Pobierz Fizyka - opracowanie wyników pomiarów i więcej Laboratoria w PDF z Fizyka tylko na Docsity!
Opracowanie wyników pomiarów *
(Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki)
Politechnika Koszalińska październik 2010
Spis treści
1. Liczby – podstawowe pojęcia...................................... 1 1.1. Zera wiodące............................................... 2 1.2. Zera końcowe............................................... 2 1.3. Cyfry znaczące.............................................. 2 1.4. Zera końcowe jako cyfry znaczące................................... 2 2. Systemy zapisu liczb............................................ 3 2.1. Zapis dziesiętny............................................. 3 2.2. Zapis naukowy.............................................. 3 2.3. Zapis inżynierski............................................. 4 3. Zasady zaokrąglania wyników i niepewności pomiarowych i ich prezentacji.......... 4 3.1. Pojęcia elementarne dotyczące zaokrągleń............................... 4 3.2. Niepewność pomiarowa:......................................... 5 3.3. Wartość liczbowa wyniku........................................ 5 3.4. Sposób przedstawienia wartości liczbowej wyniku wraz z niepewnością pomiarową........ 5 3.5. Przykłady zaokrągleń.......................................... 5 4. Obliczenia................................................... 8 4.1. Precyzja obliczeń............................................ 8 4.2. Podstawianie wartości liczbowych do wzorów............................. 8 5. Wykresy.................................................... 8 Ogólne zasady sporządzania wykresów.................................... 9 6. Dopasowanie prostej do punktów na wykresie............................ 10 6.1. Metoda graficzna............................................. 11 6.2. Metoda najmniejszych kwadratów................................... 12
1. Liczby – podstawowe pojęcia
Wprowadzenie ma charakter praktyczny i jest dość zwięzłe. Nie omawiamy tu pojęcia cyfry (od- nośnik dla zainteresowanych: http://pl.wikipedia.org/wiki/Cyfra) ani liczby (odnośnik dla zain- teresowanych: http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczba). Intuicyjne i praktyczne rozumienie tych pojęć, jakie każdy student wyniósł ze szkoły średniej, jest wystarczające, konieczna jest jedynie większa precyzja w ich rozumieniu i stosowaniu, której służą zagadnienia omawiane dalej. Potrzebna jest również świadomość pewnych użytkowych właściwości narzędzi, które wykorzystujemy do obliczeń, tj. kalkulatorów i programów komputerowych.
- (^) Opracowanie Jan Mazur, w. 05.11.2010.
Rys. 1. Przykład zer wiodących, końcowych i cyfr znaczących
1.1. Zera wiodące
- Jest to ciąg zer z lewej strony liczby, poprzedzający pierwszą cyfrę różną od zera (patrz rys. 1). Należy zwrócić uwagę, że liczba zer wiodących zmieni się, jeśli zmienimy jednostkę (np. masę elek- tronu na rys. 1 przedstawimy w gramach), lub jeśli z liczby wyłączymy czynnik 10 n^ i przedstawimy liczbę w postaci iloczynowej.
- Ponieważ ilość zer wiodących może się zmieniać, zatem zera wiodące nie mogą być cyframi zna- czącymi.
1.2. Zera końcowe
- Jest to ciąg zer położony w prawej części liczby bezpośrednio za ostatnią cyfrą różną od zera. Liczba zer końcowych, podobnie jak i wiodących może być różna, z tych samych powodów jak wyżej. Jest jednak jedna istotna różnica między nimi.
- Część (a nawet wszystkie), licząc od lewej strony, zer końcowych mogą być cyframi znaczącymi. Zależy to od znaczenia poszczególnych zer końcowych, a zatem od znaczenia liczby.
1.3. Cyfry znaczące
- Na podstawie powyższego można powiedzieć, że cyfry znaczące to ciąg cyfr znajdujący się pomiędzy zerami wiodącymi a zerami końcowymi.
- Część ciągu zer końcowych (a nawet wszystkie) biorąc z lewej strony, może być cyframi znaczącymi.
1.4. Zera końcowe jako cyfry znaczące
- Na rys. 1, w liczbie określającej masę Ziemi żadne z zer końcowych nie jest cyfrą znaczącą, gdyż masa Ziemi jest tu podana z dokładnością do pierwszych 5 cyfr. Inny przykład: jeśli wygrana w Lotka wyniosła około 1 000 000 zł (czyli mogła wynieść np. 960 000 lub 1 200 000, każda z tych liczb zaokrąglona do 1 mln daje 1 mln czyli 1 000 000) to żadne z zer końcowych nie jest znaczące (tzn. nie jest cyfrą znaczącą). Jeśli jednak wygrana wyniosła dokładnie 1 000 000 to wszystkie zera końcowe są znaczące.
b) me = 9 , 109 382 2 · 10 −^31 kg = 9,109 382 2 E-31 kg.
