Ekonomia Matematyczna: Wprowadzenie do Modeli Zachowania Konsumenta, Notatki z Ekonomia

Pobierz Ekonomia Matematyczna: Wprowadzenie do Modeli Zachowania Konsumenta i więcej Notatki w PDF z Ekonomia tylko na Docsity!

Ekonomia matematyczna

Przedmiot ekonomii matematycznej.

1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej 1.2. Modele zachowania konsumenta 1.3. Ograniczenie budżetowe

1.4. Własności zbioru budżetowego w R^2. 1.5. Zmiany linii budżetu 1.6. Właściwości preferencji. 1.7. Dodatkowe założenia. 1.8. Funkcja użyteczności. 1.9. Właściwości funkcji użyteczności. 1.10. Stopa substytucji i elastyczność

1.1. Przedmiot ekonomii matematycznej Przedmiotem ekonomii matematycznej są modeli realnych ekonomicznych procesów. Model to jest obiekt, który zastępuje oryginał i odwzorowuje najistotniejsze dla danego badania cechy i właściwości oryginału. Metoda ekonomii ekonomicznej to jest systemowa analiza ekonomiki jak skomplikowanego dynamicznego układu. Ekonomia Matematyczna tworze modele matematyczne w postaci założeń o powiązaniu zmiennych ekonomicznych. W skutek różnorodności podmiotów gospodarczych i zmienności warunków, Ekonomia Matematyczna dzieli się na szereg różnych modeli nie mających wartości uniwersalnej. Główni podstawowe matematyczne modele mikro- i makroekonomii:  Modele zachowania konsumenta  Teoria produkcji  Modele rynku  Modele równowagi  Modele wzrostu gospodarczego  Modele cyklu koniunkturalnego

1.2. Modele zachowania konsumenta Jednej z najistotniejszych pojęciem teorii ekonomicznej jest teoria konsumenta. Głównym pytaniem tu jest ustalenie konsumpcji dla danych cen na dobra i dochodzie. Konkretna decyzja o zakupach określonego koszyka dóbr matematycznie może być pokazana jako wybór punktu w przestrzeni towarów. Niech n - jest ograniczona ilość dóbr, a n x  ( x 1 , x 2 ,..., xn ) R  koszyk określonych dóbr w przestrzeni Rn  Przestrzenią dóbr nazywa się zbiór wszystkich możliwych dóbr z dodatnimi współrzędnymi

X   x^ : x  0 ^ X .

W przestrzeni dóbr wprowadzimy normę

x maxi xi ,

i odpowiednio metrykę (odległość pomiędzy elementami)

  i i

i

x, y maxx  y.

Przykład. 1.1 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki

x  x 1 ;x 2 |x 1  7 ,x 2  20  , gdzie x 1 są jajka, x 2 męka. Obliczyć wielkość koszyka  7 , 5 i

odległość pomiędzy koszykami  7 , 5 i  3 , 7 .

Rozwiązanie.

Wielkość koszyka: x max 7 , 5  7

i

Odległość:  7 , 5  ; 3 , 7  maxx y max 7 3 ; 5 7  4

i i i i

Definicja 1.1. Zbiór U  x 0   x | x,x 0  nazywa się  - otoczeniem.

Definicja 1.2. Zbiór Y X nazywa się otwarty , jeżeli każdy element x zbioru Y

należy do niego razem z pewnym otoczeniem U  x 0 .

Przykład. 1.2 Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki należące do otoczenia

U 2  3 ; 10  z przykładu 1.1.

Rozwiązanie.

Definicja 1.3. Punkt a  A nazywa się punktem brzegowym zboru A , gdy w dowolnym otoczeniu tego punktu znajdują się punkty należące i punkty nie należące do zbioru A.

(^1 2 3 4 5 6 7) X 1

X 2

20

1 2 3 4 5 6 7 X^1

X 2

20

10

poziomą osią na prawo. To znaczy, prosta staje się mniej stroma. Zmniejsza się kąt nachylenia. Zmniejszenie ceny dobra 2 – bardziej stroma.

