Zadania na ćwiczenia do wykładu z funkcji odwrotnej
Z. 1. Dane są funkcje figokreślone wzorami f(x) = x3oraz g(x) = 2x+ 1. Wykonać złożenia f◦g,g◦f,
f◦fig◦g.
Z. 2. Dane są funkcje określone wzorami f(x) = x2+ 4 i g(x) = √2x+ 1. Dokonując ewentualnego zawężenia
dziedzin, wyznaczyć złożenia: f◦g,g◦f,f◦f,g◦g.
Z. 3. Dane są funkcje f,gihokreślone wzorami f(x)=2x,g(x) = sin xoraz h(x) = |x|. Dokonać
następujących złożeń: f◦g◦h,g◦f◦h,h◦g◦f,f◦h◦g,g◦f◦g,h◦g◦h,g◦g◦g◦g.
Z. 4. Podać funkcje elementarne, z których powstały następujące złożenia: p(x) = sin2x,q(x) = 3
√3x+ 1,
r(x) = 1
ln 2xoraz s(x) = 1
√ex+3 .
Z. 5. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji fokreślonej wzorem:
(1) f(x) = 2x+ 3
x−2, x 6= 2,
(2) f(x) = log2(3x+ 1), x > −1
3,
(3) f(x) = 3x+1 + 1,
(4) f(x) = x2+x, dla x < −1
2,
(5) f(x) = x2+x, dla x > −1
2.
Z. 6. Obliczyć:
(1) arc sin √2
2,
(2) arc ctg √3
3,
(3) arc cos −√3
2,
(4) arc tg −√3,
(5) sin(arc sin 1
2),
(6) arc tg (tg π
4).
Z. 7. Wyrazić bez użycia funkcji trygonometrycznych:
(1) cos(arc cos x), (2) sin(arc cos x), (3) cos2(arc tg x).
Z. 8. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji fokreślonej wzorem:
(1) f(x) = tg 2x, x ∈−π
4,π
4,
(2) f(x) = cos x
2, x ∈(0,2π).
Zadania do domu
Z. 9. Dana jest funkcja fokreślona warunkiem f(x) = 1
1−x. Wyznaczyć f◦foraz f◦f◦f.
Z. 10. Dane są funkcje figokreślone przy pomocy warunków f(x) = x2oraz g(x) = √1−2x. Wyznaczyć,
o ile istnieją, następujące funkcje złożone: f◦g,g◦f,g◦g,f◦f◦f.
Z. 11. Dane są funkcje f,gihokreślone wzorami f(x) = log3x,g(x) = x2−1 oraz h(x) = √x. Dostosowując
ewentualnie dziedziny, wykonać wszelkie możliwe złożenia wszystkich funkcji f,gih. Dokonać ponadto
następujących złożeń: g◦f◦g,h◦h◦h,f◦f◦f.
Z. 12. Dane są funkcje f,gihokreślone wzorami f(x) = 3
√x,g(x) = 4xoraz h(x) = x3+ 1.
Dokonać następujących złożeń: f◦g◦h,g◦h◦f. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji f◦h.
Z. 13. Z jakich funkcji elementarnych złożone są funkcje określone wzorami:
(1) f(x) = plog(x+ 1),
(2) f(x) = cos33x,
(3) f(x) = 1
√x2+ 1,
(4) f(x) = 5(3x+1)2?
Z. 14. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji fokreślonej wzorem:.