- Zapis z literą „E” lub „e” jest wciąż stosowany (bo zdarza się, że niektóre elementy interfejsu użytkownika nadal nie pozwalają wyświetlać/edytować indeksów).
- Powyższe przykłady pokazują, że liczby bardzo małe i bardzo duże mają w zapisie naukowym „przyjazną” postać i posługiwanie się nimi jest wygodne, w odróżnieniu do przedstawionego wcze- śniej zapisu dziesiętnego.
- Patrz wcześniejsze uwagi na temat cyfr znaczących i zer końcowych. Odnoszą się one do zapisu naukowego.
- Do zapisu niepewności (błędów) stosujemy wersję zapisu naukowego z mantysą, która nie jest znormalizowana, i z cechą równą cesze liczby do której niepewność się odnosi. Przykład: a) W =1 , 2345 · 105 kg, ∆ W =0 , 0006 · 105 kg. Jest to czytelne, możemy te dwie wartości od razu przedstawić łącznie w postaci: W = (1 , 2345 ± 0 , 0006) · 105 kg; b) w zapisie naukowym (mantysa znormalizowana) niepewność wygląda następująco: ∆ W = 6 · 101 kg. Jest przedstawiona w sposób bardzo niewygodny, wartości liczbowe W i ∆ W są oderwane od siebie, nie widać ich wzajemnej relacji. Dlatego postępujemy jw.
2.3. Zapis inżynierski
- Jest to wariant zapisu naukowego, w którym: a) wykładnik b jest wielokrotnością 3. b) Liczba a jest znormalizowana w ten sposób, że spełnia warunek 1 ¬ |a| < 1000.
- Zapis inżynierski „pasuje” do przedrostków układu SI. Część przedrostków układu SI opowiada wykładnikom notacji inżynierskiej jak k – kilo ( b = 3), M – mega ( b = 6), G – giga ( b = 9) czy m
- mili ( b = − 3), μ – mikro ( b = − 6), n – nano ( b = − 9) itd.
- Gdy liczba a w zapisie inżynierskim jest liczbą całkowitą z zerami końcowymi, to kwestia czy te zera są czy nie są cyframi znaczącymi, jest nieokreślona. Na szczęście dotyczy to niewielkiej liczby przypadków, np. dla liczby 900 · 103 , ale już nie dla 900 , 0 · 103 (zero po przecinku oznacza, że ono i zera poprzedzające są cyframi znaczącymi) czy 900 , · 103 (tu przecinek dziesiętny bez następującej po nim cyfry oznacza, że poprzedzające go zera są cyframi znaczącymi).
- Do zapisu niepewności (błędów) stosujemy wersję zapisu inżynierskiego z mantysą, która nie jest znormalizowana, i z cechą równą cesze liczby do której niepewność się odnosi. Przykład: a) W = 1 , 2345 · 106 kg, ∆ W = 0 , 0006 · 106 kg. Jest to czytelne, możemy te dwie wartości od razu przedstawić łącznie w postaci: W = (1 , 2345 ± 0 , 0006) · 106 kg; b) w zapisie inżynierskim (mantysa znormalizowana) niepewność wygląda następująco: ∆ W = 600 czyli 600 · 100 kg. Jest przedstawiona w sposób bardzo niewygodny, wartości liczbowe W i ∆ W są oderwane od siebie, nie widać ich wzajemnej relacji. Dlatego postępujemy jw.
3. Zasady zaokrąglania wyników i niepewności pomiarowych i ich prezentacji.
3.1. Pojęcia elementarne dotyczące zaokrągleń
Poniżej przedstawione są zasady zaokrąglania wyników i niepewności pomiarowych, na końcu opra- cowania podano dwa szczegółowe przykłady zaokrąglania – znajdują się one w tabelach 1 oraz 2. Przedstawiono też sposób zapisu wyników wraz z ich niepewnościami pomiarowymi jaki jest po- wszechnie stosowany (są również inne, związane z nową metodyką niepewności pomiarowych, będą one uwzględnione później).
