Pobierz Funkcje analityczne. Funkcja Gamma. i więcej Skrypty w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
Funkcje analityczne. Funkcja Gamma.
Jan Dereziński
Katedra Metod Matematycznych Fizyki
Uniwersytet Warszawski
Pasteura 5, 02-093, Warszawa
26 lutego 2018
Metody Matematyczne Fizyki,
skrypt I, rok 2016
Spis treści
1 Płaszczyzna zespolona 3 1.1 Ciało liczb zespolonych................................. 3 1.2 Macierze 2x2...................................... 4 1.3 Liczby zespolone jako podgrupa M (2, R)....................... 5 1.4 Odwzorowania afiniczne................................ 5 1.5 GL(2, C)......................................... 6
2 Sfera Riemanna 6 2.1 Sfera Riemanna..................................... 6 2.2 Homografie....................................... 7 2.3 Własności homografii.................................. 8 2.4 Okręgi uogólnione................................... 9 2.5 Krzywe na sferze Riemanna.............................. 10 2.6 Grupa U (2)....................................... 11 2.7 Grupa U (1, 1) i SL(2, R)................................ 12 2.8 Podgrupa homografii zachowująca punkty antypodalne............... 13 2.9 Podgrupy homografii zachowujących koło uogólnione................ 14
3 Rzut stereograficzny 15 3.1 Geometria sfery..................................... 15 3.2 Izomorfizm P SU (2) i SO(3).............................. 15 3.3 Rzut stereograficzny sfery............................... 16
Jest to homomorfizm ciał. Każdy element C może być zapisany jako
z = x + iy = (x, y), x, y ∈ R.
Wprowadźmy odwzorowanie z = x + iy 7 → z := x − iy.
Jest ono jest automorfizmem ciała C, tzn jest to bijekcja spełniająca
z 1 + z 2 = z 1 + z 2 , z 1 z 2 = z 1 · z 2.
Definiujemy też
Rez := x = 12 (z + z), Imz := y = (^) 2i^1 (z − z),
|z| :=
zz =
x^2 + y^2.
Mamy |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 |, |z| = 0 ⇔ z = 0. Kładziemy
R+ := {x ∈ R : x > 0 }, C+ := {z ∈ C : Imz > 0 }, R×^ := R{ 0 }, C×^ := C{ 0 }, K(z 0 , r) := {z ∈ C : |z − z 0 | < r}, gdzie z 0 ∈ C, r > 0.
1.2 Macierze 2x
Zbiór macierzy zespolonych 2x2 oznaczamy przez M (2, C). Typowa notacja:
A =
[
a b c d
]
∈ M (2, C) (1.1)
z =
[
z 1 z 2
]
∈ C^2.
Macierze działają na wektory
Az =
[
az 1 + bz 2 cz 1 + dz 2
]
Podobną notację stosujemy dla macierzy rzeczywistych, zastępując C przez R.
1.3 Liczby zespolone jako podgrupa M (2, R)
Zdefinujmy
C 3 (x + iy) 7 → ψ(x + iy) :=
[
x y −y x
]
∈ M (2, R)
Mamy wtedy ψ(z 1 + z 2 ) = ψ(z 1 ) + ψ(z 2 ), ψ(z 1 z 2 ) = ψ(z 1 )ψ(z 2 ), ψ(z) = ψ(z)t.
Czyli obraz ψ jest ciałem wewnątrz M (2, R) i ψ jest izomorfizmem. Obraz ψ jest równy { A ∈ M 2 (R) : A
[
]
[
]
A
{[
x y −y x
]
: x, y ∈ R
Wprowadźmy również identyfikację χ : C → R^2 : χ(z) = (x, y), z = x + iy. Mamy χ(az) = ψ(a)χ(z).
Jeśli a = b + ic = reiφ^ to mnożenie przez a ma interpretację obrotu o kąt φ i skalowania o r.
1.4 Odwzorowania afiniczne
Odwzorowania C postaci C 3 z 7 → g(z) = az + b ∈ C (1.2)
gdzie a 6 = 0 nazywamy transformacjami afinicznymi płaszczyzny zespolonej.
Twierdzenie 1.1 Odwzorowania afiniczne są bijekcjami C. Jeśli (z 1 , z 2 ) są dwoma różnymi punktami w C i (w 1 , w 2 ) są dwoma różnymi punktami w C to istnieje dokładnie jedno odwzoro- wanie afiniczne g takie, że g(z 1 ) = w 1 , g(z 2 ) = w 2.
