Pobierz Eksperymentalne metody wyznaczania modeli matematycznych i więcej Opracowania w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
3. EKSPERYMENTALNE METODY WYZNACZANIA MODELI
MATEMATYCZNYCH
3.1. Sposób wyznaczania charakterystyki czasowej
Charakterystykę czasową otrzymuje się na wyjściu obiektu, przez podanie na jego wejście w chwili t = 0 wymuszenia standardowego. Schemat blokowy układu pomiarowego składa się z generatora funkcji wymuszającej, przetworników pomiarowych wielkości wejściowej i wyjściowej oraz rejestratora Y - f lub oscyloskopu (rys 3. 1 ) [ 1 3].
Rys. 3. 1
3.2. Określanie właściwości dynamicznych obiektów na podstawie
charakterystyk czasowych
a) Obiekt zerowego rzędu Obiekt zerowego rzędu (bezinercyjny, proporcjonalny) jest to obiekt idealny (niezniekształcający). Równanie takiego obiektu i jego transmitancja mają postać:
G ( ) s k
yt kxt
gdzie 0
0 a
b k = -współczynnik wzmocnienia statycznego dla ogólnej postaci modelu obiektu:
( )^ (^ )^ () () () () () 2 1 0 0
1 a y t a 1 y t ayt ayt a yt bxt k k
k k +^ + + + + =
− − " !!! Charakterystyki dynamiczne obiektu zerowego rzędu przedstawia rysunek 3.2.
Rys. 3.
y ( t )
t
G ( s )=0.
y ( t )= kA^1 ( t )=0,5·^1 0·^1 ( t )
x ( t )= 1 0· 1 ( t ) 10
2 t =
Generator funkcji wymuszającej
Badany obiekt
Rejestrator X-t lub oscyloskop
Przetwornik sygnałów wejściowych
Przetwornik sygnałów wyjściowych
x* ( t ) y* ( t )
x ( t ) y ( t )
b) Obiekt pierwszego rzędu Obiektem pierwszego rzędu (inercjalnym) nazywamy obiekt zawierający jeden element konserwatywny (jeden pierwiastek rzeczywisty ujemny w równaniu charakterystycznym, jeden biegun transmitancji). Równanie obiektu oraz jego transmitancja mają postać:
Ts
k Gs
Ty y kx
gdzie [ ] s
a
a T 0
= 1 - stała czasowa.
Charakterystykę skokową oraz wyznaczenie stałej czasowej T obiektu pierwszego rzędu przedstawiono na rysunku 3.3.
Rys. 3.
Biegun s B transmitancji tego obiektu wyliczamy z równania:
0 , 3 3 , 5
T
Ts (^) B sB
Charakterystyka (odpowiedź) skokowa na wymuszenie skokowe x ( t ) = A * 1 ( t ) jest krzywą wykładniczą. Jest to rozwiązanie równania różniczkowego. Charakterystyka ta dąży do stanu ustalonego o wartości k • A , a stała czasowa T określa zdolność przenoszenia sygnałów szybkozmiennych. Im stała ta jest mniejsza, tym obiekt jest szybszy, dokładniejszy, bardziej zbliżony do idealnego [6, 7, 1 3]. Charakterystykę impulsową obiektu, oraz wyznaczenie transmitancji w oparciu o nią przedstawiono na rysunku 3.4 , gdzie czas trwania impulsu jednostkowego a ≤ 0 , 1 T.
Rys. 3.
2
4
6
2 4 6 8 10 12
x ( t )=2· 1 ( t )
Ts s
k G s 1 3 , 5
y ( t )
t ( s )
y ( t )
a (^) T t
Ts
k G s
( ) e T
T
kA yt
−^1
T
kA
Rys. 3.
