Fizyka ćwiczenia zadania druga liceum, Ćwiczenia z Fizyka

Pobierz Fizyka ćwiczenia zadania druga liceum i więcej Ćwiczenia w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela

Każda funkcja, w tym dowolna funkcja kwadratowa, posiada dziedzinę i zbiór wartości, które pozwalają określić jej własności. Wyznaczanie zbioru wartości funkcji kwadratowej znajduje szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu różnych problemów matematycznych.

Twoje cele

Określisz zbiór wartości dowolnej funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru lub wykresu. Ustalisz, od czego zależy zbiór wartości funkcji kwadratowej. Wyznaczysz wzór funkcji kwadratowej mając informacje o jej zbiorze wartości.

Źródło: Olaf Pictures, dostępny w internecie: www.pixabay.com.

Zbiór wartości funkcji kwadratowej

Ponieważ i , zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział.

Ważne!

Jeżeli pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli jest , to wartość drugiej współrzędnej można obliczyć z zależności.

Przykład 3

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji, której wykres przedstawiono poniżej.

Odczytujemy, że zbiorem wartości funkcji jest przedział.

Przykład 4

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji kwadratowej.

Obliczamy oraz.

Ponieważ oraz , zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział.

Przykład 5

Wyznaczmy zbiór wartości funkcji , jeżeli jej dziedziną jest przedział.

W tym celu obliczamy wartości funkcji na końcach podanego przedziału. Otrzymujemy

,

a = 2 q = −12 f(x) ⟨−12, ∞)

p

q f(p) = q

f(x) = −x^2 + 2x − 1

p = 2⋅(−1)−2 = −2 −2 = 1 q = f(1) = −1^2 + 2 ⋅ 1 − 1 = 0

a < 0 q = 0 (−∞, 0⟩

f(x) = 3x^2 − 6x + 5

f(−1) = 3 ⋅ (−1)^2 − 6 ⋅ (−1) + 5 = 3 + 6 + 5 = 14

Następnie obliczamy współrzędną wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji. Otrzymujemy

.

Ponieważ , więc wyznaczamy wartość .

Najmniejszą wartością tej funkcji w podanym przedziale jest , a największą , zatem zbiorem wartości jest przedział.

Wyznaczenie zbioru wartości funkcji kwadratowej pozwala na rozwiązywanie bardziej złożonych problemów matematycznych.

Przykład 6

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru zbiorem wartości funkcji jest przedział.

Ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest większy od zera, zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział.

Stąd otrzymujemy, że.

Przykład 7

Ile liczb całkowitych ujemnych należy do zbioru wartości funkcji określonej wzorem ?

Obliczamy wartość.

Ponieważ oraz , więc zbiorem wartości funkcji jest przedział.

Do przedziału należą liczby całkowite ujemne , , ,.

Przykład 8

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej , jeżeli wiadomo, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział , osią symetrii paraboli, będącej wykresem tej funkcji, jest prosta o równaniu i do wykresu należy punkt o współrzędnych.

Ponieważ osią symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji jest prosta , zatem .

Jeżeli zbiorem wartości funkcji kwadratowej jest przedział , to.

f(4) = 3 ⋅ 4^2 − 6 ⋅ 4 + 5 = 48 − 24 + 5 = 29

p

p = 2⋅3^6 = 66 = 1

p = 1 ∈ ⟨−1, 4⟩

q = f(p) = 3 ⋅ 1^2 − 6 ⋅ 1 + 5 = 3 − 6 + 5 = 2

a f(x) = 2x^2 + a

⟨a, ∞)

a = 3

f(x) = 2x^2 − 4x − 2

q = −Δ 4 a =

−((−4)^2 −4⋅2⋅(−2))

4⋅2 =^

−

a > 0 q = −4 f(x) ⟨−4, ∞)

f

x = −2 (0, −7)

x = −

p = −

(−∞, −3⟩ q = −

Animacja

Polecenie 1

Obejrzyj animację, a następnie wykonaj polecenie.

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DfthFqXtK

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego zbioru wartości funkcji kwadratowej.

Polecenie 2

Na podstawie animacji wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej opisanej wzorem:

a)

b)

f(x) = 3 ⋅ (x + 3)(x − 2)

f(x) = −2 ⋅ (x − 2)^2 + 3

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia: 輸 醙 難

Ćwiczenie 1

Na poniższym rysunku przedstawiono parabolę.