Transformacje afiniczne tworzą grupę. Niech
AGL(1, C) :=
{[
a b 0 1
]
: a ∈ C×, b ∈ C
Jeśli dla A =
[
a b 0 1
]
hA oznacza transformację (1.2), to AGL(1, C) 3 A 7 → hA jest izomor-
fizmem grupy AGL(1, C) na grupę transformacji afinicznych. Dla z 1 , z 2 , z 3 ∈ C, z 1 6 = z 2 , z 2 6 = z 3 zdefiniujmy
(z 1 , z 2 ; z 3 ) := z 1 − z 3 z 2 − z 3
Wtedy jeśli g jest odwzorowaniem afinicznym, to
(g(z 1 ), g(z 2 ); g(z 3 )) = (z 1 , z 2 ; z 3 ).
2.2 Homografie
Definicja 2.2 Odwzorowanie C 3 z 7 → h(z) ∈ C nazywamy homografią, jeśli jest postaci
h(z) =
az+b cz+d z^6 =^ −^
d c ,^ ∞, ∞ z = − dc , a c z^ =^ ∞.
gdzie a, b, c, d ∈ C i ad − bc 6 = 0. Taką homografię będziemy też oznaczali hA. Zbiór homografii oznaczamy przez Homog.
Zauważmy, że jeśli ad − bc = 0, to odwzorowanie (2.3) redukuje się do stałej.
Twierdzenie 2.3 Homografie są bijekcjami C w siebie. Tworzą grupę odwzorowań. Odwzoro- wanie GL(2, C) 3 A 7 → hA ∈ Homog
jest surjektywnym homomorfizmem grup Innymi słowy, hA 1 hA 2 = hA 1 A 2.
Mamy hA 1 = hA 2
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje λ ∈ C{ 0 } takie, że
A 1 = λA 2
Dowód. Jeśli c = 0, to homografia jest odwzorowaniem afinicznym, więc jest bijekcją. Załóżmy, że c 6 = 0. Wtedy można ją przedstawić jako
h = g 2 kg 1 (2.4)
gdzie g 1 (z) = cz + d, k(z) = z−^1 , g 2 (z) = − ad−c bcz + ac.
Wszystkie te odwzorowania są oczywiście bijekcjami, co dowodzi bijektywności h. 2
Jeśli λ^2 = ac − bd 6 = 0, to przez zamianę
[
a b c d
]
na (^) λ^1
[
a b c d
]
nie zmieniamy samej
homografii i gwarantujemy, że jest ona sparametryzowna przez element SL(2, C). Dla każdej
homografii istnieją wtedy dokładnie 2 macierze z SL(2, C) zadające tę homografię:
[
a b c d
]
i [ −a −b −c −d
]
Zamiast zatem parametryzować homografie elementami GL(2, C), lepiej jest używać do tego celu elementów SL(2, C). Można też używać elementów P SL(2, C) kładąc
h±A := hA
gdzie nadużywamy notacji używając symbolu h w dwóch znaczeniach. Wtedy
P SL(2, C) 3 ±A 7 → h±A ∈ Homog
jest izomorfizmem grup. Mamy następujący związek między reprezentacjami GL(2, C) w C^2 i C.
Twierdzenie 2.4 Niech
C^2 {(0, 0)} 3
[
z 1 z 2
]
7 → π
[
z 1 z 2
]
z 1 z 2
∈ C
Wtedy π◦A = hA◦π
Dowód.
π◦A
[
z 1 z 2
]
= π
[
az 1 + bz 2 cz 1 + dz 2
]
= az cz 11 ++dzbz^22 =
a z z^12 +b c z z^12 +d = hA
z 1 z 2
= hA◦π
[
z 1 z 2
]
2.3 Własności homografii
Lemat 2.5 Homografie zachowujące ∞ to przekształcenia afiniczne.
Lemat 2.6 Homografia
h 1 (z) := z − z 1 z − z 2
z 3 − z 2 z 3 − z 1
przekształca (z 1 , z 2 , z 3 ) w (0, ∞, 1).
