Pobierz Funkcja kwadratowa: wzor, miejsca zerowe. Postacie funkcji kwadratowej, Parabola i jej wierzchołek i więcej Prace dyplomowe w PDF z Matematica tylko na Docsity!
Funkcja kwadratowa
Mateusz Butrymowicz, klasa IIa, II Liceum Ogólnokształcące w Piszu
Funkcję f daną wzorem:
f ( x ) = ax^2 + bx + c
gdzie a ∈ R ∖{0}, b , c ∈ R, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych nazywamy funkcją kwadratową.
Liczby a, b , c ∈ R nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej.
Wzór: Wyróżnik funkcji kwadratowej (delta) Δ.
Δ = b^2 − 4 ac
Przykład 1. Funkcja f określona jest wzorem f ( x ) x 2 + 2 x − 3. Oblicz wyróżnik tej funkcji.
Odczytujemy ze wzoru funkcji wartości kolejnych współczynników: a =1, b =2, c =−.
Δ = b^2 − 4 ac = 2^2 − 4 · 1 ·(−3) = 16 Δ=16.
Miejsca zerowe.
Miejscem zerowym funkcji jest każdy jej argument, dla którego wartość funkcji równa jest zero.
Wzór: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f ( x ) = ax^2 + bx + c jest uzależniona od wartości
wyróżnika Δ = b^2 − 4 ac
Δ < 0 delta mniejsza od zera, czyli nie ma miejsc zerowych
Δ = 0 delta równa zero, czyli jedno miejsce zerowe
Δ > 0 delta większa od zera ,czyli dwa miejsca zerowe
−𝑏−√Δ 2𝑎 ,^ 𝑥^2 =^
−𝑏+√Δ 2𝑎
Przykład 2. Oblicz miejsca zerowe funkcji danej wzorem f ( x ) = x^2 + 2 x − 3
Najpierw wyznaczymy wartości współczynników z wzoru funkcji:
a = 1, b = 2, c = − 3
Obliczamy wartość wyróżnika (deltę);
Δ = b^2 − 4 ac = 2^2 − 4 · 1 ·(−3) = 16 > 0
Wartość wyróżnika jest większa od zera, czyli funkcja ma dwa miejsca zerowe
x 1 = −𝑏−√Δ 2𝑎 =^
−2−√ 2 =^
− 2 = -
x 2 = −𝑏+√Δ 2𝑎 =^
−2−√ 2 =^
2 2 = 1
Zatem miejscami zerowymi funkcji są x 1 = − 3 i x 2 = 1.
Postacie funkcji kwadratowej.
To samo równanie funkcji kwadratowej możemy zapisać w trzech postaciach.
Postać ogólna: f ( x ) ax^2 + bx + c
Postać kanoniczna:
f(x) = a(x + 𝑏 2𝑎 )
4𝑎
Postać iloczynowa: nie istnieje, gdy Δ < 0 f ( x ) = a ( x − x 0 )^2 , gdy Δ = 0 f ( x ) = a ( x − x 1 )( x − x 2 ) gdy Δ > 0,
Ramiona paraboli mogą być skierowane w górę lub w dół, zależy to od wartości współczynnika a we wzorze funkcji kwadratowej.
Jeżeli a > 0 wówczas ramiona paraboli są skierowane w górę:
Jeżeli a < 0 wówczas ramiona paraboli są skierowane w dół:
Wzory Viete'a. Wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami.
Jeżeli funkcja kwadratowa ma pierwiastki, to prawdziwe są dla nich następujące wzory Viete’a:
x 1 + x 2 = − 𝑏 𝑎,^ x^1 ·^ x^2 =^
𝑐 𝑎
Przykład 4. Nie wyznaczając rozwiązań x 1 , x 2 równania 3 x^2 − 6 x − 3 = 0 oblicz wartość
wyrażeń:
𝑥 12 + 𝑥 22 , |𝑥 1 −𝑥 2 |, 1 𝑥 1 +^
1 𝑥 2 ,^ 𝑥^1
2
Rozwiązanie :
Na początku sprawdzamy czy równanie 3 x^2 − 6 x – 3 = 0 ma pierwiastki.
Δ = (− 6)^2 − 4 · 3 · (− 3) = 72 > 0
Delta jest dodatnia, więc równanie ma dwa pierwiastki.
Na podstawie wzorów Viete’a:
x 1 + x 2 = − − 3 = 2 x 1 · x 2 = − 3 =^ −
Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia.
𝑥 12 +𝑥 22 = 𝑥 12 + 2𝑥 1 𝑥 2 + 𝑥 22 − 2𝑥 1 𝑥 2 = ( x 1 + x 2 )^2 −2𝑥 1 𝑥 2 = 2^2 −2 · (−1) = 6
|𝑥 1 − 𝑥 2 | = √(𝑥 1 − 𝑥 2 )^2 = √𝑥 12 − 2𝑥 1 𝑥 2 + 𝑥 22 = √𝑥 12 + 𝑥 22 − 2𝑥 1 𝑥 2 = √6 − 2 · (− 1 )
