Fizyka współczesna (wybrane zagadnienia), Publikacje z Fizyka

Pobierz Fizyka współczesna (wybrane zagadnienia) i więcej Publikacje w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Fizyka współczesna (wybrane zagadnienia)

Mariusz Przybycień

Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza

Wykład 4

Od Szczególnej Teorii Względności ...

Szczególna Teoria Względności (STW) - podsumowanie: służy do opisu obiektów poruszajacych sie z dużymi prędkościami, słuszna w inercjalnych układach odniesienia, zdarzenie to punkt w czasoprzestrzeni ( t, x, y, z ), upływ czasu i odległości przestrzenne wygodnie mierzyć w tych samych jednostkach (np. czas w metrach pokonanych przez światło), obserwatorzy znajdujący się w różnych układach odniesienia przypisują z reguły różne wartości odległości ∆ x i upływu czasu ∆ t pomiędzy dwoma zdarzeniami, zgadzają się jednak co do wartości odstępu czasu zmierzonego na zegarze w układzie w którym oba zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu (∆ τ - czas własny): ∆ s^2 ≡ ∆ t^2 − ∆ x^2 = ∆ τ^2 oraz co do odległości pomiędzy jednoczesnymi zdarzeniami (∆ σ , długość własna): ∆ s^2 ≡ ∆ t^2 − ∆ x^2 = − ∆ σ^2 Zasada maksymalnego starzenia się: Cząstka swobodna porusza się pomiędzy dwoma zdarzeniami w czasoprzestrzeni po linii, wzdłuż której upływ czasu pomiędzy tymi zdarzeniami, mierzony na zegarze związanym z cząstką, jest maksymalny.

Lokalność układów inercjalnych

Układ inercjalny nie może być zbyt duży (czasoprzestrzenie).

Lokalny charakter układów inercjalnych wymaga stosowania OTW - do opisu ruchu w pobliżu masywnych obiektów potrzeba wielu lokalnych układów inercjalnych.

Pojęcie ‘obserwatora’ w STW i tzw. ‘odległego obserwatora’ w OTW (układ inercjalny ale nie sięgający źródła przyciągania grawitacyjnego)

Einstein: krzywizna czasoprzestrzeni Newton: przyspieszenia pływowe

δ r δ r

δ r (^) δ r

Miarą krzywizny jest zmiana odległości pomiędzy liniami prostymi, które początkowo są równoległe.

Grawitacyjna dylatacja czasu

Wniosek z ZRE: Zegary znajdujące się wyżej w polu grawitacyjnym spieszą w porównaniu do zegarów znajdujących sią niżej.

ts - odstęp czasu pomiędzy sygnałami emitowanymi przez zródło

tr - odstęp czasu pomiędzy sygnałami rejestrowanymi przez odbiornik

S - chwilowy układ spoczynkowy rakiety ( t = 0)

h

h

g

h

g

Analiza w układzie S : Rozważmy serię szybkich błysków ( ts małe):

vs = gt → 0 oraz ls =

gt^2 → 0

a więc można zaniedbać ruch rakiety jeśli rozważamy zródło. Ale czas potrzebny na dotarcie sygnału do odbiornika jest skończony h/c , a więc nie można zaniedbać ruchu rakiety jeśli rozważamy odbiornik. Zaniedbujac efekty wyższego rzędu znajdujemy, że:

vr = gt = g

h c

oraz h − lr = h −

g ( h/c )^2 = h

g

h c^2

→ h

Układ jednostajnie przyspieszony

Rozważamy czastkę o masie m jednostajnie przyspieszaną siłą f = mg. Cząstka początkowo spoczywa w układzie S , a następnie znajduje się w kolejnych chwilowych układach inercjalnych S′ :

f (^) x′ = fx = const

f =

d p d t

d( γmv ) d t

⇒ γv = gt ⇒ v =

gt √ 1 + ( gt )^2

x =

∫ (^) t

0

v d t =

∫ (^) t

0

gt d t √ 1 + ( gt )^2

g

1 + ( gt )^2 − 1

x

x'

t (^) t'

1/ g

A P

hyperbola

Definiując punkt P ( xP, tP ) = ( − 1 /g, 0) mamy ( x − xP )^2 − t^2 =

g^2 Nachylenie linii P A , gdzie A jest dowolnym punktem na linii świata cząstki, jest równe: tA − tP xA − xP

gt √ 1 + ( gt )^2

= v patrz wyżej

Linia P A definiuje więc chwilową oś x′. Oznacza to, że zdarzenie P jest jednoczesne w S′^ z dowolnym zdarzeniem zachodzącym w układzie cząstki. Uwaga: Punkt P jest analogiem horyzontu zdarzeń wokół czarnej dziury.

Układ jednostajnie przyspieszony

Jaka jest odległość punktów P i A w chwilowym układzie czastki S′?

Mamy γ =

1 + ( gt )^2 oraz xA − xP =

g

1 + ( gt )^2

∆ x = γ (∆ x′^ + v ∆ t′ ) ⇒ x′ A − x′ P =

γ

( xA − xP ) =

g W układzie S′^ punkt P pozostaje zawsze w stałej odległości od cząstki!