Twierdzenie 2.7 Jeśli (z 1 , z 2 , z 3 ) są trzema różnymi punktami w C i (w 1 , w 2 , w 3 ) są trzema różnymi punktami w C to istnieje dokładnie jedna homografia h taka, że
h(z 1 ) = w 1 , h(z 2 ) = w 2 , h(z 3 ) = w 3. (2.5)
Dowód. Niech h 1 przekształca (z 1 , z 2 , z 3 ) w (0, ∞, 1) i h 2 przekształca (w 1 , w 2 , w 3 ) w (0, ∞, 1). Wtedy szukana homografia jest równa h− 2 1 h 1. Pokażemy, że warunek (2.5) wyznacza homografię h jednoznacznie. Najpierw zauważmy, że jeśli z 3 = w 3 = ∞, to jednoznaczność wynika z Twierdzenia 1.1.
Dowód. Okrąg o środku z 0 i promieniu r ∈ R+ ma równanie
|z − z 0 |^2 − r^2 = 0,
czyli zz − zz 0 − zz 0 + z 0 z 0 − r^2 = 0. (2.8) Każdą prostą można zapisać w postaci z = re + ite, gdzie |e| = 1 i r ≥ 0. Ma ona wtedy równanie ze + ze − 2 r = 0. (2.9)
Zarówno (2.8) jak i (2.9) są postaci (2.7). 2
Stwierdzenie 2.12 Homografie przekształcają okręgi uogólnione w okręgi uogólnione. Punkty z 1 , z 2 , z 3 , z 4 leżą na jednym okręgu uogólnionym wtedy i tylko wtedy, gdy (z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) ∈ R.
Dowód. Na mocy (2.4) wystarczy to sprawdzić dla transformacji afinicznej (co jest oczywiste) i dla inwersji. Jeśli w = (^1) z , to w zmiennej w równanie (2.7) wygląda następująco:
α 11 + α 12 w + α 21 w + α 22 ww = 0,
i jest również równaniem postaci (2.7). 2
2.5 Krzywe na sferze Riemanna
Niech [0, 1] 3 τ 7 → γ(τ ) ∈ C. Mówimy, że γ jest krzywą (gładką i sparametryzowaną) na C, gdy
- Jeśli τ 0 ∈ [0, 1], to γ jest funkcją gładką w otoczeniu τ 0 o nieznikającej pochodnej;
- Jeśli τ 0 ∈ [0, 1] i γ(τ 0 ) = ∞, to (^) γ^1 jest funkcją gładką w otoczeniu τ 0 o nieznikającej pochodnej.
Stwierdzenie 2.13 Jeśli [0, 1] 3 τ 7 → γ(τ ) ∈ C jest krzywą i h jest homografią, to [0, 1] 3 τ 7 → h ◦ γ(τ ) ∈ C też jest krzywą.
Niech [0, 1] 3 τ 7 → γi(τ ) ∈ C będą krzywymi zaczynającymi się w tym samym punkcie z 0 = γ 1 (0) = γ 2 (0). Wtedy kąt między γ 1 a γ 2 w dla τ = 0 definiujemy jak następuje.
- Gdy z 0 6 = ∞, to jest to zwykły kąt α ∈ [0, 2 π[ między dwiema krzywymi. Można go obliczyć ze wzoru
eiα^ =
γ 1 ′(0)γ′ 2 (0) |γ 1 ′(0)||γ′ 2 (0)|
- Jeśli z 0 = ∞, to jest to zwykły kąt między krzywymi (^) γ^11 a (^) γ^12.
Twierdzenie 2.14 Niech γ 1 , γ 2 będą jak powyżej. Niech h będzie homografią. Wtedy kąt między γ 1 a γ 2 dla τ = 0 jest równy kątowi między h◦γ 1 a h◦γ 2 dla τ = 0.
Dowód. Jest to ogólna własność funkcji holomorficznych z niezerową pochodną. Sprawdzamy, że h′(z) = (cz + d)−^2 ,
co jest różne od zera dla C{− dc }. Punkty ∞, − dc rozpatrujemy osobno. 2
2.6 Grupa U (2)
W C^2 definiujemy iloczyn hermitowski skalarny
(z|w) = z 1 w 1 + z 2 w 2.
Grupę macierzy unitarnych definiujemy
U (2) := {A ∈ M (2, C) : (Az|Aw) = (z|w), z, w ∈ C^2 }.
Równoważny warunek: A∗A = 1. Grupa U (2) składa się z macierzy spełniających warunki
|a|^2 + |c|^2 = 1, ab + cd = 0, |b|^2 + |d|^2 = 1.
Twierdzenie 2.15 (1) Macierze z U (2) są postaci [ a b −λb λa
]
gdzie |a|^2 + |b|^2 = 1, |λ| = 1.
