Elementy logiki. Klasyczny rachunek zda´n., Streszczenia z Logika

Pobierz Elementy logiki. Klasyczny rachunek zda´n. i więcej Streszczenia w PDF z Logika tylko na Docsity!

Elementy logiki. Klasyczny rachunek zda´n.

Elementy logiki

Klasyczny rachunek zda´n

Wojciech Buszkowski

Zakład Teorii Oblicze´n

Wydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytet im. Adama Mickiewicza

Spójniki logiczne

1. Spójniki logiczne

Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyra˙zenie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Pozna´n le˙zy nad Wart ˛a, 2+ 2 =4, 1<2 - zdania prawdziwe Pozna´n le˙zy nad Wisł ˛a, 2+ 2 =5, 1>2 - zdania fałszywe W j ˛ezyku naturalnym zdania w sensie logicznym maj ˛a form ˛e zda´n oznajmuj ˛acych, nie pytajnych, ani rozkazuj ˛acych. Prawd ˛e i fałsz nazywamy warto´sciami logicznymi. Prawd ˛e oznaczamy symbolem 1, a fałsz symbolem 0. Inne oznaczenia: V, F (łac. veritas, falsum) oraz T, F (ang. truth, falsehood). Zmienne zdaniowe p; q; r; s (tak˙ze z indeksami) reprezentuj ˛a dowolne zdania.

Spójniki logiczne

Zdanie postaci :p nazywamy negacj ˛a zdania p. Zdanie postaci p ^ q nazywamy koniunkcj ˛a zda´n p i q; podobnie dla pozostałych spójników. Inne oznaczenia spójników logicznych: spójnik negacji , koniunkcji &;
, alternatywy +, implikacji !, równowa˙zno´sci $; . Koniunkcj ˛e nazywamy te˙z iloczynem logicznym, a alternatyw ˛e sum ˛a logiczn ˛a. Zdanie p nazywamy argumentem spójnika negacji w zdaniu :p. Spójnik negacji jest jednoargumentowy. Zdania p i q nazywamy argumentami spójnika koniunkcji w zdaniu p ^ q. Spójnik koniunkcji jest dwuargumentowy. Spójniki alternatywy, implikacji i równowa˙zno´sci s ˛a te˙z dwuargumentowe. W przypadku implikacji, lewy argument nazywamy poprzednikiem, a prawy nast ˛epnikiem.

Spójniki logiczne

Spójniki logiczne s ˛a ekstensjonalne: warto´s´c logiczna zdania zło˙zonego za pomoc ˛a danego spójnika jest jednoznacznie wyznaczona przez ten spójnik i warto´sci logiczne argumentów. Negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym. Negacja zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym. Koniunkcja dwóch zda´n jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba argumenty s ˛a prawdziwe. Alternatywa dwóch zda´n jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden argument jest prawdziwy. Implikacja dwóch zda´n (zdanie warunkowe) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a nast ˛epnik jest fałszywy. Równowa˙zno´s´c dwóch zda´n jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba argumenty maj ˛a t ˛e sam ˛a warto´s´c logiczn ˛a.

Spójniki logiczne

Je˙zeli zdanie p ) q jest prawdziwe, to mówimy, ˙ze zdanie q wynika ze zdania p. Zauwa˙zmy, ˙ze 0 ) p jest prawd ˛a dla dowolnego p, a wi ˛ec ze zdania fałszywego wynika dowolne zdanie. Podobnie, p ) 1 jest prawd ˛a dla dowolnego p, a wi ˛ec zdanie prawdziwe wynika z dowolnego zdania. Implikacj ˛e okre´slon ˛a w powy˙zszy sposób nazywamy implikacj ˛a materialn ˛a, a opowiadaj ˛acy jej stosunek wynikania wynikaniem materialnym. Nie s ˛a one w pełni zgodne z rozumieniem zwrotu ‘je˙zeli ..., to’ w j ˛ezyku naturalnym. Mówi ˛ac ‘je˙zeli p, to q’ mamy zwykle na my´sli jaki´s gł ˛ebszy zwi ˛azek mi ˛edzy tymi zdaniami, np. wynikanie na gruncie pewnej wiedzy (teorii), albo zwi ˛azek przyczynowy. W matematyce i innych naukach ´scisłych implikacja materialna jest powszechnie stosowana. Gdy matematyk mówi, ˙ze warunek W 2 wynika z warunku W1, to ma na my´sli, ˙ze implikacja W 1 ) W2 jest prawdziwa w powy˙zszym sensie.