Zaokrąglenie: odrzucenie, począwszy od pewnej cyfry w liczbie, wszystkich cyfr po jej prawej stronie. Ostatnia cyfra pozostawiona (ta z prawej strony) określa miejsce dziesiętne, do którego nastąpiło zaokrąglenie (np. mówi się: zaokrąglenie do drugiego miejsca po po przecinku). Zaokrąglenie określa się też względem ilości pozostawionych cyfr znaczących (np. zaokrąglenie do dwu cyfr znaczących).
Zaokrąglenie w dół: jw., ostatnia pozostawiona cyfra pozostawiona jest bez zmian.
Zaokrąglenie w górę: ostatnia pozostawiona cyfra zwiększana jest o jednostkę.
3.2. Niepewność pomiarowa:
- Niepewność pomiarową zaokrąglamy zawsze w górę.
- Zaokrąglamy niepewność pomiarową do 2 cyfr znaczących w górę, tzn. zostawiamy z lewej strony 2 cyfry znaczące, pozostałe odrzucamy (np. 0 , 123456 → 0 , 12). Ostatnią cyfrę znaczącą jeśli jest < 9 zwiększamy o jednostkę (czyli 0 , 12 → 0 , 13), jeśli jest = 9 to odrzucamy ją, a o jednost- kę zwiększamy pierwszą cyfrę – czyli niepewność zaokrąglamy do 1 cyfry znaczącej (przykład 0 , 181234 → 0 , 19 → 0 , 2).
- Jeśli zaokrągliliśmy niepewność do 2 cyfr znaczących to sprawdzamy o ile wzrośnie jej wartość jeśli zaokrąglimy ją do 1 cyfry znaczącej w górę. Jeśli wzrost będzie ¬ 10% to zaokrąglamy niepewność do 1 cyfry, jeśli nie to pozostawiamy z 2 cyframi. Przykład: błąd 0 , 38 → przyrost błędu 0 , 2 procentowo 00 ,,^0238 · 100 = ≈ 5 , 3% < 10%, zatem zaokrąglamy do 1 cyfry znaczącej, czyli mamy po zaokrągleniu 0 , 4.
3.3. Wartość liczbowa wyniku
- Uświadamiamy sobie na jakiej pozycji dziesiętnej znajduje się ostatnia cyfra niepewności. Do tej pozycji należy bowiem zaokrąglić wartość liczbową wyniku.
- Cyfry w wyniku znajdujące się na prawo od powyższej pozycji dziesiętnej odrzucamy, a cyfrę znajdującą się na tej pozycji dziesiętnej zaokrąglamy w dół lub w górę w zależności od wartości pierwszej cyfry odrzuconej (z lewej strony) według następujących zasad: a) cyfra odrzucona < 5 – zaokrąglamy w dół, b) cyfra odrzucona > 5 – zaokrąglamy w górę, c) cyfra odrzucona = 5 - zaokrąglamy w dół, gdy cyfra zaokrąglana jest parzysta, - zaokrąglamy w górę, gdy cyfra zaokrąglana jest nieparzysta. - (reguła mnemotechniczna: zaokrąglanie w górę można skojarzyć z zapisem liczb parzystych: „N parzyste = 2n” i nieparzystych „N nieparzyste = 2n+1”. W tym zapisie liczba nieparzysta jest „większa o 1” i kojarzymy to z zaokrągleniem w górę).
- Należy zwrócić uwagę, że po dokonanych zaokrągleniach ostatnie cyfry wartości liczbowej wyzna- czonej wielkości i jej niepewności pomiarowej są na tym samym miejscu dziesiętnym.
3.4. Sposób przedstawienia wartości liczbowej wyniku wraz z niepewnością pomiarową
Przyjmując oznaczenia:
W – nazwa danej wielkości fizycznej, wl – wartość liczbowa tej wielkości, po zaokrągleniach, np – niepewność pomiarowa tej wielkości, po zaokrągleniach, 10 n^ – mnożnik zapisu naukowego, może być tak, że go nie będzie, jedn – jednostka wielkości fizycznej,
zapisujemy wynik w postaci: W = ( wl ± np ) · 10 n^ jedn.
3.5. Przykłady zaokrągleń
Poniżej przedstawione są dwa przykłady zaokrąglania wyników wraz z niepewnościami pomia- rowymi przedstawionymi w postaci dziesiętnej (patrz tabele 1 i 2. Przykłady te pokazują też jak zaokrągla się wyniki w zapisie naukowym, gdyż w trakcie działań następuje przekształcenie zapisu wyniku z postaci dziesiętnej do postaci naukowej.
