Elektrostatyka I - Notatki - Fizyka, Notatki z Fizyka

Pobierz Elektrostatyka I - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Wykład 19

19. Elektrostatyka I

19.1 Wstęp

Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewod- nikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wy- tworzy się pole równoważące pole zewnętrzne. Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż poniżej powierzchni przewodnika.

S

Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni

0

d. ε

= Q^ wewn

∫ E S

Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli

∫ E d^ S =^0

Zatem 0 = Qwewn ./ ε 0 Stąd Qwewn. = 0

Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.

19.2 Kuliste rozkłady ładunków

19.2.1 Jednorodnie naładowana sfera

Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą.

r

R

+Q

W dowolnym punkcie sfery E  S (prostopadłe do powierzchni) więc

∫ d^ =^ (^4 )

E S E π r^2

Zgodnie z prawem Gaussa:

E (4π r^2 ) = Q / ε 0 czyli

2 2 (^40)

r

Q

k r

Q

E = =

πε

dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery). Dla r < R , E = 0.

19.2.2 Jednorodnie naładowana kula

Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni. Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer.

2

. r

Q

E = k wewn

gdzie Qwewn. = Q ( r^3 / R^3 ) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o pro- mieniu R , rysunek).

R

r

Q

Qwewn

Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną μ = Mpme /( MP + me ) ale me << Mp więc μ ≈ me. Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego

3

2 m R

ke e

ω =

π

ω 2

f = = 2.5·10^15 Hz

Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierw- szym stanie wzbudzonym czyli, że taki model jest uzasadniony.

19.2.3 Liniowe rozkłady ładunków

Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długo- ści l >> r.

L

r

Wprowadzamy liniową gęstość ładunku λ (ładunek na jednostkę długości). Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie). Z prawa Gaussa

∫ d =^ =^4 ( )

0

k L

L

π λ ε

λ E S

E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni więc

2 π rLE = 4 π kL λ

r r

k E (^20)

πε

λ λ = = (19.3)

Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R. Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Qwewn. = ρπ r^2 L , gdzie ρ - gęstość objętościowa ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy

E (2 π rL ) = 4 π k ( ρπ r^2 L )

E = 2 k ρπ r ponieważ λ = ρπ R^2 więc

r R

r R

k E (^) 2 0

πε

λ λ = = (19.4)

19.2.4 Płaskie rozkłady ładunków

Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.

E E

Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Qwewn. = σ S , gdzie σ jest gę- stością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa

2ES = σ S / ε 0

gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca. Ostatecznie otrzymujemy

E = σ/2 ε 0 (19.5)

Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator pła- ski). Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równe Eminus = σ/2 ε 0 i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej Eplus = σ/ ε 0 i skierowane jest od płyty.

∞

r E (^) p ( r ) q E d r

Jeżeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ła- dunku punktowego Q , to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile elektrycznej , czyli

∞ ∞

= =−^ r^ =− −

r p r r r qQk r

Q

E r W q k

( ) 2 d

r

E r kqQ p (^ )= (19.8)

jest energią potencjalną ładunków q i Q. Potencjał elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy ładu- nek

q

W

q

E r V r = p^ = ∞ r

Dla ładunku punktowego

r

Q

V = k (19.10)

Potencjał = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności do r od ładunku punktowego Q. Różnica potencjałów czyli napięcie U pomiędzy dwoma punktami = praca na przenie- sienie ładunku jednostkowego między tymi punktami

B

A

VB VA U WAB E d r (19.11)