Docsity
Zaloguj sięZarejestruj się
Docsity
Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity

Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium

Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki
Sprzedaj na Docsity
Sprzedaj na Docsity
Zaloguj sięZarejestruj się

Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity

Znajdź dokumenty

Przygotuj się do egzaminów dzięki dokumentom udostępnionym na Docsity przez studentów, takich jak ty

Szukaj dokumentów Store

Najlepsze dokumenty w sprzedaży, umieszczone przez studentów, którzy ukończyli studia

Przeszukaj wszystkie materiały do ​​nauki
Docsity AINEW

Streszczaj swoje dokumenty, zadawaj im pytania, przekształcaj je w quizy i mapy myśl

Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium

Udostępniaj dokumenty
download point icon20 Punktów

Za każdy zamieszczony dokument

Wszystkie sposoby na zdobycie darmowych punktów
Zdobądź punkty już teraz

Wybierz plan Premium z odpowiednią dla Ciebie ilością punktów

Możliwości studiowania

Wybierz swój przyszły program studiów

Dotrzyj do najlepszych uniwersytetów na świecie już teraz. Szukaj wśród tysięcy uczelni i oficjalnych partnerów

Społeczność

Ranking uczelni

Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity

Bezpłatne poradniki

Nasze e-booki ratujące uczniów i studentów!

Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity

Elementy logiki matematycznej. Elementy teorii mnogości. Iloczyn kartezjański zbiorów , Opracowania z Automatyka

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie (AGH)Automatyka

Opracowanie treści wykładu

Typologia: Opracowania

2019/2020

Załadowany 21.10.2020

Aleksy
Aleksy 🇵🇱

4.8

(36)

437 dokumenty

1 / 3

Toggle sidebar

Pobierz cały dokument

poprzez zakup abonamentu Premium

i zdobądź brakujące punkty w ciągu 48 godzin

bg1
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 1-- dr Adam Ćmiel , [email protected]
1
Dr Adam Ćmiel (A4 p.120, tel. 31-72, [email protected] ; http://home.agh.edu.pl/~cmiel/
Podręczniki:
• Furdzik Z., Maj-Kluskowa J., Kulczycka A., Sękowska M.: Nowoczesna matematyka dla inżynierów .Część
I Algebra, Wydawnictwa AGH
• Białas S., Ćmiel A., Fitzke A. Matematyka dla studiów inżynierskich Cz. I Algebra i geometria. Wyd.
AGH2005, SU1679
• Białas S., Macierze. Wybrane problemy ,Wyd . AGH2006
• Gewert M., Skoczylas Z. Algebra 1 i 2. Ofic.wyd. GIS (dla studentów Pol.Wrocł.)
Definicje twierdzenia i wzory , Przykłady i zadania, Kolokwia i egzaminy
Zbiory zadań:
• Przybyło S., Szlachtowski A., Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi. Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne
orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz
(FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania
pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - ∧ - (...i... )
alternatywa - ∨ - (...lub...)
implikacja - ⇒ - (jeżeli ..., to...)
równoważność - ⇔ - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
p ~p
1 0
0 1
p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Prawa logiczne (tautologie) – zawsze prawdziwe
1. pr. podwójnego przeczenia pp
⇔
)(~~
2. pr. wyłączonego środka
p
p
~
∨ (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest prawdziwe)
3. pr. sprzeczności )~(~ pp
∧
(z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest fałszywe)
4. pr. kontrapozycji )~(~)( pqqp ⇒
⇔
⇒
5. pr. przemienności koniunkcji pqqp
∧
⇔
∧
6. pr. przemienności alternatywy pqqp ∨
⇔
∨
7. pr. de Morgana: )~(~)(~ qpqp ∨
⇔
∧
;
)~(~)(~ qpqp
∧
⇔
∨
8. pr. zaprzeczania implikacji )~()(~ qpqp
∧
⇔
⇒
9. pr. „nie wprost” }~)~{()( pqpqp ⇒
∧
⇔
⇒
pf3

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Elementy logiki matematycznej. Elementy teorii mnogości. Iloczyn kartezjański zbiorów i więcej Opracowania w PDF z Automatyka tylko na Docsity!