Zbiór budżetowy w przypadku racjonowania. Rząd czasem nakłada ograniczenia w postaci racjonowania lub opodatkowania konsumpcji większej niektórego poziomu. Niech x 1 – racjonowane dobro.

a) Kartki konsumpcyjne: x 1 (^)  x 1 b) 

1 1 1

1 1 1 1 ,

p t x x

p x x cena (t – podatek)

Racjonowanie

x 1

x 2

mp 1

p 2

m

x 1 x 1 x 1 mp 1

p 2

m

x 1 max

Później zobaczymy, że czasem sytuacji b) wynikają i w modelach bez racjonowania (konsumpcja międzyokresowa).

W teorii konsumpcji zakłada się, że każdy konsument ma własne preferencji na niektórym podzbiorze przestrzeni dóbr x. To oznacza, że dla dwóch dowolnych koszyków x  X i y  X konsument potrafi ich uszeregować według stopnia pożądania i zawsze mamy

jedną z trzech relacji:

1. y  x , (mówimy y silnie preferowany nad x);
2. x  y , (mówimy x silnie preferowany nad y);
3. x ~ y , (koszyki x, y są obojętne (indyferentne)).

Wprowadzimy następujące relacji preferencji:

1. x ~ y , (mówimy x słabo preferowany nad y) , co oznacza, że koszyk „ y nie gorszy od

koszyka x ”.

2. x  y , (mówimy x silnie preferowany nad y) , co oznacza, że koszyk x jest z pewnością

lepszy od koszyka y.

3. x ~ y , (koszyki x, y są obojętne (indyferentne)).

Pierwsza relacja nazywają się relacja słabej preferencji , druga relacja silnej preferencji , trzecia relacja indeferentności.

Zmiany linii bud żetu

x 1

x 2

mp 1

p 2

m

x 10

x 20

Podstawową relacją jest relacja słabej preferencji, na podstawie której możemy zdefiniować pozostałe relacji.

Definicja 1.5. Parę  X , ~nazywamy polem preferencji konsumenta.

Definicja 1.6. Niech x , y  X.

1. Mówimy, że koszyki x, y są indyferentne , jeżeli równocześnie x ~ y i y ~ x.
2. Mówimy, że koszyk x jest silnie preferowany nad koszykiem y, jeżeli x ~ y i

 y ~ x 

1.6. Właściwości preferencji. Relacja słabej preferencji ma następujące właściwości:

1. Dla  x , X x ~ x (refleksyjność, zwrotność).
2. Dla  x , y  X x ~ y  y ~ x (zupełność).
3. Jeżeli dla  x , y , z  X x ~ y  y ~ z , tox ~ z (przechodniość, tranzytywność).

Aksjomat 3 wprowadza liniowy porządek w przestrzeni dóbr i daje możliwość konsumentowi zawsze dokonywać konkretnego wyboru i nie zamykać się w błędnym kole, natomiast aksjomat 2 wyklucza istnienie sytuacji, gdy konsument nie jest w stanie powiedzieć, który z koszyków jest lepszy. Relacja indeferencji spełnia warunki ekwiwalentności :

1. Dla  x , X x ~ x (refleksyjność, zwrotność).
2. Dla  x , y  X x ~ y  y ~ x (symetryczność).
3. Jeżeli dla  x , y , z  X x ~ y  y ~ z , tox ~ z (przechodniość, tranzytywność).

To znaczy, przestrzeń dóbr rozbija się na zbiory, które nie mają wspólnych punktów. Takie zbiory nazywają się obszary obojętności. Obszar obojętności w przypadku 2 dóbr nazywamy linią obojętności. Własności relacji silnej preferencji.

1. Dla  x , y  X x  y  y  x (zupełność).
2. Jeżeli dla  x , y , z  X x ~ y  y ~ z , tox ~ z (przechodniość, tranzytywność).