Z jednostajnie przyspieszanych cząstek budujemy jednostajnie przyspieszany układ odniesienia (ale taki w którym odległości pomiędzy cząstkami pozostają stałe w ich układach chwilowych S′ ):

gA =

a

oraz gB =

b

⇒ g ( z ) ∝

z

a x b

x'

t

E A

E B

P

A i B odczuwają różne przyspieszenia własne. Nie jest możliwe skonstruowanie statycznego układu (o skończonych rozmiarach) w którym wszystkie punkty odczuwają jednakowe przyspieszenie własne. M. Przybycień (WFiIS AGH) ′ Fizyka współczesna Wykład 4 7 / 13

Metryka Schwarzschilda

Równanie pola Einsteina: Rμν −

gμν R + Λ gμν = − 8 π c^4

GTμν

Rozwiązanie znalezione przez K. Schwarzschilda (1873-1916) miesiąc po opublikowaniu OTW. Metryka Schwarzschilda służy do opisu czasoprzestrzeni w pobliżu sferycznie symetrycznego, nie obracającego się obiektu o dużej masie. Płaska czasoprzestrzeń: (∆ τ )^2 = (∆ t )^2 − (∆ r )^2 − ( r ∆ φ )^2 Jak należy zmodyfikować te metrykę do opisu dwóch zdarzeń zachodzących w płaszczyźnie przechodzącej przez środek sferycznie symetrycznego obiektu o dużej masie?

d τ^2 =

2 M

r

d t^2 − d r^2 1 −^2 Mr

− r^2 d φ^2

d σ^2 = −

2 M

r

d t^2 +

d r^2 1 −^2 Mr

• r^2 d φ^2

r = obwód / 2 π - ‘zredukowany obwód’ t - ‘odległy czas’ - czas mierzony na zegarze znajdującym się daleko od centrum przyciągania grawitacyjnego.

Metryka Schwarzschilda - dyskusja

Horyzont zdarzeń (promień Schwarzschilda): R = 2 M (1 − 2 M/r ) - krzywizna (dla obiektu sferycznie symetrycznego i nie obracającego się zależy jedynie od r , a nie zależy od φ ) dla r → ∞ krzywizna (1 − 2 M/r ) → 1 (płaska czasoprzestrzeń) dla M → 0 krzywizna (1 − 2 M/r ) → 1 (płaska czasoprzestrzeń) dla r > 2 M mamy: I (^) odległość mierzona w kierunku radialnym pomiędzy współśrodkowymi sferami jest większa niż odległość wynikająca z pomiaru współrzędnej r :

d σ = d r shell = d r √ 1 −^2 Mr

I (^) grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni: d τ = d t shell =

1 − 2 M r

d t Metryka Schwarzschilda (MS) stosuje się do obszaru na zewnątrz masywnego obiektu (Ziemia, Słońce, biały karzeł, gwiazda neutronowa). Czarna dziura nie ma powierzchni – MS opisuje całą przestrzeń, aż do r = 0. Osobliwość dla r = 2 M nie jest ‘rzeczywista’ (zależy od wyboru współrzędnych) – przekraczając horyzont nic nadzwyczajnego się nie dzieje. Osobliwość dla r = 0 jest ‘rzeczywista’, tzn. wszystko co dociera do centrum czarnej dziury jest zgniecione do zerowej objętosci (punktu) - załamanie praw fizyki!

Część przestrzenna metryki Schwarzschilda

Niech d t = 0 (‘zamrażamy’ czas) i ograniczmy się do płaszczyzny przechodzącej przez środek czarnej dziury:

d σ^2 = d r^2 1 −^2 Mr

• r^2 d φ^2

Przykład: W jakiej odległosci od centrum masy czasoprzestrzeń staje się (praktycznie) płaska?

Słońce: M = 1500 m , R = 7 · 108 m , d = 1_._ 5 · 1011 m

2 M

r

= 1 − 10 −^6 ⇒ r =

2 M

10 −^6

= 3 · 109 m ≈ 4 R

2 M

r

= 1 − 10 −^8 ⇒ r =

2 M

10 −^8

= 3 · 1011 m ≈ 2 d

Uwzględnienie krzywizny czasoprzestrzeni konieczne jest przy opisie orbit planet.

Czarna dziura: M = 10^6 M , 1 ly = 9_._ 46 · 1015 m

2 M

r

= 1 − 10 −^6 ⇒ r =

2 M

10 −^6

≈ 0_._ 32 ly

Energia w metryce Schwarzschilda

Rozważmy cząstkę spadającą radialnie ( dφ = 0) na obiekt o masie M :

( δτ )^2 =

1 −^2 M r

( δt )^2 − ( δr )

2 1 −^2 Mr

Uwaga: δ oznacza tutaj zmianę danej wielkości; natomiast d poniżej oznacza pochodną. Cząstka porusza się po takiej trajektorii, wzdłuż której upływ czasu własnego jest maksymalny:

0 = d ( δτ ) d ( δt ) =

1 − 2 M r

) (^) δt δτ ⇒

1 − 2 M r

) (^) t τ = const = γ = E m Uwaga: Ostatnia relacja wynika z faktu, że dla ( r → ∞ ) znajdujemy się w płaskiej czasoprzestrzeni, w której t = γτ oraz E = γm. Swobodny spadek z dużej odległości cząstki początkowo nieruchomej: E m =

1 − 2 M r

) (^) δt δτ = 1 ( 1 − 2 M r

( δt )^2 = ( δτ )^2 =

1 − 2 M r

( δt )^2 − ( δr )^2 1 −^2 Mr dr dt = −

1 − 2 M r

) ( 2 M

r

r/M

v/c

drshell/dtshell

dr/dt

Horyzont

0

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0.

0.

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15