Poza tym, λ jest wyznacznikiem macierzy (2.11). (2) Macierze z SU (2) są postaci (^) [ a b −b a
]
gdzie |a|^2 + |b|^2 = 1.
Dowód. Niech a d
c b
= λ.
Wtedy b = −λc, d = λa. Wstawiamy to do trzeciego wzoru w (2.10) i dostajemy
|λ|^2 (|c|^2 + |a|^2 ) = 1
Stąd |λ| = 1. Z tego dostajemy c = −λb. Czyli macierz z U (2) jest postaci (2.11), gdzie |λ| = 1. Wyznacznik (2.11) jest równy λ(|a|^2 + |b|^2 ) = λ. Stąd dla SU (2) mamy λ = 1. 2
Twierdzenie 2.17 Mamy izomorfizm
SL(2, R) 3 A 7 → BAB−^1 ∈ SU (1, 1),
gdzie
B =
[
1 −i −i 1
]
, B−^1 =
[
1 i i 1
]
Dowód. Mamy
BAB−^1 =
[
a + ib − ic + d ia + b + c − id −ia + b + c + id a − ib + ic + d
]
[
a 1 b 1 b 1 a 1
]
i |a 1 |^2 − |b 1 |^2 = ad − bc = 1
2
2.8 Podgrupa homografii zachowująca punkty antypodalne
W C zdefiniujmy “sprzężenie antypodalne”
j(z) := −
z
Dla z = reiφ^ mamy j(z) = r−^1 ei(φ+π). Oczywiście, j^2 (z) = z. Para punktów {z 1 , z 2 } takich, że j(z 1 ) = z 2 (a tym samym j(z 2 ) = z 1 ) nazywa się parą punktów antypodalnych.
Twierdzenie 2.18 Homografie przekształcające pary punktów antypodalnych na pary punktów antypodalnych, czyli spełniające hj = jh
są postaci hA dla A ∈ SU (2).
Dowód. Niech A ∈ GL(2, C) i h = hA.
j(h(z)) = j
az + b cz + d
dj(z) − c −bj(z) + a
= h(j(z)) =
aj(z) + b cj(z)1 + d
Zatem (^) [ a b c d
]
= λ
[
d −c −b a
]
Zatem |λ| = 1 i c = −λb, d = λa. Dostajemy więc macierz z U (2). 2
2.9 Podgrupy homografii zachowujących koło uogólnione
W tym podrozdziale opiszemy różne podgrupy grupy homografii i ich reprezentacje przy pomocy maciery z SL(2, C)
Twierdzenie 2.19 Wszystkie homografie przekształcające C+ w siebie są postaci hA dla A ∈ SL(2, R).
Dowód. Najpierw zauważmy, że h jest ciągłą bijekcją i h−^1 jest ciągłe. Zatem obraz brzegu jest brzegiem obrazu. R jest brzegiem C+. Czyli h(R) = R. Posługując sie lematem 2.6 i jednoznacznością widzimy, że h = hA dla A ∈ GL(2, R). Mamy
hA(z) = azcz++bd
= ac|z|
(^2) +(ad+cb)Rez+bd+i(ad−cb)Imz |cz+d|^2
Zatem hA(C+) ⊂ C+ wtedy i tylko wtedy, gdy det A > 0. Możemy wtedy zastąpić A przez (det A)−^
1 (^2) A ∈ SL(2, R) 2
Twierdzenie 2.20 Wszystkie homografie przekształcające koło jednostkowe {z : |z| < 1 } w siebie mają postać hA dla A ∈ SU (1, 1).
Dowód. Pamiętamy, że
SL(2, R) 3 A 7 → BAB−^1 = A˜ ∈ SU (1, 1),
jest izomorfizmem, gdzie
B =
[
1 −i −i 1
]
, B−^1 =
[
1 i i 1
]
Zatem h (^) A˜ = hB hA(hB )−^1.
Ale
hB (z) = z − i −iz + 1 przekształca C+ na {z : |z| < 1 }. Mamy bowiem,
∣∣ ∣∣^ x^ + iy^ −^ i 1 + y − ix
2
x^2 + (y − 1)^2 x^2 + (y + 1)^2
< 1 ⇔ z ∈ C+.
To dowodzi tego, że dla A˜ ∈ SU (1, 1), h (^) A˜ przekształca K(0, 1) na siebie. Załóżmy teraz, że h (^) A˜ dla A˜ ∈ SU (1, 1) przekształca K(0, 1) na siebie. Niech
A := B−^1 AB.˜
Wtedy hA przekształca C+ na siebie. Na mocy Twierdzenia 2.19 A ∈ SL(2, R). 2
3.3 Rzut stereograficzny sfery
Niech S^2 := {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 14 },
Definiujemy σ : S^2 → C σ(x, y, z) = w = x 1 +iy 2 −z =
(^12) +z x−iy ∈^ C.