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej przedstawionej na wykresie jest przedział:

Ćwiczenie 2

Dana jest funkcja kwadratowa. Współczynnik wynosi , wyróżnik , a wartość równa się. Zatem zbiorem wartości tej funkcji jest przedział ,.

f(x) = x^2 − 2x − 8 a

q

Ćwiczenie 5

Pogrupuj zgodnie z opisem.

Funkcje kwadratowe, które przyjmują tylko wartości ujemne:

Funkcje kwadratowe, które przyjmują tylko wartości dodatnie:

f(x) = −x^2 + 4x − 5

f(x) = x^2 + 4x + 6

f(x) = x^2 + 6x + 10

f(x) = x^2 + 10x + 30

f(x) = −x^2 − 6

f(x) = −x^2 − 2x − 4

Ćwiczenie 6

Przedział ⟨−3, ∞)jest zbiorem wartości funkcji:

f(x) = −x^2 + 2x − 4

f(x) = 2x^2 + 4x + 5

f(x) = x^2 + 4x + 1

Ćwiczenie 7

Wstaw w tekst odpowiednie wartości:

Dana jest funkcja kwadratowa. Jeżeli współrzędna wierzchołka paraboli wynosi , to parametr jest równy. Wtedy zbiorem wartości funkcji jest przedział ,.

f(x) = 2x^2 + bx − 4 p

b

f(x) ⟨ ∞)

醙

醙

難

Ćwiczenie 8

Zbiorem wartości funkcji f(x) = 2(x + 3)(x − 1)jest przedział:

難

Metody i techniki nauczania:

dyskusja; liga zadaniowa.

Formy pracy:

praca indywidualna; praca w grupach; praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

zasoby multimedialne zawarte w e‐materiale; tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda; komputery z dostępem do internetu dla uczniów.

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

Uczniowie przypominają znane im wiadomości o funkcji kwadratowej. Rysują na tablicy kilka wykresów funkcji kwadratowej i omawiają jej własności.

Nauczyciel podaje temat i cele lekcji.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie w 4‐osobowych grupach zapoznają się z informacjami w sekcji „Przeczytaj”. Analizują przedstawione przykłady i notują pytania. Następnie przedstawiają pytania na forum klasy. Odpowiadają na nie uczniowie z innych grup. Nauczyciel wyjaśnia ewentualne wątpliwości.
2. Uczniowie zapoznają się z treścią z sekcji „Animacja”. Zapisują ewentualne pytania dotyczące napotkanych trudności, po czym następuje dyskusja, w trakcie której nauczyciel wyjaśnia niezrozumiałe elementy materiału.
3. Uczniowie w kolejnym kroku rozwiązują ćwiczenia numer 1 i 2 w sekcji „Sprawdź się”. Każdy z uczniów robi to samodzielnie. Po ustalonym czasie wybrani uczniowie przedstawiają odpowiedzi, a reszta klasy wspólnie ustosunkowuje się do nich. Nauczyciel w razie potrzeby koryguje odpowiedzi, dopowiada istotne informacje, udziela uczniom informacji zwrotnej.
4. Kolejny etap to liga zadaniowa - uczniowie wykonują w grupach na czas ćwiczenia 3‐ z sekcji „Sprawdź się”, a następnie omawiają zadania na forum klasy.
5. Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenia nr 6‐8, ale następnie konsultują swoje rozwiązania z innym uczniem i zapisują na kartce problemy, które mieli podczas ich wykonywania.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.
2. Nauczyciel ponownie odczytuje temat lekcji: „Zbiór wartości funkcji kwadratowej” i inicjuje krótką rozmowę na temat kryteriów sukcesu. Czego się uczniowie nauczyli? Na koniec prosi chętnego ucznia o podsumowanie i – jeśli to potrzebne – uzupełnia informacje.

Praca domowa:

1. Zadanie dla kolegi/koleżanki. Uczniowie dobierają się w pary i opracowują zadania analogiczne do ćwiczeń 7 i 8 z sekcji „Sprawdź się”. Następnie przesyłają je do siebie mailem, rozwiązują i na następnej lekcji porównują wyniki.

Materiały pomocnicze

Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej

Współrzędne wierzchołka paraboli

Wskazówki metodyczne:

Materiał w sekcji „Animacja” można potraktować jako zadanie domowe dotyczące analizy problemu związanego ze zbiorem wartości funkcji kwadratowej. Animację można wykorzystać na lekcji poświęconej odczytywaniu własności funkcji kwadratowej z wykresu.