Pobierz Elementy logiki i teoria mnogosci zestaw zadań i więcej Ćwiczenia w PDF z Logika tylko na Docsity!
Wstęp do logiki i teorii mnogości Matematyka 2019/
Zestaw I
- Które z podanych zdań mają sens logiczny?
(a) 2 = 2 (b) Polska jest krajem europejskim (c) 6 jest małą liczbą (d) 13 − 5 (e) 13 − 5 = 8 (f) Każdy równoległobok jest prostokątem (g) 7 to szczęśliwa liczba (h) -2<-
- Przypisz zdaniom wartość logiczną
(a) 15 jest liczbą pierwszą (b) -5 jest liczbą naturalną (c)
3 jest liczbą niewymierną (d) Warszawa jest stolicą Peru (e) 153 jest liczbą naturalną (f) sześciokąt foremny ma 12 przekątnych (g) w sklepie spożywwczym można kupić chleb
- Oceń wartość logiczną zdań
(a) 15 jest liczbą pierwszą i Ziemia jest planetą (b) Kwadrat jest prostokątem i suma dwóch pierwszych liczb pierwszych wynosi 3 (c)
36 jest liczbą pierwszą i 5 jest liczbą nieujemną (d) 2 + 2 = 5 lub 2 + 2 = 4 (e) | − 3 | = 3 wtedy i tylko wtedy, gdy 4 > 1 (f) liczba sześć jest dzielnikiem liczby 24 (g) Dzielenie przez zero jest niewykonalne i zero nie jest równe zeru (h) Jeśli 10 jest liczbą dodatnią, to 5 jest liczbą ujemną
- Rozstrzygnij
(a) Kiedy Jurek skłamie skoro powiedział "Jeśli mam kanapkę lub ty ją masz, to ja mam kanapkę i ty masz lub ja nie mam kanapki, a ty ją masz" (b) Który z chłopców studiował logikę, skoro na pytanie otrzymano następującą odp: "Jeśli studiował Marek, to studiował też Wacek i nieprawdą jest, że jeśli studiował Tomek, to studiował Wacek" (c) czy prawdziwe jest zdanie "Jeśli liczba naturalna a dzieli się przez 3, to z faktu, że a nie dzieli się przez 3, wynika że a dzieli się przez 5"
(d) czy przwadziwe jest zdanie "Jeżeli Jan nie zna logiki, to jeśli Jan zna logikę, to Jan urodził się w IV w. p.n.e.
(e) które kolokwium zaliczył Andrzej wiedząc, że zdanie "Jeśli Andrzej zaliczył kolokwium z matematyki i nie zaliczył z fizyki, to nie zaliczył również kolokwium z informatyki"jest fałszywe
- Zdanie jestem studentem oznaczmy literą p, zdanie lubię matematykę literą q, z kolei zdanie mam siostrę literą r. Używając podanych oznaczeń i spójników logicznych zapisać zdania:
(a) Jestem studentem i mam siostrę (b) Jeżeli jestem studentem lub mam siostrę, to nie lubię matematyki (c) To, że mam siostrę wynika z tego, że lubię matematykę (d) Lubię matematykę, a więc jestem studentem lub mam siostrę (e) Jeżeli mam siostrę, to lubię matematykę (f) Fakt, że jestem studentem jest równoważny temu, że lubię matematykę
- Wykaż (a) p∨ ∼ p ∈ T ; (b) p ⇒∼ p /∈ T ; (c) (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) ∈ T ; (prawo transpozycji) (d) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) ∈ T/ ; (e) [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) ∈ T ; (prawo przechodniości dla implikacji) (f) ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q) ∈ T ; Prawo de Morgana (g) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q) ∈ T ; Prawo de Morgana (h) (∼ p) ⇒ (p ⇒ q) ∈ T ; Prawo Dunsa Scotusa (i) [∼ (p ⇒ q)] ⇔ [p ∧ (∼ q)] ∈ T ; (j) [p∧(q ∨r)] ⇔ [(p∧q)∨(p∧r)] ∈ T ; (Prawo rozdzielności koniunkcjii względem alternatywy) (k) [p∨(q ∧r)] ⇔ [(p∨q)∧(p∨r)] ∈ T. (Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji) (l) (p ⇒ q) ⇔ ((∼ p) ∨ q) ∈ T.
- Napisz negację zdań: (a) Każdy kwadrat jest prostokątem i każdy romb jest równoległobokiem. (b) Jeżeli pochodna z funkcji rzeczywistej jest dodatnia w pewnym przedziale, to funkcja rośnie w tym przedziale. (c) Funkcja kwadratowa posiada co najmniej jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyróżnik jest większy lub równy od zera.
- Sprawdzić dla jakich trójkątów ABC prawdziwy jest warunek zdaniowy: Jeżeli z faktu, że wszystkie boki trójkąta ABC są równe, wynika, że wszystkie kąty trójkąta ABC są równe, i trójkąt ABC ma nierówne kąty, to ma on również nierówne boki.
