Pobierz Fale i cząstki - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Wykład 34
34. Fale i cząstki
34.1 Fale materii
Omawiane na poprzednich wykładach doświadczenia były interpretowane raz w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu o model cząsteczko- wy (np. efekt Comptona). Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może materia też ma taką dwoistą naturę. Taką sugestię zaprezentował w 1924 L. de Broglie min. w oparciu ob- serwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest zadziwiająco symetryczna. Chociaż materię traktowano jako cząstki de Broglie zasugerował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również własności falowych. De Broglie nie tylko zaproponował istnienie fal materii ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła. Analizując zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastosowano do tego zderzenia zasadę zachowania pędu. Do tych obliczeń potrzebne było wyrażenie na pęd fotonu.
λ
λ h c
hc c
hv c
p mc E f =^ = = = = (34.1)
Analogiczne wyrażenie zostało zaproponowane przez de Broglia dla fal materii
p
λ = h (34.2)
Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal mate- rii. Przykład 1 Jaką długość fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych” np. dla piłki, o masie 1 kg, poruszającej się z prędkością 10 m/s, a jaką dla „lekkich” np. elektronów przyspieszonych napięciem 100 V? Dla piłki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s Stąd długość fali de Broglie’a
6 10 m 10 kgm/s
6 10 −^34 Js − 35 = ⋅
p
h λ
Ta wielkość jest praktycznie równa zeru zwłaszcza w porównaniu z rozmiarami obiek- tu. Doświadczenia prowadzone na takim obiekcie nie pozwalają więc na rozstrzygnięcie czy materia wykazuje własności falowe (λ zbyt mała). Przypomnijmy, że falowy cha-
rakter światła przejawia się gdy wymiary liniowe obiektów są porównywalne z długo- ścią fali. Natomiast elektrony przyspieszone napięciem 100 V uzyskują energię kinetyczną
Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17^ J
Prędkość jaką uzyskują elektrony wynosi
- 910 m s
- 110 kg
2 21. 610 J 6
31
17 = ⋅ ⋅
− m
E (^) k v
Odpowiednia długość fali de Broglie’a wynosi
2 10 m 0. 12 nm
110 5. 9 * 10 kgms
610 Js 10 31 6
34 = ⋅ = ⋅ ⋅
− m v
h p
h λ
Jest to wielkość rzędu odległości między atomowych w ciałach stałych. Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena) skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ. Takie doświadczenie przepro- wadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.
włókno
wiązka padająca
wiązka kryształ odbita
detektor ϕ
Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowanym napięciem. Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem ϕ. Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszających. Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia mak- simum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla U = 54 V. Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy obliczymy wartość λ, dla której obserwu- jemy maksimum w tych warunkach
λ = 2 d sin θ
0 l
n = 1
0 l
n = 3
0 l
n = 2
Jeżeli więc ruch elektronów jest ograniczony w atomach to możemy się spodziewać przez analogię, że:
- ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii ,
- ruch ten zostaje skwantowany.
Rysunek poniżej przedstawia stojącą falę materii związaną z orbitą o promieniu r. Dłu- gość fali de Broglie’a została dobrana tak, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę n fal materii.
r
Wtedy otrzymujemy
2 π r = n λ
czyli
p
h 2 π r = n
Prowadzi to natychmiast do
= = n =
h L pr n π
Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencją przyjęcia, że elektron jest repre- zentowany przez odpowiednią falę materii i zastosowania odpowiednich warunków brzegowych.
34.3 Mechanika falowa
W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) min. w oparciu o założenie, że stacjonarne stany w atomach odpo- wiadają stojącym falom materii. Dla fal w strunie zaburzenie może być opisane za pomocą poprzecznego wychylenia y , dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor natężenia pola elektrycznego E. Analogiczną miarą dla fal materii jest funkcja falowa ψ. Teraz spróbujemy znaleźć taką funkcję dla prostego zagadnienia ruchu cząstki o masie m pomiędzy sztywnymi ściankami odległymi o l. Funkcję falową można otrzymać przez analogię do zagadnienia struny umocowanej na obu końcach. Z warunków brzegowych wynika, że na obu końcach struny muszą wy- stępować węzły. Oznacza to (przez to żądanie) że długość fali jest skwantowana :
lub 2
= = n = n
l l n λ
λ
Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez falę stojącą (Wykład 15)
y ( x , t ) = 2 A sin kx cos ω t
dla której rozkład przestrzenny (amplitudy) jest dany przez
y ( x ) = A sin kx
gdzie k = 2 π/ λ. Ponieważ λ jest skwantowane to k też jest skwantowane. Prowadzi to do warunku
= sin , n = 1 , 2 ,...... l
n x y A
π
Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany jest na stronie 34-4. Rozważmy teraz cząstkę poruszającą się pomiędzy sztywnymi ściankami (rysunek na następnej stronie) Ponieważ ścianki są sztywne, cząstka nie może przeniknąć przez nie, tak więc stojąca fala materii opisująca tę cząstkę ma węzły na ściankach. Inaczej mówiąc funkcja falowa ψ przyjmuje wartość zero w punktach x = 0 i x = l.