d) Obiekt nieoscylacyjny Rozpatrując przypadek ξ> 1 na wstępie należy ocenić, czy jest to obiekt pierwszego rzędu (prowadzimy styczną do charakterystyki skokowej przechodzącą przez początek układu współrzędnych), czy też wyższego rzędu (występuje przegięcie). W tym drugim przypadku na charakterystyce skokowej prowadzi się styczną przez punkt przegięcia. Na osi czasu otrzymuje się punkt przecięcia się stycznej z osią czasu oraz punkt przecięcia się stycznej z asymptotą na wysokości wartości ustalonej odpowiedzi. Uproszczony i mało dokładny sposób określenia transmitancji obiektu nieoscylacyjnego, dla którego ξ > 1 , polega na przyjęciu, że obiekt jest tylko drugiego rzędu lub pierwszego z opóźnieniem (rys. 3.6). Transmitancja ma postać:
( Ts )( T s )
k Gs
lub, przyjmując stałą czasową (^) Tm jako opóźnienie
Ts z
e m Ts
k G s −
Ogólną i dokładną metodę dla obiektów nieoscylacyjnych n -tego rzędu zaproponował Strejc [5]. Aproksymuje on charakterystykę skokową przy pomocy modelu składającego się
z n członów inercjalnych o jednakowych stałych czasowych i członu opóźniającego e −^ τ s
Rys. 3.
t
T (^) m^ T^ z
0, 1
A
0,
1
y ( t )^ T 0,^1 / 0,
x ( t ) = A ·^1 ( t )
1 -rząd^ n -ty rząd
8 12 16 20
ω 0 t 4
0,
1
1 ,
2
y ( t )
y (∞)
0, 0, 0, 1 2 5
ξ =
e - ξω^^0 t
Postępowanie jest następujące:
- Na eksperymentalnie wyznaczonej charakterystyce skokowej nanosi się styczną przechodzącą przez punkt przegięcia A, następnie wyznaczamy wartości ti , Tm i Tz
oraz wyliczamy stosunek exp
z
m T
T
z odpowiedzi skokowej obiektu (rys. 3.7).
n z
m T
T
T
t (^) i
1 0,000 0 2 0, 104 1 3 0,2 18 2 4 0,3 19 3 5 0,4 10 4 6 0,493 5 7 0,570 6 8 0,642 7 9 0,709 8 10 0,773 9
Rys. 3.
- Z tablicy określamy rząd n modelu na podstawie wyliczonego stosunku. Jeżeli
wartość exp
z
m T
T
znajduje się między dwiema wartościami w tablicy, należy przyjąć
mniejszy rząd obiektu a T m zmniejszyć o taką wartość τ , aby nowy stosunek odpowiadał dokładnie modelowi n -tego rzędu. W literaturze [5] można znaleźć więcej parametrów określanych z charakterystyki co zwiększa dokładność metody.
- Stałą czasową obiektu otrzymujemy z trzeciej kolumny tabelki, po podstawieniu wartości (^) ti dla wcześniej określonego rzędu obiektu. Ostatecznie otrzymujemy następujący model
s Tsn^ e
k Gs ⋅ −^ τ
Dla przykładu z rysunku 3.7. mamy: k = 1 8 dla x ( t ) = 1
T (^) m = 2 ; T (^) z = 6 ; t (^) i = 5 ; 0 , 333 exp
^ ≈
z
m T
T
Z tabeli otrzymujemy 0 , 319 exp
^ =
z
m T
T
czyli rząd obiektu jest 4 oraz = 3 T
t (^) i , stąd:
T [ ] s
T
T
T
T
z z tab
m z
m (^) 0 , 084 exp
τ=
[ ] s
t T i^ 1 , 7 3
Model ma następującą postać:
e s s
G s 4 0 ,^084 1 1 , 7
y ( t ) x ( t ) =^1 ( t )
t (^) i A
t [s] 0 2 4 6 8 10 12
6
12
18
T m T z
Ponadto stosuje się: − czas regulacji t (^) r ; jest to czas, po upływie którego wielkość wyjściowa nie odchyla się od wartości ustalonej więcej niż o (2÷5)% (rys.3.8.). Dla obiektów pierwszego rzędu czas ten wynosi około 3 T (rys. 3.3). W przybliżeniu czas ten rozgranicza nam odpowiedź na tzw. stan przejściowy do chwili (^) tr oraz stan ustalony po chwili (^) tr. Charakterystyka skokowa jest graficznym rozwiązaniem równania różniczkowego opisującego obiekt. W przybliżeniu do chwili tr występuje składowa swobodna i wymuszona, natomiast po chwili tr pozostaje tylko składowa wymuszona rozwiązania. − czas połówkowy t 0,5, po upływie którego odpowiedź skokowa osiąga połowę swej wartości ustalonej, − czas narastania odpowiedzi t 0, 1 / 0,9, czyli czas narastania odpowiedzi od 1 0% do 90% wartości ustalonej y ∞.
