procesy stochastyczne
lista 4
1. Niech X1, X2, . . . , Xnbędą zmiennymi losowymi, określonymi nastepująco w n–krotnym rzucie moneta: zmienna
losowa Xiprzyjmuje wartość 1 jeśli w i-tym rzucie wypadła reszka, -1 w przeciwnym przypadku.
a) opisz (Ω,Σ) tego doświadczenia,
b) opisz F1=σ(X1),
c) opisz F2=σ(X1, X2),
d) zbadaj, czy ciąg σ–ciał Fk=σ(X1, . . . , Xk), k = 1,2, . . . , n jest filtracją.
2. Momentem stopu τ: Ω →T∪{+∞} względem filtracji (Ft) nazywamy zmienną losową τ, która spelnia warunek:
∀t∈T{ω∈Ω : τ(ω)≤t}∈Ft.
Udowodnij, że τjest momentem stopu względem filtracji (Ft)⇐⇒
∀t∈T{ω∈Ω : τ(ω) = t}∈Ft.
3. Niech τ1, τ2będą momentami stopu względem filtracji (Ft). Udowodnij, że τ1∧τ2= min(τ1, τ2)oraz τ1∨τ2=
max(τ1, τ2)też są momentami stopu względem filtracji (Ft).
4. Niech τbędzie momentem stopu względem filtracji (Fn)n∈N. Zbadaj, czy następujące zmienne losowe też są
momentami stopu względem filtracji (Fn):
a) τ+ 1;
b) τ−1;
c) τ2;
d) √τ.
5. Rozważ poprzednie zadanie dla filtracji {Ft:t∈[0,+∞)}.
6. Udowodnij, ze zmienna losowa τ=c∈T, gdzie c=const. jest momentem stopu względem dowolnej filtracji.
7. Niech τbędzie momentem stopu względem filtracji (Ft)i niech (Xt)będzie ciągiem zmiennych losowych adap-
towanym do tej filtracji.
a) Udowodnić, że chwila pierwszej wizyty (Xt)w zbiorze B∈ B(R)po chwili τjest momentem stopu.
b) Zdefiniować moment k-tej wizyty (Xt)w zbiorze Bi udowodnić, że jest on momentem stopu.
8. Rzucamy monetą. Niech X1,X2, . . . będą zmiennymi losowymi, określonymi następująco - zmienna losowa Xi
przyjmuje wartość 1 jeśli w i-tym rzucie wypadła reszka, -1 w przeciwnym przypadku. Zbadaj, czy następujące
zmienne losowe są momentami stopu względem naturalnej filtracji Fk=σ(X1,, Xk), k = 1,2, . . .
a) τ= 1;
b) τ= inf{n∈N:X1+X2+. . . +Xn= 2};
c) τ= inf{n∈N:X1+X2+. . . +Xn≥2};
d) τ= inf{n∈N:Xn+1 =−1};
e) τ= inf{n∈N:Xn=−1};
f) τ= inf {n∈N:Xn−1=−1};
g) τ+ 1, gdzie τjest równe ilości reszek w pierwszym rzucie monetą;
h) τ−1, gdzie τjest wygraną w pierwszym rzucie.
9. Opisać Fτ, jeśli zmienne losowe Xi,i= 1,2,...,są niezależne, P(Xi= 1) = P(Xi=−1) = 1
2,Fi=σ(X1, , Xi), τ =
inf{n≤2 : X1+. . . +Xn= 1}.
docsity.com