Teoria przestrzeni Hilberta
Lista 1
(formy kwadratowe, przestrzenie unitarne)
Zad 1.
Niech
H
b¦dzie przestrzeni¡ liniow¡ nad ciaªem liczb zespolonych.
a) Czy suma lub iloczyn dwóch form kwadratowych jest form¡ kwadratow¡?
b) Czy iloczyn przez liczb¦ formy kwadratowej jest form¡ kwadratow¡?
c) Czy granica ci¡gu form kwadratowych jest form¡ kwadratow¡?
Zad 2.
Pokaza¢, »e w przestrzeni rzeczywistej forma kwadratowa nie wyznacza jednoznacznie
formy dwuliniowej, tzn. istniej¡ formy dwuliniowe
ϕ
,
ψ
takie, »e
ϕ6=ψ
oraz
ˆϕ=ˆ
ψ
.
Zad 3.
Które z podanych funkcjonaªów
ϕ
s¡ iloczynami skalaranymi w przestrzeni
X
?
ϕ(x, y)X ϕ(x, y)X
a)
x1+x2+y1+y2R2
h)
3x1y1−x1y2−x2y1+ 3x2y2R2
b)
x1y1+x2y2+ 1 R2
i)
2x1y1+ 3x1y2+ 3x2y1+x2y2+x3y3R3
c)
x1y1+ 2x2y2R2
j)
x1y1−x1y2−x2y1+ 2x2y2R2
d)
x1y1+x2y2R3
k)
x1y1+ 2x1y2+ 2x2y1+x2y2R2
e)
P3
i=1 xiyi+P3
i,j=1 xiyjR3
l)
3P3
i=1 xiyi−P3
i,j=1 xiyjR3
f) Re
(z1w1) +
Im
(z2w2)C2
m)
z1w1+iz1w2−iz2w1+z2w2C2
g)
z1w1+z2w2C2
n)
2z1w1−z1w2−z2w1+z2w2C2
Zad 4.
Niech
H
b¦dzie przestrzeni¡ unitarn¡ i niech
x, y ∈H
. Pokaza¢, »e je±li
x⊥y
, to
a)
kx+yk2=kxk2+kyk2
, b)
kx+yk=kx−yk
,
Wykaza¢, »e je±li
H
jest przestrzeni¡ rzeczywist¡, to prawdziwe s¡ tak»e implikacje odwrotne,
je±li za±
H
jest przestrzeni¡ zespolon¡ to imlpikacje odwrotne nie zachodz¡.
Zad 5.
Niech
H
b¦dzie zespolon¡ przestrzeni¡ unitarn¡ i niech
x, y ∈H
. Pokaza¢, »e nast¦puj¡ce
warunki s¡ równowa»ne
a)
x⊥y
, b)
kx+yk2=kx+iyk2=kxk2+kyk2
, c)
∀t∈Ckx+tyk=kx−tyk
.
Zad 6.
Udowodni¢, »e dla nieujemnej, symetrycznej formy póªtoraliniowej
ϕ
na przestrzeni
liniowej
V
zachodzi nierówno±¢ Schwartza, tzn.
|ϕ(x, y)|2≤ϕ(x, x)ϕ(y, y ).
dla dowolnych
x, y ∈V
. Wyci¡gn¡¢ st¡d wniosek, »e
{x∈V: ˆϕ(x) = 0}={x∈V:ϕ(x, y)=0,
dla ka»dego
y∈V},
i
E:= {x∈V: ˆϕ(x)=0}
jest podprzestrzeni¡ liniow¡
V
. Forma
ϕ
faktoryzuje si¦ do
iloczynu skalranego okre±lonego na przestrzeni ilorazowej
V/E
i dlatego, par¦
(V, ϕ)
nazywa
si¦
przestrzeni¡ preunitarn¡
.
Zad 7.
Wykaza¢, »e przestrze« unitarna
H
wraz z norm¡
kxk=phx, xi
stanowi przestrze« un-
ormowan¡ oraz »e iloczyn skalarny w tej przestrzeni jest ci¡gªy (jako funkcja dwóch zmiennych).
Zad 8.
Niech
H
b¦dzie zespolon¡ przestrzeni¡ unitarn¡ i niech
x, y, z ∈H
. Pokaza¢, »e
a)
kx+yk=kxk+kyk ⇐⇒ x=αy
dla pewnego
α≥0
b)
kx−zk=kx−yk+ky−zk ⇐⇒ y=αx + (1 −α)z
dla pewnego
α∈[0,1]
Zad 9.
Oczywi±cie zespolon¡ przestrze« liniow¡
V
mo»emy traktowa¢ równie» jako przestrze«
rzeczywist¡. Udowodni¢, »e
a) mi¦dzy funkcjonaªami
C
-liniowymi oraz
R
-liniowymi na
V
istnieje wzajemnie jednoznaczn¡
odpowiednio±¢ dana przez równo±¢
f(x) = u(x)−iu(ix),
b) równo±¢
ϕ(x, y) = u(x, y) + iu(x, iy ),
ustala wzajemnie jednoznaczn¡ odpowiednio±¢ mi¦dzy formami
C
-póªtoraliniowymi
ϕ
oraz
R
-dwuliniowymi
u
na
V
takimi, »e
u(ix, y) = −u(x, iy)
.
docsity.com