3.3. Sposób wyznaczania charakterystyki częstotliwościowej
Charakterystykę częstotliwościową otrzymujemy wprowadzając na wejście obiektu sygnał harmoniczny (sinusoidalny) o stałej amplitudzie, w kolejnych przedziałach czasowych o różnej pulsacji (częstości). Podstawowym przyrządem jest generator przebiegów sinusoidalnych, np.: generator elektryczny, pneumatyczny, elektryczny z wejściem pneumatycznym i inne. W praktyce do pomiaru obiektów wielkości mechanicznych potrzebny jest zakres częstotliwości bardzo niski od około 0,0 1 Hz do kilkudziesięciu Hz. Schemat układu pomiarowego jest identyczny jak w pierwszym rozdziale (rys. 3. 1 .). Generator funkcji wymuszającej ma możliwość ustawiania wybranej pulsacji. Po ustawieniu wybranej pulsacji ω 1 należy odczekać, aż stan przejściowy praktycznie zniknie. Odpowiedź obiektu na wymuszenie sinusoidalne x ( t )= Xm sin ωt jest (po zaniku stanu przejściowego) sinusoidą o tej samej częstotliwości, ale innej amplitudzie Ym i przesuniętą w fazie o φ ( ω ) względem sinusoidy wejściowej
y ( ) t = Xm G ( j ω ) sin[ω t −ϕ(ω )]
gdzie G ( jω ) – transmitancjia widmowa, którą otrzymuje się przez podstawienie do transmitancji operatorowej jω w miejsce s
G ( j ω ) = G ( ) s s = j ω
Transmitancja widmowa ma węższy sens fizyczny niż transmitancja operatorowa, gdyż opisuje tylko odpowiedź wymuszoną, stan ustalony (identycznie jak rachunek symboliczny w elektrotechnice). Transmitancja widmowa jest funkcją zespoloną, więc:
G ( j ω ) = P (ω ) + jQ (ω ) = G ( j ω) ej ϕ(ω^ )
gdzie: P ( ω ) – część rzeczywista transmitancji widmowej, Q ( ω ) - część urojona transmitancji widmowej,
G ( j ω ) = P^2 (ω ) + Q^2 (ω )- moduł transmitancji widmowej,
ω ϕ ω P
Q
= arc tg - argument transmitancji widmowej.
Praktycznie moduł transmitancji widmowej G ( j ω) jest równy stosunkowi amplitud sygnały
wyjściowego i wejściowego.
m
m X
Y
G j ω =
3.4. Określanie właściwości dynamicznych obiektów na podstawie
charakterystyk częstotliwościowych
Na podstawie wyznaczonych charakterystyk częstotliwościowych amplitudowej i fazowej można jedynie stwierdzić, że obiekt jest nieoscylacyjny, bądź też oscylacyjny z określoną pulsacją rezonansową. Celem określenia właściwości dynamicznych niezbędne jest przerysowanie wyznaczonych charakterystyk w skali logarytmicznej. Oś rzędnych określa się w decybelach [dB], które są miarą stosunku amplitud (tłumienia, wzmocnienia) w/g zależności:
L G ( j ω )[ dB ] = 20 log G ( j ω)
dla ω= 0 [ dB ] = 20 log k
np.: -20 [dB] to wzmocnienie 0, 1 -3 [dB] to wzmocnienie 0 , 71 2
1 [dB] to wzmocnienie 1 , 12 40 [dB] to wzmocnienie 100 1 00 [dB] to wzmocnienie 105 Oś odciętych jest w skali logarytmicznej. Opisuje się ją w pulsacji ω lub log ω. Każda zmiana logarytmu pulsacji o jeden nosi nazwę dekady (dziesięciokrotna zmiana pulsacji). Na jedną dekadę logarytmiczną charakterystyka amplitudowa może opadać („-” dla
członów całkujących 1 sn ’ 1 1 + Ts ) lub wzrastać („+” dla członów różniczkujących s n ,
1 + Ts ) o n* 20 dB/dek Logarytmiczne charakterystyki dla pulsacji dążących do nieskończoności przyjmują wartości: a) amplitudowa