Tab. 2. Zaokrąglanie wyniku wraz z niepewnością pomiarową przedstawionych w postaci dziesiętnej z zerami wiodącymi.
Krok U [V] ∆ U [V] Komentarz
Zaczynamy: U i ∆ U są przedstawione w zapisie dziesiętnym z zerami wiodącymi.
1 4 , 5675 · 10 −^3 0 , 012345 · 10 −^3
U zostało przekształcone do postaci naukowej, ∆ U zaś do postaci wykładniczej o takiej samej cesze jak U (postać wykładnicza gdyż mantysa nie jest znormalizowana).
2 0 , 013 · 10 −^3
U bez zmian, ∆ U zaokrąglamy w górę do 2 cyfr znaczących (zaokrąglenie do 1 cyfry znaczącej w tym przypadku nie stosuje się gdyż przyrost błędu byłby większy niż 10%). Ostatnia cyfra znacząca po zaokrągleniu znajduje się na trzecim miejscu po przecinku, do tej pozycji należy zaokrąglić U.
3 4 , 568 · 10 −^3
U zostało zaokrąglone do trzeciego miejsca po przecinku w górę, gdyż odrzucaną cyfrą było 5, a zaokrąglaną cyfrą 7, która jest nieparzysta.
4 U = (4 , 568 ± 0 , 013) · 10 −^3
lub U = (4 , 568 ± 0 , 013) mV
Zapis końcowy. Zwróć uwagę, że ostatnie cyfry w U i ∆ U są na tej samej pozycji dziesiętnej.
4. Obliczenia
Wzory tabel, w których należy podać wyniki obliczeń i wyniki pośrednie, są podane w instrukcji. Same obliczenia mogą być wykonane za pomocą kalkulatorów, komputerów (arkuszy kalkulacyjnych), obliczeń ręcznych. Szczegóły obliczeń nie muszą być przedstawiane, z wyjątkiem przykładowych obli- czeń, po jednym przykładzie dla każdego rodzaju obliczeń, tak by można było ocenić ich poprawność.
4.1. Precyzja obliczeń
Należy stosować się do następujących zasad:
- należy uważać by nie wprowadzać dodatkowych błędów zaokrągleń w wyniku brania do obliczeń liczb ze zbyt małą ilością cyfr znaczących (np. cyfrowy miernik wskazuje wartość „1,000”, przyjęcie wartości „1” byłoby błędne, należy przyjąć „1,000”);
- niewłaściwa jest również przesada w drugą stronę – zapis liczb z nadmiarem cyfr znaczących (doty- czy to zwykle wyników obliczeń). Przeważnie zapis 4 cyfr znaczących jest wystarczający, nawet dla wyników pośrednich, jednakże należy uwzględnić zasady przedstawione dalej, dotyczące działań matematycznych;
- w obliczeniach błędów wystarczają 3 cyfry znaczące;
- przy podnoszeniu do potęgi, pierwiastkowaniu i logarytmowaniu zachowujemy w wyniku tyle cyfr znaczących ile ma liczba wyjściowa;
- przy mnożeniu i dzieleniu zachowujemy w wyniku tyle cyfr znaczących ile ma liczba o najmniejszej ilości cyfr znaczących;
- przy dodawaniu i odejmowaniu w wyniku zachowujemy tyle cyfr po przecinku ile ich jest w liczbie mającej ich najmniej;
- W tej części sprawozdania, tj. p. 1 na str. 1, nie dokonujemy końcowych zaokrągleń wyników i błędów.
4.2. Podstawianie wartości liczbowych do wzorów
Podstawową zasadą jaką należy się kierować jest by wszystkie wielkości podstawiane do wzoru były wyrażone w jednostkach podstawowych układu jednostek, czyli np. wartości długości w milimetrach muszą być wyrażone w metrach itp. Na przykład:
- 100 mm = 100 · 10 −^3 m = 10^2 · 10 −^3 = 10 −^1 m = 0,1 m, podstawiamy więc jako 0,1 m i podobnie niżej:
- 10 pF = 10 · 10 −^12 F = 10 −^11 F (F – Farad, jednostka pojemności kondensatora, gigantyczna, ale ostatnio pojawiły się kondensatory o takich pojemnościach),
- 20 mT = 20 · 10 −^3 T, do wzoru podstawiamy 20 · 10 −^3 T (T - Tesla, jednostka indukcji magnetycznej, 10 T w warunkach ziemskich to duża wartość). Postępując w ten sposób otrzymamy poprawną wartość wyniku, wyrażoną w jednostkach podstawo- wych układu jednostek.