ki. Wiemy już, że długość fali materii (de Broglie’a) wiąże się bezpośrednio z pędem cząstki. Pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się ψ. Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej podał Max Born. Zasugerował, że wielkość ψ^2 w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobieństwa, że cząstka znajdzie się w pobliżu tego punktu tzn. w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w prze- dziale x, x+ d x. Ta interpretacja funkcji ψ daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie. Tak więc dla cząstki poruszającej się pomiędzy dwoma ściankami odległymi o l
(^2) = sin 2 , n = 1 , 2 ,...... l
ψ A n^ π x (34.4)
nie opisuje położenia cząstki ale rozkład (gęstość) prawdopodobieństwa. Na rysunku przedstawiona jest zależność ψ^2 ( x ) dla trzech pierwszych stanów ruchu cząstki.
(^2) ψ
(^0) l
n = 2 E 2 = 4E 1
X
0 l
n = 3 E 3 = 9E 1
0 l
n = 1 E 1 = h^2 / 8m
Zwróćmy uwagę, że przykładowo dla n = 1 cząsteczka ma większą tendencję (prawdo- podobieństwo) do przebywania w środku niż przy ściankach. Jest to sprzeczne z fizyką klasyczną, która przewiduje jednakowe prawdopodobieństwo przebywania cząstki gdziekolwiek pomiędzy ściankami (linie poziome na rysunku). Podobnie jest dla wyż- szych n. Oczywiście całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki pomiędzy ściankami jest równe jedności.
Zagadnienie cząstki poruszającej się pomiędzy sztywnymi ściankami ma mało realne zastosowanie w fizyce. Dlatego poniżej pokazane są wyniki zastosowania mechaniki falowej do problemu atomu wodoru. Sam problem jest trudny matematycznie. Dlatego pokazane są tylko wyniki zależności ψ( r ) dla n = 1, 2, 3 dla orbitalnej liczby kwantowej l = 0, (rozkład sferycznie syme- tryczny).
n =
0 5 10 15 20 25
r/r
Bohra
n = 3
n = 2
(r)
2
Widać, że mamy ponownie do czynienia z rozkładem prawdopodobieństwa. Istnieje ob- szar w którym elektron może przebywać (z niezerowym prawdopodobieństwem). Mó- wimy o orbitalach zamiast o orbitach. Linią przerywaną zaznaczono promienie orbit przewidywane w modelu Bohra. Są, jak widać orbity dla których ta wartość odpowiada maksimum prawdopodobieństwa znalezienia elektronu.
34.5 Zasada odpowiedniości
Chociaż teorie w fizyce mają ograniczenia to zazwyczaj w sposób ciągły dają wyni- ki coraz mniej zgodne od doświadczenia, tzn. nie „urywają” się nagle. Np. mechanika Newtonowska staje się coraz mniej dokładna gdy prędkość zbliża się do prędkości światła. Dla mechaniki kwantowej też istnieje taka granica. Fizyka kwantowa przechodzi w fi- zykę klasyczną dla dużych liczb kwantowych. To twierdzenie nazywamy zasadą odpo- wiedniości.
∆ y sin θ = λ a dla małego kąta ∆ y θ ≅ λ
Aby elektron doleciał do punkt a (1-sze minimum) musi mieć prędkość pionową ∆ vy taką, że
0
sin v
∆ v (^) y θ≅θ=
Korzystając z obu powyższych równań otrzymujemy
y
y ∆
∆ λ v 0
v
lub inaczej
∆ vy ∆ y = λ v 0
Długość fali wiązki elektronowej jest dana przez h / p czyli h / mv 0. Podstawiając to do ostatniego równania otrzymujemy
0
0 v
v v m
h ∆ y ∆ y ≅
co można zapisać
∆ py ∆ y ≅ h
Jeżeli chcemy poprawić pomiar y (zmniejszyć ∆ y ) to w wyniku zmniejszenia szerokości szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugięcie). Inaczej mó- wiąc zwiększone zostało ∆ py. Równani to przedstawia ograniczenie nałożone na do- kładność pomiarów przez przyrodę (nie ma nic wspólnego z wadami aparatury pomia- rowej). Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczoności. W zastosowaniu do pomiaru pędu i położenia głosi ona, że
p z h
p y h
p x h
z
y
x
Tak więc żadna składowa ruchu elektronu nie może być określona z nieograniczoną do- kładnością. Ta sama zasada obowiązuje w odniesieniu do energii i czasu.