Dr Adam Ćmiel (A4 p.120, tel. 31-72, [email protected] ; http://home.agh.edu.pl/~cmiel/ Podręczniki :

  • Furdzik Z., Maj-Kluskowa J., Kulczycka A., Sękowska M.: Nowoczesna matematyka dla inżynierów .Część I Algebra, Wydawnictwa AGH
  • Białas S., Ćmiel A., Fitzke A. Matematyka dla studiów inżynierskich Cz. I Algebra i geometria. Wyd. AGH2005, SU
  • Białas S., Macierze. Wybrane problemy ,Wyd. AGH
  • Gewert M., Skoczylas Z. Algebra 1 i 2. Ofic.wyd. GIS (dla studentów Pol.Wrocł.) Definicje twierdzenia i wzory , Przykłady i zadania, Kolokwia i egzaminy

Zbiory zadań :

  • Przybyło S., Szlachtowski A., Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna

Elementy logiki matematycznej

Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi. Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda ( TRUE , 1); Fałsz ( FALSE , 0 ) ( czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu ). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.

Funktory logiczne (spójniki):

  • jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie) negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
  • dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np. koniunkcja - ∧ - (...i... ) alternatywa - ∨ - (...lub...) implikacja - ⇒ - (jeżeli ..., to...) równoważność - ⇔ - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...) p ~ p 1 0 0 1

p q (^) p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Prawa logiczne (tautologie) – zawsze prawdziwe

  1. pr. podwójnego przeczenia ~(~ p )⇔ p
  2. pr. wyłączonego środka p ∨ ~ p (z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest prawdziwe)
  3. pr. sprzeczności ~ ( p ∧ ~ p )(z dwóch zdań przeciwnych przynajmniej jedno jest fałszywe)
  4. pr. kontrapozycji ( p ⇒ q )⇔(~ q ⇒~ p )

5. pr. przemienności koniunkcji p ∧ q ⇔ q ∧ p

6. pr. przemienności alternatywy p ∨ q ⇔ q ∨ p

7. pr. de Morgana: ~^ ( p^ ∧^ q )⇔(~ p ∨~ q );

~ ( p ∨ q )⇔(~ p ∧~ q )

  1. pr. zaprzeczania implikacji ~ ( p ⇒ q )⇔( p ∧~ q )
  2. pr. „nie wprost” ( p ⇒ q )⇔{( p ∧~ q )⇒~ p }
  1. pr. rozdzielności koniunkcji względem alternatywy ( p ∧( q ∨ r ))⇔(( p ∧ q )∨( p ∧ r ))
  2. pr. rozdzielności alternatywy względem koniunkcji ( p ∨( q ∧ r ))⇔(( p ∨ q )∧( p ∨ r ))

Warunek konieczny (WK) i wystarczający (WW):

p ⇒ q p jest warunkiem wystarczającym dla q , a q jest warunkiem koniecznym dla p.

p ⇔ q p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla q.

Kwadrat logiczny:

p ⇒ q tw. proste

q ⇒ p tw. odwrotne (do prostego)

~ p ⇒ ~ q tw. przeciwne ~ q ⇒ ~ p tw. przeciwstawne

Formy (funkcje) zdaniowe – zdania orzekające, którym nie można przypisać określonej wartości logicznej, gdyż zawierają zmienną przebiegającą pewien zbiór X (zwany dziedziną formy zdaniowej), jednak, gdy przyjmiemy zamiast zmiennej dowolny element dziedziny, to forma zdaniowa staje się zdaniem logicznym. Uwaga. Każde równanie jest formą zdaniową

Kwantyfikatory : ∀- dla każdego

∃ - istnieje

  • ∼∀ (^) x ∈ X p ( x ) ⇔ ∃ (^) x ∈ X ∼ p ( x )
  • ∼∃ (^) x ∈ X p ( x ) ⇔ ∀ (^) x ∈ X v ∼ p ( x )
  • ∀ x ∈ X [ p ( x )∧ q ( x )] ⇔ [∀ x ∈ X p ( x ) ∧ ∀ x ∈ X q ( x )]
  • ∃ x ∈ X [ p ( x )∨ q ( x )] ⇔ [∃ x ∈ X p ( x ) ∨ ∃ x ∈ X q ( x )]
  • [∀ x ∈ X p ( x ) ∨ ∀ x ∈ X q ( x )] ⇒ ∀ x ∈ X [ p ( x ) ∨ q ( x )]
  • ∃ x ∈ X [ p ( x ) ∧ q ( x )] ⇒ [∃ x ∈ X p ( x ) ∧ ∃ x ∈ X q ( x )] Zasada indukcji matematycznej { T ( n 0 )∧(∀ n ≥ n 0 T ( n )⇒ T ( n + 1 ))}⇒∀ n ≥ n 0 T ( n )

Elementy teorii mnogości

Zbiór, przynależność do zbioru – to pojęcia pierwotne, (niedefiniowane). Sposoby określania konkretnych zbiorów:

  • wypisanie elementów,
  • podanie warunku przynależności.

np. BA =={{ xx ∈∈ XX :: qp (( xx )})}