σ jest bijekcją:
σ−^1 (w) = (x, y, z), x + iy = (^) (|w|w (^2) +1) , z = |w|
(^2) − 1 2(|w|^2 +1).
Rzut stereograficzny pozwala utożsamić S^2 z C.
Twierdzenie 3.2 Niech γ będzie krzywą na S^2 , Ω podzbiorem w S^2. Wtedy
|γ| := 2
σ(γ)
(1 + |w|^2 )−^1 |dw|, (3.16)
Sur(Ω) = 4
σ(Ω)
(1 + |w|^2 )−^2 d^2 w. (3.17)
σ(L(S^2 )) jest równe zbiorowi okręgów uogólnionych w C zawierający parę punktów antypodal- nych (i tym samym niezmienniczych ze względu na j). Jeśli R^3 utożsamimy z isu(2), to
σρAσ−^1 (w) = hA(w), A ∈ P SU (2), w ∈ C. (3.18)
Poza tym σ(−1)σ−^1 (w) = j(w) = −w−^1.
Dowód. Udowodnimy (3.18). Krok 1 Pamiętamy, że S^2 jako podzbiór isu(2) jest równe
S^2 = {B ∈ iu(2) : TrB = 0, TrB^2 =
Zatem B ma dwie wartości własne równe ± 12. Zatem 12 + B ma ma wartości własne 0 , 1 , czyli jest rzutem ortogonalnym jednowymiarowym. I na odwrót, jeśli P jest rzutem ortogonalnym jednowymiarowym, to − 12 + P ∈ S^2.
Krok 2. Mamy B + 12 =
[ 1
2 +^ z^ x^ + iy x − iy 12 − z
]
. Zatem
Ran( 12 + B) = C
[
x + iy 1 2 −^ z
]
= C
[ 1
2 +^ z x − iy
]
Ran( 12 + ρA(B)) = RanρA( 12 + B) = ARan( 12 + B).
Krok 3. Niech π : CP → C bądzie określone jako
π
[
v^1 v^2
]
v^1 v^2
(CP można utożsamić ze zbiorem jednowymiarowych podprzestrzeni liniowych w C^2 ). Wtedy
πRan( 12 + B) = x 1 +iy 2 −z^
= w,
πRan( 12 + ρA(B)) = πARan( 12 + B) = hA(πRan( 12 + B)) = hA(w).
Udowodnijmy (3.16). Zapiszmy w = reiφ. Wtedy
x + iy = reiφ 1 + r^2
, z = r^2 − 1 2(1 + r^2 )
dx + idy = reiφi 1 + r^2
dφ + (1 − r^2 )eiφ (1 + r^2 )^2
dr, dz = 2 r (1 + r^2 )^2
dr, (3.21)
Zatem
dx^2 + dy^2 + dz^2 =
r^2 dφ^2 (1 + r^2 )^2
dr^2 (1 + r^2 )^2
dw^2 (1 + r^2 )^2
To daje metrykę na sferze o promieniu 12. Następnie mnożymy przez 2 żeby dostać metrykę na sferze jednostkowej. 2
3.4 ∗^ Geometria płaszczyzny hiperbolicznej
Przestrzeń R^3 wyposażamy w iloczyn skalarny
(x|I 2 , 1 y) = x 1 y 2 + x 2 y 2 − x 3 y 3.
Rozważmy hiperboloidę
H^2 := {(x, y, z) ∈ R^3 : −x^2 − y^2 + z^2 = 14 , z > 0 },
W standardowy sposób definiujemy długość krzywej γ na H^2 , oznaczaną przez |γ|, Pole po- wierzchni podzbioru Ω, oznaczane przez Sur(Ω), kąt między przecinającymi się krzywymi. Pro- stą hiperboliczną nazywamy zbiór postaci V ∩ H^2 , gdzie V jest 2-wymiarową podprzestrzenią liniową w R^3. Zbiór prostych hiperbolicznych oznaczamy przez L(H^2 ). Grupa O↑(2, 1) jest grupą izometrii H^2. Ma dwie składowe spójne. Składową spójną jedynki jest SO↑(2, 1).