5. Wykresy
Wykresy w sprawozdaniach muszą spełniać określone wymagania, różnią się one w pewnych ele- mentach od wykresów matematycznych. Poniżej przedstawiony jest przykładowy wykres (rys. 2 na stronie 14) mający związek z Ćw. nr 52. Charakterystyka licznika Geigera - Millera. Dalej będzie wyjaśnione na czym te wymagania polegają.
Cechy tego wykresu, które czynią go poprawnym
- Wykres jest ”samoobjaśniający”, nie musimy zaglądać do tekstu, który mu towarzyszy (chyba, że nie robiliśmy ćw. 52, lub za krótko wpatrywaliśmy się w wykres).
- Jeśli niepewności pomiarowe są odpowiednio duże w skali wykresu należy dla każdego punktu nary- sować tzw. prostokąt błędu , którego środkiem jest dany punkt, a bok równy podwojonej wartości niepewności pomiarowej odpowiedniej współrzędnej. Prostokąt błędu przedstawiamy w postaci prostokąta lub krzyżyka.
- Na podstawie wyrysowanych na wykresie punktów pomiarowych wykreślamy tzw. krzywą teo- retyczną obrazowującą zależność między wielkościami fizycznymi przedstawionymi na wykresie. Jeśli krzywą tą jest linia prosta to postępujemy według zasad omówionych w następnej części opracowania. Jeśli jest nią krzywa to musimy ją wykreślić przy pomocy krzywika, najlepiej przezroczystego. Wykreślana krzywa musi być ciągła i gładka, nie musi przechodzić przez wszystkie punkty (dobrze jeśli przez ich pola błędów), powinna być poprowadzona tak by punkty pomiarowe były rozłożone równomiernie nad i pod nią.
- Jeśli na podstawie wykresu wyznaczamy jakieś wielkości fizyczne, należy to udokumentować na wy- kresie, zaznaczając użyte punkty, współrzędne, linie pomocnicze, oznaczenia, wypisać odpowiednie wartości itd.
Po zapoznaniu się z powyższymi zasadami prosimy przyjrzeć się wykresom 2 i 3 na stronach 14 i 15, i ocenić na ile są one z nimi zgodne.
6. Dopasowanie prostej do punktów na wykresie
Często zdarza się, że na wykresie przedstawione są punkty pomiarowe odpowiadające wielkościom między którymi występuje zależność liniowa. Jest ona opisywana funkcją
y = ax + b ,
gdzie a jest współczynnikiem kierunkowym prostej, określającym jej nachylenie a b wyrazem wolnym, którego wartość odpowiada punktowi przecięcia osi y. Przykładem takiej zależności jest prawo Ohma
U = RI ,
gdzie U jest spadkiem napięcia, I natężeniem prądu, a R oporem elektrycznym, przy czym U odpo- wiada zmiennej y , I zmiennej x , R współczynnikowi a w równaniu prostej. Inny przykład to pomiar oporu elektrycznego właściwego metalu ρ w funkcji temperatury T. Dla metali ta zależność jest w dość szerokim zakresie liniowa i możemy ją przedstawić wzorem
ρ = ρ 0 + α ( T − T 0 ),
gdzie ρ 0 jest oporem elektrycznym właściwym w temperaturze T 0 a α współczynnikiem temperaturo- wym oporu właściwego, tu ρ pełni rolę zmiennej y , ρ 0 wyrazu wolnego, α wspólczynnika kierunkowego a , różnica temperatur T − T 0 zmiennej x. Bardziej złożony przypadek występuje gdy zależność między obiema wielkościami jest nieliniowa, ale można ją zlinearyzować (czyli przekształcić do postaci liniowej) stosując odpowiednie przekształ- cenie. W ćwiczeniu nr 63 korzystamy ze wzoru Richardsona-Dushmana przedstawiającego gęstość prądu nasycenia jn emitowanego z powierzchni metalu o temperaturze bezwględnej T :
jn = BT^2 exp
−W
kT
gdzie: B – stała emisyjna, W – praca wyjścia elektronu z metalu (w ćwiczeniu należy ją wyznaczyć), k – stała Boltzmanna.
