Fale w ośrodkach sprężystych - Notatki - Fizyka, Notatki z Fizyka

Pobierz Fale w ośrodkach sprężystych - Notatki - Fizyka i więcej Notatki w PDF z Fizyka tylko na Docsity! Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Wykład 15 15. Fale w ośrodkach sprężystych 15.1 Fale mechaniczne Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy falami mechanicznymi. Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z położe- nia równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia. Drgania te (dzięki właściwościom sprężystym ośrodka) są przekazywane na kolejne części ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drga- nia w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pływające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostaj- nym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazu- jąc mu energię. Można za pomocą fal przekazywać więc energię na duże odległości. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki prze- suwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii. Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości spręży- ste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali. Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali • fale poprzeczne (np. lina) • fale podłużne (np. sprężyna, głos) Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w danej chwili) wyróżniamy • fale płaskie (w jednym kierunku) • fale kuliste 15.2 Fale rozchodzące się w przestrzeni Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłuż którego biegnie fala po- przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura można opisać funkcją y = f(x), t = 0 y – przemieszczenie cząsteczek sznura sznura. W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma postać y = f(x − vt), t Oznacza to, że w chwili t w punkcie x = vt, kształt jest taki sam jak w chwili t = 0 w punkcie x = 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f. Jeżeli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia się w czasie określona wartość y (np. maksimum - amplituda). Chcemy żeby y było cały 15-1 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki czas takie samo, więc argument x −- vt musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas ro- śnie to musi też rosnąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie y = f(x+vt). Podsumowując, dla wybranej fazy mamy x − vt = const. Różniczkując względem czasu otrzymujemy 0 d d =−v t x czyli v= t x d d To jest prędkość fazowa. Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego miejsca sznura x mamy równanie f(t). Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją xAy λ π2sin= gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd. Wielkość λ nazywamy długością fali (odległość między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie t )(2sin txAy v−= λ π To jest równanie fali biegnącej. Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą λ więc: λ = vT stąd       −= T txAy λ π2sin (15.1) Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd., oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach t, t + T, t +2T, itd. Często wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową k = 2π/λ i częstość ω = 2π/T. Wówczas y = Asin(kx-ωt) lub y = Asin(kx+ωt) dla fal biegnących w prawo i lewo. Widać, że prędkość fazowa fali v jest dana wzorem v = λ/T = ω/k (15.2) oraz, że dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego. 15-2 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki W tym celu posłużymy się zależnością P = Fyvy Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest vy = ∂y/∂t, a składowa siły F w kierunku y wynosi Fsinθ . Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy θ ∂ ∂ sin t yFP = Dla małych kątów θ możemy przyjąć sinθ ≅ – ∂y/∂x (znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny). Stąd x y t yFP ∂ ∂ ∂ ∂ −= Obliczamy teraz pochodne funkcji )sin(),f( txkAtxy ω−== )cos( tkxA t y ωω ∂ ∂ −−= )cos( tkxkA x y ω ∂ ∂ −= i podstawiamy do wyrażenia na moc )(cos txkkFAP ωω −= 22 (15.6) Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając z tego, że k = ω /v, ω = 2πf oraz, że µ/F=v otrzymujemy )(cos4 2222 tkxfAP ωµπ −= v (15.7) Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal. 15.5 Interferencja fal Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach róż- niących się o ϕ. Równania tych fal są następujące y1 = Asin(kx – ωt – ϕ) y2 = Asin(kx – ωt) 15-5 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Znajdźmy teraz falę wypadkową (zasada superpozycji) jako sumę y = y1 + y2. Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy y = 2Acos(ϕ/2)sin(kx – ωt – ϕ/2) (15.8) co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(ϕ/2). Dla ϕ = 0 fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają), a dla ϕ = 180 wygaszają. 15.6 Fale stojące Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn. y1 = Asin(kx – ωt) y2 = Asin(kx + ωt) np. falę padającą i odbitą. Falę wypadkową można zapisać jako y = y1 + y2 = 2Asinkxcosωt (15.9) To jest równanie fali stojącej. Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym pro- stym. Cząstki mają tę samą częstość ale różną amplitudę zależną od położenia cząstki x. Punkty kx = π/2, 3π/2, 5π/2, itd. czyli x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 itd. mające maksymalną am- plitudę nazywamy strzałkami a punkty kx = π, 2π, 3π itd. czyli x = λ/2, λ, 3λ/2 itd. ma- jące zerową amplitudę nazywamy węzłami. Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę. Energia nie jest przenoszona wzdłuż sznura bo nie może ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w po- szczególnych elementach sznura. 15.6.1 Układy drgające, przykład Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta a następnie puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony, jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych koń- cach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze cztery ro- dzaje drgań jakie powstają w strunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane na rysunku poniżej. Takie fale stojące nazywamy rezonansami. Widzimy, że długości fal spełniają związek n L n 2 =λ (15.10) 15-6 docsity.com Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki L λ 4 = L/2 λ 3 = 2L/3 λ 2 = L λ 1 = 2L Korzystając z tego, że prędkość fali vT λλ ==v oraz podstawiając wyrażenie (15.4) możemy obliczyć częstotliwość rezonansów µ F L n L nfn 22 == v (15.11) Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową a pozostałe wyższymi harmonicz- nymi czyli alikwotami. Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O ja- kości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące zło- żeniem tonu podstawowego (n = 1) i wyższych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o różnych amplitudach jest pokazane na rysunku poniżej. drganie wypadkowe n = 7 n = 5 n = 3 n = 1 t Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus). 15-7 docsity.com