Dowód. Udowodnimy (3.25). Krok 1 Pamiętamy, że H^2 jako podzbiór isu(1, 1) jest równy
H^2 = {B ∈ iu(2) : TrB = 0, TrB^2 =
, B 11 > 0 }.
Zatem B ma dwie wartości własne równe ± 12. Zatem 12 + B ma ma wartości własne 0 , 1 , czyli jest rzutem pseudoortogonalnym na jednowymiarową podprzestrzeń dodatnią (składającą się z wektorów v takich, że (v|I 1 , 1 v) > 0 ). I na odwrót, jeśli P jest rzutem pseudoortogonalnym na jednowymiarową dodatnią podprzestrzeń, to − 12 + P ∈ H^2. Krok 2.
Ran( 12 + B) = C
[
x + iy 1 2 −^ z
]
[ 1
2 +^ z −x + iy
]
Ran( 12 + ρA(B) = RanA( 12 + B)A−^1 = ARan( 12 + B).
Krok 3. Niech π : CP → C będzie określone jak w (3.19). Wtedy
πRan( 12 + B) = x 1 +iy 2 −z^
= w,
πRan( 12 + ρA(B)) = πARan( 12 + B) = hA(πRan( 12 + B)) = hA(w).
2
3.7 ∗^ Izomorfizm P SL(2, C) i SO(3, C)
Niech sl(2, C) oznacza przestrzeń macierzy 2 × 2 zespolonych bezśladowych wyposażoną w dwu- liniową formę TrAB, A, B ∈ sl(2, C)
Dla ±A ∈ P SL(2, C) definiujemy odwzorowanie liniowe na sl(2, C) przez
ρ±A(B) := ABA−^1.
Twierdzenie 3. P SL(2, C) 3 ±A 7 → ρ±A ∈ SO(3, C)
jest izomorfizmem. W bazie (3.14), jeśli
A =
[
a b c d
]
to
ρ±A =
1 2 (a (^2) − b (^2) − c (^2) + d (^2) ) 1 2i (−a (^2) − b (^2) + c (^2) + d (^2) ) (−ab + cd 1 2i (a (^2) − b (^2) + c (^2) − d (^2) ) 1 2 (−a (^2) − b (^2) − c (^2) − d (^2) ) i(ab + cd)
bd − ac −i(bd + ac) ad + bc
Dowód. Mamy
A−^1 =
[
d −b −c a
]
, B =
[
z x + iy x − iy −z
]
Zatem
ABA−^1 =
[
adz + bd(x − iy) − ac(x + iy) + bcz, −ab − b^2 (x − iy) + a^2 (x + iy) − abz
cdz + d^2 (x − iy) − c^2 (x + iy) + cdz, −bcz − db(x − iy) + ca(x + iy) − daz
]
3.8 ∗^ Rzut stereograficzny zespolony
Zdefiniujmy sferę zespoloną
W^2 := {(x, y, z) ∈ C^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 14 },
W 0 := {(w−, w+) ∈ C × C : w−w+ = − 1 } ∪ {(0, ∞), (∞, 0)}. W = C × C\W 0.
Definiujemy σ : W^2 → W
σ(x, y, z) = (w−, w+) = ( x 1 +iy 2 −z^
, x 1 −iy 2 −z^
(^12) +z x−iy ,^
(^12) +z x+iy )^ ∈^ W.
(Może się zdarzyć, że x + iy = 12 − z = 0 i x 1 +iy 2 −z^
jest nieoznaczone. Wtedy 12 + z 6 = 0, zatem
(^12) +z x−iy jest oznaczone). σ jest bijekcją:
σ−^1 (w−, w+) =
w−+w+ 2(w−w++1) ,^
w−−w+ 2i(w−w++1) ,^
w−w+− 1 2(w−w++1)
∈ W^2.
Twierdzenie 3.6 Jeśli identyfikujemy W^2 z podzbiorem sl(2, C), to
σρAσ−^1 (w−, w+) =
h(A− (^1) )t (w−), hA(w+)
, A ∈ P SL(2, C), (w−, w+) ∈ W.
Dowód. Krok 1 Pamiętamy, że W^2 jako podzbiór sl(2, C) jest równe
W^2 = {B : TrB = 0, TrB^2 =
Więc B ma dwie wartości własne równe ± 12. Zatem 12 + B ma ma wartości własne 0 , 1 , czyli jest rzutem jednowymiarowym. I na odwrót, jeśli P jest rzutem jednowymiarowym, to − 12 +P ∈ W^2.