Formuły KRZ

2. Formuły KRZ

Formuły KRZ to wyra˙zenia poprawnie zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomoc ˛a spójników logicznych. W formułach zawieraj ˛acych kilka spójników stosujemy nawiasy, ˙zeby jednoznacznie okre´sli´c argumenty ka˙zdego spójnika. Przykład. Wyra˙zenie p ^ q _ r nie jest poprawnie zbudowan ˛a formuł ˛a. Wprowadzaj ˛ac nawiasy, otrzymujemy dwie istotnie ró˙zne formuły: (p ^ q) _ r oraz p ^ (q _ r). Niektóre nawiasy mo˙zemy pomin ˛a´c, przyjmuj ˛ac priorytety (sił ˛e wi ˛azania) spójników. Najsilniejszy jest spójnik negacji, słabsze s ˛a spójniki koniunkcji i alternatywy (równosilne), a najsłabsze spójniki implikacji i równowa˙zno´sci (równosilne). p ^ q ) :p _ q przedstawia formuł ˛e (p ^ q) ) ((:p) _ q). Formuły KRZ nazywamy te˙z schematami zdaniowymi KRZ.

Formuły KRZ

Przykład. φ = p _ q ) p ^ q, w(p) = 1, w(q) = 0. W poni˙zsym obliczeniu )′; _′; ^′^ oznaczaj ˛a działania na warto´sciach logicznych, które odpowiadaj ˛a spójnikom ); _; ^. W(φ; w) = (1 _′^ 0) )′^ (1 ^′^ 0) = 1 )′^0 = 0 W ten sposób mo˙zemy wyznaczy´c warto´s´c logiczn ˛a dowolnego zdania logicznie zło˙zonego, je˙zeli znane s ˛a warto´sci logiczne wszystkich składowych zda´n logicznie prostych. Przykład. Zdanie: je˙zeli nieprawda, ˙ze Pozna´n le˙zy nad Wisł ˛a, to je˙zeli Pozna´n le˙zy nad Wart ˛a, to przez Pozna´n przepływa rzeka. p - Pozna´n le˙zy nad Wisł ˛a, q - Pozna´n le˙zy nad Wart ˛a, r - przez Pozna´n przepływa rzeka. Logiczny schemat zdania: φ = :p ) (q ) r). Warto´sciowanie: w(p) = 0, w(q) = w(r) = 1. W(φ; w) = :′ 0 )′^ (1 )′^ 1) = 1 )′^1 = 1. Zatem zdanie jest prawdziwe.

Formuły KRZ

Liczba wszystkich warto´sciowa´n n zmiennych wynosi 2n.

Tablica prawdziwo´sciowa formuły: φ = p _ :q ) :p ^ r.

p q r :q :p p _ :q :p ^ r φ 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

Tautologie KRZ

Definicja 3. Mówimy, ˙ze formuła φ jest logicznie równowa˙zna formule (w KRZ), je˙zeli dla ka˙zdego warto´sciowania w (zmiennych wyst ˛epuj ˛acych w tych formułach) W(φ; w) = W( ; w). Fakt 1. φ jest logicznie równowa˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy formuła φ , jest tautologi ˛a.

Dowód. Oczywi´scie dla dowolnego warto´sciowania w: W(φ; w) = W( ; w) wtw, gdy W(φ , ; w) = 1. St ˛ad wynika równowa˙zno´s´c warunków: (L) dla ka˙zdego warto´sciowania w W(φ; w) = W( ; w), (P) dla ka˙zdego warto´sciowania w W(φ , ; w) = 1, co ko´nczy dowód faktu. q.e.d.

