
2
1
...
- nieznane
Macierze X,Y dla specyficznych modeli:
Model wielomianowy (może być wyższa potęga niż 2):
2 Y 0 1 X 2 X
2
2 1 1
xT x T
x x
X
Y - bez zmian
Model hiperboliczny:
X
Y
0 1
x T
x
X 1
1 Y – bez zmian
Modele potęgowe i wykładnicze należy zlogarytmować obustronnie i podastawić - dalej regresja liniowa. Twierdzenie Gaussa i Markowa (estymacja metodą MNK):
^ ^
X X X Y
T 1 T ( )
z macierzą kowariancji
2 1 ( ) ( )
V X X
T
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
y X
(^)
y y T k
y y y y T k
S
T
t
t
T
1
^
przyjmuje się, że:
2 2
S błędy ocen parametrów:
2 1 ( ) ( )
ii
T
D i S X X
korelacja: ( ) ( )
cov( , ) ( , )
0 1
0 1 0 1
V V
cor -
współczynnik zbieżności:
T
t
yt yt
T k S
1
2
2 2
współczynnik determinacji R
2 =1-
2
Klasyczny model normalnej regresji liniowej: (KMNRL): KMRL + założenie 6: ε ma wielowymiarowy rozkład normalny (Gaussa)
Budowa przedziałów ufności dla parametrów regresji:
^ ^ ^ ^ P { (^) i t D ( i ) i i t D ( i )} 1 gdzie t to rozkład t-studenta o T-k stopniach swobody
( tT (^) k ,)
Uzyskany przedział liczbowy jest realizacją najkrótszego przedziału o końcach losowych w którym z zadanym prawdopodobieństwem (1-
Testowanie istotności parametrów regresji:
1
0
i i
i i
H
H
i
= 0 – testowanie istotności wpływu zmiennej
objaśniajacej na objaśnianą)
sprawdzian testu:
,
~ ( )
T k i
i i t D
- jeżeli moduł sprawdzianu testu (statystyki) jest większy od
wartości krytycznej (t ) to odrzucamy H 0 na korzyść H 1 , jeżeli statystyka jest mniejsza od wartości krytycznej to brak podstaw do odrzucenia H 0 (zdarzenie wysoce prawdopodobne przy H 0 ); uwaga: dotyczy: testu dwustronnego
Testowanie istotności układu współczynników regresji:
Macierz X dzielimy na dwie części: X=[X 1 , X 2 ] o wymiarach k 1 i k 2 (k 1 +k 2 (1) (2)
Model ma wówczas postać:
( 2 ) 2
( 1 ) Y X 1 X
2 1 ( ) [ ( ) ( )]
V S A A
T i D S cii
2
( ) , gdzie cii testowanie jak KMRL
I funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra podstawowego):
2
1
t
t t M
M
D po przekształceniach: t t t
t M M
D
ln ln 1 ln( 2 ) > 0
dobór punktu startowego: Dt Mt 1 Mt 2 Dt lub 2 2 1
1 1 1
1 1 2
1
Dt Mt
elastyczność:
t
t
t
t D M D
M
M
D
El t t
(^) / mówi o ile procent zmieni się Dt przy gdy Mt wzrośnie o 1%
w tym przypadku:
t
D M M
El t t
2
2 /
II funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra wyższego rzędu):
t
t t M
M
D - - poziom od którego można nabyć
dane dobro
III funkcja Törquista (krzywa Engla dla dobra luksusowego):
t
t t t M
M
D M - poziom od którego można nabyć dane dobro, asymptoty ukośne
Ekonometryczne funkcje produkcji:
Definicje charakterystyczne dla procesu produkcji:
- Produkcyjność krańcowa i-tego czynnika produkcji
i zi
Q
z
Q
- informuje nas o ile jednostek wzrasta produkcja (Q), gdy nakład i-tego czynnika (zi)
wzrasta o jednostkę przy ustalonych nakładach pozostałych czynników
Powinna spełniać dwa postulaty: 0 0 2
2
i z i
Q
i z
Q
- Elastyczność produkcji względem nakładu i-tego czynnika
i
i
i
i
i
Q z z
z
Q
Q
z
Q
Q
z
z
Q
El i
^
ln
ln /^ -^ informuje nas w przybliżeniu o ile procent wzrośnie produkcja
(%), jeżeli nakład i-tego czynnika produkcji wzrośnie o 1% przy ustalonych nakładach pozostałych czynników
- Lokalny współczynnik efektu skali
m
j
ElQ zj
1
/^ -^ informuje nas o ile w przybliżeniu wzrośnie produkcja (%), jeżeli nakłady wszystkich
czynników produkcji wzrosną naraz o 1%
lny współczynnik efektu skali jest równy globalnemu:
m
j
ElQ zj
1
/
- Izokwanty (krzywe / powierzchnie jednakowego produktu) – wszystkie te kombinacje czynników produkcji, które dają w efekcie tę samą produkcję
- Krańcowa (techniczna stopa substytucji)
j
i ji
z
Q
z
Q
R
- informuje w przybliżeniu ile dodatkowych jednostek nakładu czynnika j należy
zaangażować, aby wycofać jednostkę czynnika i nie zmieniając produkcji (przy ustalonych nakładach pozostałych czynników) – w książce jest odwrotnie R (^) i / j
Funkcje produkcji:
I. Funkcja Cobba i Douglasa
m
j
j
j Q z
1
lub
m
j
Q j zj
1
ln ln ln
Elastyczność: Q z i i
El / Produkcyjność krańcowa:
i
i i z
Q
z
Q
Efekty skali (globalny równy lokalnemu):
m
j
j 1
- efekt skali i elastyczności są
niezmienne
- rosnący – stały – malejący efekt skali
Izokwanta:{( ,..., ; 0 }
1
z 1 z R z Q
m
j
j
m n
j (^)
Krańcowa stopa substytucji:
i
j
j
i ji z
z R
Postać jawna izokwanty dla pracy i kapitału: K
L K L
Q
K
1
0
II. Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES / SMAC)
m
j
Q j zj
1
lub
m
j
Q j zj
1
j lub j
j j j
- doskonała substytucyjność (prosta)
ja Cobba i Douglasa ( i i , krzywa)
dla - technologia Leontieffa (doskonała komplementarność, wykres - L)
K
L
