Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Przygotuj się do egzaminów
Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Otrzymaj punkty, aby pobrać
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Społeczność
Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity
Bezpłatne poradniki
Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze
Typologia: Poradniki, Projekty, Badania
1 / 7
Ta strona nie jest widoczna w podglądzie
Nie przegap ważnych części!
Projekt „ Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość ” jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
1. Logarytmy. Niech a ∈ R+ \ { 1 } , b ∈ R+. Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy liczbę c wtedy i tylko wtedy, gdy ac^ = b. Piszemy
log a b = c ⇐⇒ b = ac.
log a 1 = 0 log a a = 1 a log a^ b^ = b log = log 10 a – logarytm dziesiętny ln a = log e a – logarytm naturalny ( e ≈ 2 , 718281828)
Działania na logarytmach log a ( b 1 · b 2 ) = log a b 1 + log a b 2 , a ∈ R+ \ { 1 } , b 1 , b 2 ∈ R+ log a ( b b^12 ) = log a b 1 − log a b 2 , a ∈ R+ \ { 1 } , b 1 , b 2 ∈ R+ log a bm^ = m log a b , a ∈ R+ \ { 1 } , b ∈ R+, m ∈ R log a b = (^) loglog cc^ ba , a, c ∈ R+ \ { 1 } , b ∈ R+ log a b = (^) log^1 b a , a, b ∈ R+ \ { 1 }
2. Funkcja logarytmiczna. Funkcja logarytmiczna to funkcja postaci f ( x ) = log a x , gdzie a ∈ R+ \ { 1 } , x ∈ R+.
- dziedzina R+; - zbiór wartości R; - funkcja różnowartościowa; - funkcja ciągła; - funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie; - jeśli a > 1, to funkcja jest rosnąca; - jeśli 0 < a < 1, to funkcja jest malejąca.
Rozwiązanie: Założenia: x > 0. Z definicji logarytmu otrzymujemy x = 4^3 = 64 Odpowiedź: x = 64.
Rozwiązanie: Założenia: x + 1 > 0, czyli x > − 1 oraz x + 3 > 0, czyli x > − 3. Zatem D = ( − 1 , + ∞ ). Korzystamy ze wzoru log a ( x · y ) = log a x + log a y log 2 (( x + 1)( x + 3)) = 3 Z definicji logarytmu ( x + 1)( x + 3) = 2^3 x^2 + 4 x − 5 = 0 ∆ = 36, x 1 = − 5 ∈/ D , x 2 = 1 Odpowiedź: x = 1.
Rozwiązanie: Założenia: x + 3 > 0, czyli x > − 3 oraz x − 1 > 0, czyli x > 1. Zatem D = (1 , + ∞ ). Korzystamy ze wzoru log a ( xy ) = log a x − log a y oraz x = log a ax log 4 x x +3 − 1 = log 4 42 − log 4 8 log 4 x x +3 − 1 = log (^4 ) log 4 x x +3 − 1 = log 4 2 x + x− 1 = 2 x + 3 = 2( x − 1) x = 5 Odpowiedź: x = 5.
Rozwiązanie: Założenia: x^2 + 4 x + 12 > 0, ∆ = − 32 < 0, D = R. Z definicji logarytmu x^2 + 4 x + 12 = 3^2 x^2 + 4 x + 3 = 0 ∆ = 4, x 1 = − 3, x 2 = − 1 Odpowiedź: x ∈ {− 3 , − 1 }.
Rozwiązanie: Założenia: x > 0 oraz 5 x − 4 > 0, czyli x >^45 oraz log(5 x − 4) ̸ = 0, log(5 x − 4) ̸ = log 1, 5 x − 4 ̸ = 1, x ̸ = 1
Zatem D = ( 45 , + ∞ ) \ { 1 }. Mnożymy obie strony przez log(5 x − 4) 2 log x = log(5 x − 4) log x^2 = log(5 x − 4) x^2 = 5 x − 4 x^2 − 5 x + 4 = 0 ∆ = 9, x 1 = 1 ∈/ D , x 2 = 4 Odpowiedź: x = 4.
Rozwiązanie: Założenia: x + 2 > 0, czyli x > − 2, zatem D = ( − 2 , + ∞ ). Korzystamy ze wzoru log a bm^ = m log a b log 2 ( x + 2) > log 2 23 x + 2 > 8, czyli x > 6 Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy, że x ∈ (6 , + ∞ ). Odpowiedź: x ∈ (6 , + ∞ ).
Rozwiązanie: Założenia: x − 1 > 0, czyli x > 1, zatem D = (1 , + ∞ ). Korzystamy ze wzoru log a bm^ = m log a b log 12 ( x − 1) < log (^12)
( (^1) 2
) 2
x − 1 >^14 (bo 12 ∈ (0 , 1)) x >^54 Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy x ∈
( (^5) 4 ,^ + ∞
)
Odpowiedź: x ∈
( (^5) 4 ,^ + ∞
) .
Rozwiązanie: Najpierw wyznaczamy dziedzinę: 2 x − 7 > 0, czyli x >^72 oraz 8 − x > 0, czyli x < 8. Zatem D = ( 72 , 8).
log 3 (2 x − 7) + log 3 (8 − x ) 6 2 Korzystamy ze wzoru log a ( x · y ) = log a x + log a y oraz log a ak^ = k log 3 ((2 x − 7)(8 − x )) 6 2 log 3 ((2 x − 7)(8 − x )) 6 log 3 32 16 x − 2 x^2 − 56 + 7 x 6 9 − 2 x^2 + 23 x − 65 6 0 2 x^2 − 23 x + 65 > 0 ∆ = 9, x 1 = 5, x 2 = (^132) x ∈ ( −∞, 5] ∪ [ 132 , + ∞ ) Po uwzględnieniu dziedziny x ∈
( (^7) 2 ,^^5
] ∪
[ (^13) 2 ,^^8
) .
Rozwiązać nierówność:
( (^4) x + x
) > 0.
( log 0 , 4 ( x − 2)
) < 0.
log x (^) 271 > − 3.
log x (3 − x ) > 0.
| log x| > 1.
| 3 − log 2 x| < 1.
log 12 |x − 1 | > − 2.
∣∣ ∣log 13^ x +2 x
∣∣ ∣ > 1.
Naszkicować wykresy funkcji:
Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
√ log 0 , (^1) x 2 x− 1.
√ log 12 (25 − x^2 ) + 4.
log( x^2 − 3 x +3) x.
√ log 3 |x − 2 |.