Tautologie KRZ

Prawa ł ˛aczno´sci koniunkcji, alternatywy i równowa˙zno´sci: (p ^ q) ^ r , p ^ (q ^ r) (p _ q) _ r , p _ (q _ r) [(p , q) , r] , [p , (q , r)] Prawa przemienno´sci koniunkcji, alternatywy i równowa˙zno´sci: p ^ q , q ^ p p _ q , q _ p (p , q) , (q , p) Na mocy praw ł ˛aczno´sci mo˙zemy pomija´c nawiasy w formułach p 1 ^ p 2 ^


^ pn oraz p 1 _ p 2 _


_ pn. Na mocy praw ł ˛aczno´sci i przemienno´sci kolejno´s´c wyst ˛epowania zmiennych nie wpływa na warto´s´c logiczn ˛a takich formuł. Podobnie dla φ 1 ^ φ 2 ^


^ φn i φ 1 _ φ 2 _


_ φn.

Tautologie KRZ

Prawo podwójnej negacji: ::p , p Prawo transpozycji: (p ) q) , (:q ) :p) Na mocy tego prawa, zdanie postaci p ) q jest logicznie równowa˙zne zdaniu postaci :q ) :p. Zamiast dowodzi´c pierwszego mo˙zemy dowodzi´c drugie; jest to dowód nie wprost pierwszego zdania. Prawo eksportacji-importacji: [p ^ q ) r] , [p ) (q ) r)] Prawa definiowania jednych spójników przez inne: (p , q) , (p ) q) ^ (q ) p) Na mocy tego prawa, twierdzenie postaci p , q jest logicznie równowa˙zne koniunkcji dwóch implikacji. Aby udowodni´c takie twierdzenie, cz ˛esto dowodzimy kolejno obie implikacje. (p ) q) , :p _ q p ^ q , :(:p _ :q), p _ q , :(:p ^ :q)

Tautologie KRZ

Prawa z ustalonym argumentem: p ^ 1 , p, p ^ 0 , 0, p _ 1 , 1, p _ 0 , p (1 ) p) , p, (0 ) p) , 1, (p ) 1) , 1, (p ) 0) , :p (p , 1) , p, (p , 0) , :p

Par ˛e zda´n, z których jedno jest negacj ˛a drugiego, nazywamy zdaniami sprzecznymi. Prawo wył ˛aczonego ´srodka: p _ :p Zasada wył ˛aczonego ´srodka: Z dwóch zda´n sprzecznych przynajmniej jedno jest prawdziwe. Prawo sprzeczno´sci: :(p ^ :p) Zasada sprzeczno´sci: Z dwóch zda´n sprzecznych przynajmniej jedno jest fałszywe.

Tautologie KRZ

Prawo odrywania: (p ) q) ^ p ) q Prawo odrzucania: (p ) q) ^ :q ) :p Prawo sylogizmu hipotetycznego: (p ) q) ^ (q ) r) ) (p ) r) Prawa symplifikacji: p ^ q ) p, p ^ q ) q Prawa addycji: p ) p _ q, q ) p _ q Ka˙zda tautologia postaci φ , wyznacza dwie tautologie φ ) i ) φ. Logiczne wynikanie zapisujemy te˙z w postaci schematów wnioskowania: φ 1 ; : : : ; φn ; gdzie formuły φ 1 ; : : : ; φn nazywamy przesłankami, a formuł ˛e wnioskiem. Schemat wnioskowania nazywamy logiczn ˛a reguł ˛a wnioskowania KRZ, je˙zeli wniosek logicznie wynika z przesłanek (tzn. ze zbioru przesłanek).

Tautologie KRZ

Reguła odrywania (nazwa łaci´nska: modus ponens)

(MP)

p ) q; p q

p ) q p q Reguła sylogizmu hipotetycznego:

(SYL)

p ) q; q ) r p ) r

p ) q q ) r p ) r