lim L G^ (^ j )^ =−( n^ − m ) 20
→∞ ω ω dB/dek gdzie: m – stopień licznika transmitancji; n – stopień mianownika transmitancji; b) fazowa
lim
π ϕω ω =− n − m →∞
Rys. 3.9 Wartości nachyleń w ramach jednej dekady
a) Obiekt zerowego rzędu
L[dB]
60
40
0 -2 - 1 0 1 log ω
20
dla członów całkujących
dla członów różniczkujących
dB -60 (^) dek dB (^60) dek
dB -40 (^) dek dB (^40) dek
dB -20 (^) dek dB (^20) dek
39
Rys. 3. 11
c) Obiekt drugiego rzędu nieoscylacyjny Praktycznie, gdy tłumienie jest większe od około 0,707, charakterystyka logarytmiczna nie ma większych wartości amplitudy niż 20 log (^) k. Jest to więc obiekt nieoscylacyjny. Po wyznaczeniu charakterystyk częstotliwościowych i narysowaniu ich w skali logarytmicznej określamy nachylenie asymptoty dla ω → ∞. Określamy rząd n obiektu, przyjmując, że w liczniku występuje tylko współczynnik wzmocnienia. Następnie rysujemy styczne do wykresu o odpowiednio mniejszych nachyleniach, będących wielokrotnościami nachylenia 20 dB/dek, co odpowiada jednemu pierwiastkowi, jednej stałej czasowej. Punkty przecięcia się kolejnych stycznych oraz stycznej o nachyleniu 20 dB/dek z prostą dla wartości 20 log k , określają poszczególne pulsację załamania. Ich odwrotności pozwalają określić transmitancję typu
( Ts )( Ts ) ( Ts )
k Gs
Dla przykładu, na rysunku 3. 12 przedstawiono charakterystykę logarytmiczną. Transmitancja ma postać:
( Ts )( Ts )
k Gs 1 + 1 1 + 2
20
40
20 log k
L| G ( jω )|
-20 dekdB
π −
φ ( ω )
20
40
[dB] L| G ( jω )|
≈ 3dB
0, 1 1 10 100
log ω 10 100 ω
0 1 2
π −
1 ( T )^2
k G j ω
ω
φ ( ω )= - arc tg ωT
T
T
40
( 1 j T 1 )( 1 j T 2 )
k G j ω ω
ω
= g
dzie:
2
2
1
1
1
ω
ω
=
T
T
Rys. 3. 12
d) Obiekt drugiego rzędu oscylacyjny Parametry obiektu oscylacyjnego drugiego rzędu można określić bezpośrednio z charakterystyki amplitudowej, ale dokładniej oraz z możliwością ocenienia rzędu obiektu z charakterystyki logarytmicznej (rys 3. 1 3). Największa wartość charakterystyki amplitudowej w stosunku do jej wartości w zerze wynoszącej G(0) = 20 1 og k , nosi nazwę amplitudy rezonansowego Mr.
2 0
2
1
ω ω ξ
ξ ξ
= −
r
Mr
Z powyższych zależności wyznacza się tłumienie ξ, oraz pulsację naturalną ω 0 (można ją również wyznaczyć bezpośrednio z charakterystyki logarytmicznej).
W ten sposób otrzymuje się transmitancję:
0 0
2
2 0 2 ξω ω
ω
s s
k Gs
e) wskaźniki liczbowe
Najczęściej stosowanymi wskaźnikami są:
- pulsacja załamania ω (^) z = 1 T ,
- pulsacja rezonansowa ωr,
- szczyt rezonansowy Mr,
- pulsację graniczną trzydecybelowa. Jest to wartość pulsacji, przy której moduł transmitancji zmniejsza się o wartość 3 dB, czemu odpowiada zmniejszenie
wzmocnienia do 0 , 707 2
≈ , tzn. o około 30% (rys.3. 1 3).
ω z ω g 3 dB ω g 30 % ω g
Stosowane są różne inne definicje pulsacji granicznej, np.:
- ωg (6dB) – zmniejszenie modułu transmitancji o 6 dB, - ωg ( 1 0%) – zmniejszenie amplitudy o 1 0%, - ωg (30˚) lub ωg (45˚) – przesunięcie fazowe osiąga po raz pierwszy -30˚ lub -45°.
| G ( jω )|
| G ( ωR )|
| G (0)|
