Funkcje charakterystyczne - Ćwiczenia - Probabilistyka, Notatki z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne

Pobierz Funkcje charakterystyczne - Ćwiczenia - Probabilistyka i więcej Notatki w PDF z Prawdopodobieństwo i procesy stochastyczne tylko na Docsity! probabilistyka matematyka, II stopień lista 8 1. Policzyć funkcje charakterystyczne rozkładów: a) rozkładu Bernoulliego; b) rozkładu Poissona; c) rozkładu dwupunktowego ( 1 > p > 0, P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1− p); d) rozkładu geometrycznego; e) zmiennej lososwej, która przyjmuje wartości równe ilości wyrzuconych oczek kostką do gry; f) rozkładu jednostajnego na odcinku (−1, 1); g) rozkładu trójkątnego równoramiennego na odcinku [−1, 1]; h) rozkładu wykładniczego; j) rozkładu Laplace’a; k) rozkładu Cauchy’ego; l) rozkładu N(0, 1); m) rozkładu N(m,σ). 2. Sprawdzić, że funkcja charakterystyczna ϕ rozkładu zmiennej losowej posiada własności: a) |ϕ(t)| ≤ ϕ(0) = 1; b) dla dowolnej liczby naturalnej n, dowolnych liczb zespolonych z1, . . . , zn oraz dowolnych t1, . . . , tn, spełniona jest nierówność n∑ k,l=1 ϕ(tk − tl)zkzl ≥ 0 c) ϕ(−t) = ϕ(t) 3. Czy funkcja a) f(t) = exp(−|t|i); b) φ(t) = 11+i|t| może być funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu? 4. Wiedząc, że funkcja φ jest funkcją charakterystyczną udowodnić, że funkcja sprzężona jest również funkcją charak- terystyczną. 5. Mając daną funkcję charakterystyczną znaleźć rozkład zmiennej losowej: a) φ(t) = 14 (exp(−it) + exp(it)) 2; b) φ(t) = 14 (1 + exp(it)) 2; c) φ(t) = cos(t); d) φ(t) = ∑∞ k=0 ak cos(kt), ak > 0, ∑∞ k=0 ak = 1; e) φ(t) = 12−eit . 6. Mając daną funkcję charakterystyczną znaleźć rozkład zmiennej losowej: a) φ(t) = e−a|t|, a > 0; b) φ(t) = 1+it1+t2 ; c) φ(t) = 1−it1+t2 ; d) φ(t) = e− 1 2 t 2 ; e) φ(t) = 11+t2 . docsity.com