Logarytmujemy obustronnie wzór i dostajemy
ln jn = ln( BT^2 ) −
W
k
T
Pierwszy składnik po prawej stronie zmienia się nieznacznie w porównaniu do drugiego i możemy go zastąpić stałą b otrzymując liniową funkcję ln jn = f ( (^) T^1 ) o postaci
ln jn = −
W
k
T
w której zmiennej y odpowiada ln jn , współczynnikowi kierunkowemu a , czynnik − Wk , zmiennej x odwrotność temperatury (^) T^1 oraz występuje nieistotny dla nas (w tym przypadku) wyraz wolny b. Należy teraz sporządzić wykres tej zależności (na osi rzędnych odkładamy obliczone wartości ln jn , a na osi odciętych wartości (^) T^1 ) i dopasować odpowiednią prostą. W powyższych przykładach można zauważyć, że współczynnikom w równaniu prostej odpowiadają wielkości fizyczne, które mamy wyznaczyć. Zatem należy znaleźć właściwe położenie prostej , wykreślić ją i wyznaczyć jej równanie (czyli wielkości odpowiadające współczynnikom a i b ). Mamy do dyspozycji dwie metody:
- metoda graficzna, w której wizualnie znajdujemy najlepsze naszym zdaniem położenie prostej i na- stępnie graficznie wyznaczamy współczynniki jej równania;
- metoda najmniejszych kwadratów, nazywana też regresją liniową, w której obliczamy współczynniki równania prostej i mając je wykreślamy ją na wykresie.
6.1. Metoda graficzna
W tej metodzie ważne jest by wykres był możliwie duży (papier milimetrowy formatu A4 jest wystarczający) oraz miał tak dobrane skale osi rzędnych i odciętych, by punkty pomiarowe układały się wzdłuż prostej o nachyleniu zbliżonym do 45 ◦^ – wtedy uzyskamy największą dokładność. Korzystamy z linijki, najlepiej przezroczystej, którą przykładamy do punktów pomiarowych w taki sposób by:
- możliwie dużo punktów leżało na prostej wyznaczonej przez linijkę;
- by prosta to przechodziła przez możliwie dużą ilość prostokątów błędów dla punktów nie leżących na prostej;
- by odległości prosta – punkty pomiarowe były średnio jak najmniejsze, a ilość punktów nad i pod prostą mniej więcej zbliżona i w miarę równomiernie rozłożona wzdłuż prostej;
- jeśli jakieś punkty znacząco nie pasują do układu pozostałych możemy przyjąć, że są obarczone błędem grubym i nie brać ich pod uwagę. Następnie prostą wykreślamy i przystępujemy do graficznego wyznaczenia współczynników jej równa- nia (jeśli mamy do wyznaczenia jakieś wielkości fizyczne z jej parametrów). W tym celu zaznaczamy w początkowej części prostej punkt A i końcowej punkt B , dokładne położenie tych punktów powinniśmy tak dobrać byśmy mogli możliwie dokładnie odczytać z wykresu współrzędne tych punktów. Następnie konstruujemy trójkąt prostokątny ABC , którego przeciwpro- stokątną jest odcinek AB , odcinek AC jest równoległy do osi odciętych, a odcinek BC równoległy do osi rzędnych. Przedłużamy prostą do przecięcia z osią rzędnych. Współczynniki równania prostej wyznaczamy następująco:
- wyraz wolny b i odpowiadającą mu wielkość fizyczną odczytujemy jako wartość rzędnej w punkcie przecięcia prostej z osią rzędnych jeśli rzędnych wykresu przechodzi przez punkt zerowy na osi odciętych (najczęściej tak jest), jeśli nie to musimy wykreślić prostopadłą do osi rzędnych przecho- dzącą przez zero i odczytać współrzędną punktu przecięcia;
- współczynik kierunkowy a i odpowiadającą mu wielkość fizyczną wyznaczamy jako tangens nachy- lenia prostej. Pojawia się tu jednak coś nowego. W trygonometrii tangens jest wielkością bezwymiarową, ponadto osie x i y na wykresach trygonometrycznych mają zawsze ten sam odcinek jednostkowy i są wy- rażone liczbami, czyli wielkościami bezwymiarowymi. Na wykresach fizycznych wielkości z reguły
Ich odchylenia standardowe
Sa =
√√ √√ √√ √√ √√
n n − 2
∑^ n
n =
y i^2 − a
∑^ n
i =
xiyi − b
∑^ n
i =
yi
n
∑^ n
i =
x^2 i −
( (^) n ∑
i =
xi
Sb = Sa
√√ √√ 1 n
∑^ n
i =
x^2 i.
Po obliczeniu współczynników należy wykreślić prostą na wykresie i sprawdzić czy odpowiada ona układowi punktów pomiarowych.
Rys. 2. Przykład wykresu