- Zbadać, czy pdane sformułowania są równoważne: (a) (1) Nie jest prawdą, że liczba naturalna k jest podzielna przez liczbę naturalną l i przez liczbą naturalną m (2) Nie jest prawdą, że liczba naturalna k jest podzielna przez liczbę naturalną l, lub nie jest prawdą, że liczba naturalna k jest podzielna przez liczbę naturalną m (b) (1) Jeżeli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony (2) Jeżeli ciąg liczbowy nie jest ograniczony, to nie jest zbieżny (c) (1) Jeżeli funkcja rzeczywista f jest w przedziale [a,b] silnie rosnąca, to funkcja f ma w tym przedziale funkcję odwrotną (2) Funkcja rzeczywista f nie jest w przedziale [a,b] silnie rosnąca lub funkcja f ma w tym przedziale funkcję odwrotną
Wstęp do logiki i teorii mnogości Informatyka 2019/
Zestaw II
- Podaj przykłady liczb spełniających formy zdaniowe: (a) a| 12 ∧ a| 18 ; (b) a| 10 ∨ a| 8 ; (c) (a|4) ⇒ (a|6); (d) (a|27) ⇔ (a|18); (e) ∼ (a|36); (f)x > 7 ∧ x < 12; (g)x > 0 ∨ x < −10; (h)x > 2 ⇒ x > 11; (i)x > 5 ⇔ x < 15; (j)∼ (x > 10); (k)(x > 0) ∧ (x < 10); (l)∼ (x > 4)∧ ∼ (x < 0); (ł)liczba naturalna n jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba naturalna jest podzielna przez 3.
- Podane stwierdzenia zapisać za pomocą kwantyfikatorów i funkcji zdaniowych (a) każda liczba rzeczywista jest dodatnia; (b) równanie
x = 1 ma rozwiązanie rzeczywiste; (c) zbiór liczb naturalnych nie jest ograniczony z góry; (d) zbiór A ⊂ R ma element największy; (e) w zbiorze B ⊂ R nie ma elementu najmniejszego; (f) każda liczba rzeczywista jest parzysta; (g) równanie x^2 + x + 1 = 0 nie ma rozwiązania rzeczywistego; (h) równanie x^5 + x = 3 ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.
- Znaleźć zbiór tych x ∈ R, które spełniają warunek zdaniowy (a) ∃y∈R x = y^2 ; (b) ∀y∈R x = y^2 ; (c) ∃y∈R y < 2 x; (d) ∀y∈R x + y = y + x; (e) ∀y∈R xy < 1 ; (f) ∃y∈R x^2 + y^2 = 1.
- Zapisać zaprzeczenia następujących wyrażeń (a) ∃a∈R∃k∈N∀n∈N(n ≥ k ⇒ an = a); (b) ∀x 1 ∈A∀x 2 ∈A(x 1 6 = x 2 ⇒ f (x 1 ) 6 = f (x 2 )); (c) ∃M ∈R∀x∈R x ≤ M ; (d) ∀x∈R x^2 ≥ 0 ; (e) ∃x∈R∀y∈R x + y = 0; (f) ∃a∈R∃b∈R∃c∈R∀x∈R ax^2 + bx + c > 0.
- Zaznaczyć na płaszczyźnie z danym układem współrzędnych zbiór punktów, które spełniają warynek: (a) x < y ⇒ x^2 + y^2 ≥ 1 ; (b) y > cos x ∧ y ≤ 2 ; (c) x^2 + y^2 < 1 ⇔ y ≤ 2.
- Dane są zbiory A = { 1 , 3 , 5 , 7 ,... } ⊂ N, B = { 2 , 4 , 6 , 8 ,... } ⊂ N, C = { 1 , 2 , 5 , 6 , 9 , 10... } ⊂ N. Wyznacz zbiory A ∪ B, A ∩ B, A \ B, C \ A, A ÷ B.
- Niech A, B ⊂ R, gdzie A =
x ∈ R : x^2 − 8 x + 7 < 0
, B =
x ∈ R : x^2 − 5 x + 6 ≥ 0
. Wy- znaczyć A, B, A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A′, B′, A ÷ B.
- Dla podanych par zbiorów narysować iloczyn kartezjański A × B (a) A = [1, 4], B = [1, 3], (b) A = (0, 4), B = { 1 , 2 , 3 }.
- Zaznaczyć w układzie współrzędnych zbiór: A = {(0, 1) ∪ { 2 }} × [0, 1].
- Udowodnić prawa de Morgana dla zbiorów: (a) ∼ (A ∪ B) =∼ A ∩ ∼ B, (b) ∼ (A ∩ B) =∼ A ∪ ∼ B.
- Wyznaczyć sumę i iloczyn dla rodziny zbiorów: (a) At = {x ∈ R : t − 1 ≤ x < t}, t ∈ N i t ∈ (0, +∞), (b) At = {x ∈ R : −t ≤ x ≤ t}, t ∈ N i t ∈ (0, +∞), (c) At = {x ∈ R : x ≤ t}, t ∈ N i t ∈ (0, +∞),