1.7. Dodatkowe założenia.

Definicja 1.7. Relację preferencji nazywamy ciągłą , jeżeli  y zbiory  x | x  y  i

 x | y  x  są zbiorami otwartymi w przestrzeni dóbr X.

Interpretacja: eps. otoczenie, koszyki bliskie lepszego są lepsze... Przykład. 1.3 Konsument kupuje bezpośrednio u rybaków skrzynie ze słabo słonymi śledziami. Relacja preferencji wygląda następująco: nie gorsze śledzie to takie, które są wcześniej wyłowione, ale nie wcześniej niż po 2 dobach i nie później niż po 5 dobach (tylko po takim terminie śledzie będą odpowiednio słone). Czy relacja preferencji jest relacją ekwiwalentności? Czy spełnia założenie zupełności? Czy relacja preferencji jest ciągła?

Narysować na osi czasu wszystkie koszyki należące do otoczenia U 1   2 i U 2   5.

Rozwiązanie.

U 1   2 U 2   5

Definicja 1.8. Niech M jest niepustym podzbiorem pola preferencji  X , ~. x  M

nazywamy M – preferowanym koszykiem i oznaczamy

x=m.pref.M, jeżeli  y  M jest słabo preferowany nad x^ ~ y. Przykład. 1.4 Wyznaczyć M – preferowany koszyk w przykładzie 1.3.

t

1 2 3 4 5 6 7

1.9. Właściwości funkcji użyteczności. W dalszych rozważaniach zakładamy, że spełnione warunki następnego twierdzenia Twierdzenie 1.5. Niech relacja preferencji jest słabo wypukła i znajdujemy się w

warunkach niedosytu, wtedy odpowiednia funkcja użyteczności jest quasi wklęsłą i rosnącą.

Więc funkcja użyteczności ma następujące właściwości:

1 ;^2 ;

i

n x

U x x  x

• zjawisko niedosytu (większe koszyki zawsze lepszy).

2

1 2

2  

x i

U x x  xn

• dla zwiększających się koszyków różnica w korzyści

pomiędzy koszykami dla konsumenta maleje (prawo Gossena: macierz drugich pochodnych jest ujemne określona).

 (^) i

n x o x

Ux x x

i

1 ;^2 ;^ 

lim - olbrzymie korzyści dla konsumenta od bardzo małych

koszyków.

1 ;^2 ;

lim  

  (^) i

n x x

Ux x x

i

• dla olbrzymich koszyków dalsze ich zwiększenie nie

zwiększa ich przydatność.

Więc w przypadku dwuwymiarowych koszyków krzywa obojętności U  x 1 ; x 2   const jako

funkcja uwikłana może być zapisana w postaci x 2  g  x 1 , gdzie funkcja g ma poziomą i

pionową asymptoty i jest wklęsła.

Nie ma sensu mówić o użyteczności, jako o liczbowej mierze zadowolenia. F.Uż. po prostu wprowadzają liczbową charakterystykę relacji preferencji.Przykład. U=x 12 x 2 , U’=x 1 2/3x 2 1/3. Te same linii obojętności, różne wartości.

1.10. Stopa substytucji i elastyczność Definicja 1.13. Krańcową użytecznością i-tego towaru nazywamy

MUi 

i

n x

U x x x 

.

Dla naszych założeń krańcowa użyteczność i-tego dobra maleje wraz z zrostem jego

spożycia.

Definicja 1.14. Wyrażenie

sij  MRSsij^ = j

i MU

MU

nazywamy krańcową stopą substytucji i-tego dobra przez j-te dobro. Definicja 1.15. Wyrażenie

j

i ij ij x

x

  s

nazywamy elastycznością substytucji i-tego dobra przez j-te dobro. MRS pokazuje o ile powinna zwiększyć się ilość j-tego dobra przy zmniejszeniu o

jednostkę i-tego dobra, aby użyteczność koszyka nie zmieniła się.

Elastyczność mierzy to samo dla procentowych zmian. Elastyczność nie zależy od skali

pomiaru dóbr.

Przykład: MRS i elastyczność dla Cobba-Douglasa.