Pobierz Funkcje falowe i równanie Schrödingera i więcej Ćwiczenia w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 12 Rozdział 2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 2.1 Funkcja falowa W poprzednim rozdziale stwierdziliśmy, że do pełnego opisu zjawisk mikroświata, opisu łączącego aspekty falowe i korpuskularne, potrzebujemy zupełnie nowego podejścia, całkiem innego niż fizyka klasyczna. Omawialiśmy zjawiska dotyczące fotonów, jednak uzyskaliśmy pewne ogólne wnioski dotyczące szerszej klasy układów. Hipoteza de Broglie’a dotyczy dowolnych cząstek elementarnych. Według tej hipotezy, cząstki materialne (podobnie jak foton) mają zarówno własności falowe, jak i korpuskularne. Wskazuje na to np. dyfrakcja elektronów na kryształach (doświadczenie Davissona i Germera w 1927 roku). Wobec tego z cząstką o energii E i pędzie ~p łączymy fale materii o częstości ω = 2πν i wektorze falowym ~k w następujący sposób E = ~ω = hν, ~p = ~~k, (2.1) przy czym długość fali λ wynosi λ = 2π |~k| = 2π~ |~p| = h |~p| . (2.2) Zauważmy tutaj, że z (2.1) wynika ν = E/h. Przez analogię z fotonami, chciałoby się wówczas napisać λ = c/ν. Tak jednak NIE wolno robić, ponieważ cząstki na ogół mają masę m 6= 0, dlatego też ich prędkość musi być mniejsza od c. Foton poruszający się z prędkością światła jest więc cząstką o wyjątkowych własnościach. Rozumowania przeprowadzone w poprzednim rozdziale wskazują, że obiekty kwantowo-me- chaniczne zachowują się niekiedy jak cząstki, a niekiedy jak fale. Sprawia to, że ich opis musi być zupełnie inny niż w przypadku klasycznym Pojęcia jakie tutaj wprowadzimy będą uściślane i dalej wyjaśniane w kolejnych rozdziałach. Przypomnijmy w tym miejscu, że w mechanice klasycznej układ fizyczny jest opisany zbiorem współrzędnych i pędów uogólnionych. Np. cząstka klasyczna jest opisana przez trzy składowe położenia ~x(t) i trzy składowe pędu ~p(t), a więc łącznie przez 6 funkcji czasu. Zależność od czasu współrzędnych i pędów uogólnionych wynika np. z hamiltonowskich równań ruchu. Są to równania różniczkowe, które pozwalają jednoznacznie i ściśle przewidzieć późniejszy stan układu, pod warunkiem, że znany jest stan w pewnej chwili wcześniejszej (początkowej). Współrzędne uogólnione są sparametryzowane czasem, więc wyznaczają trajektorię układu w funkcji czasu. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 12 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 13 Przechodząc do zjawisk mikroświata radykalnie zmieniamy sposób jego opisu. Postulujemy, że układ fizyczny (na razie skupimy uwagę na pojedynczej cząstce) jest w pełni opisany za pomocą tzw. funkcji falowej, którą zwykle oznaczamy jako ψ(~r, t) − funkcja falowa. (2.3) Mówimy też czasem, że stan układu jest dany funkcją falową ψ(~r, t). Podkreślmy jeszcze, że wektor ~r występujący jako argument funkcji falowej nie wiąże się w żaden prosty sposób z położeniem cząstki. Funkcja falowa może także zależeć od innych wielkości (parametrów), ale od ilu i jakich, zależy od tego jaki układ fizyczny chcemy opisywać. Stan kwantowo-mechaniczny układu (a więc funkcja falowa) to nieskończenie wiele liczb – wartości funkcji falowej we wszystkich dopuszczalnych punktach ~r dla kolejnych chwil czasu t. Należy tutaj podkreślić, że kwantowo-mechaniczna funkcja falowa może w ogólności być funkcją zespoloną ψ(~r, t) ∈ C. (2.4) Jeżeli tylko potrafimy określić (znaleźć) odpowiednią funkcję falową, twierdzimy wówczas, że zawiera pełną (jaka tylko jest dostępna) informację o rozważanym układzie fizycznym. Kapitalne znaczenie w mechanice kwantowej ma zasada superpozycji. Sprowadza się ona do następującego postulatu (żądania) Jeśli ψ1(~r, t) i ψ2(~r, t) są funkcjami falowymi układu fizycznego (cząstki) to wówczas ich superpozycja ψ(~r, t) = α1 ψ1(~r, t) + α2 ψ2(~r, t), dla dowolnych α1, α2 ∈ C, (2.5) jest także funkcją falową. Postulat ten oczywiście dotyczy kombinacji liniowej dowolnej ilości funkcji falowych, można go bowiem stosować sukcesywnie. Dzięki żądaniu spełnienia zasady superpozycji możemy opisywać efekty interferencyjne, tak cha- rakterystyczne dla zjawisk mikroświata. Co więcej, z postulatu tego płynie ważny wniosek. Funkcje falowe określamy (budujemy) jako rozwiązania pewnego równania falowego. Zasada superpozycji narzuca żądanie, aby odpowiednie równanie falowe było liniowe: kombinacja liniowa rozwiązań też musi być funkcją falową – innym rozwiązaniem tego równania. Matematycznym wyrazem tego warunku jest stwierdzenie, że prze- strzeń funkcji falowych musi być przestrzenią wektorową, w której kombinacje liniowe elementów przestrzeni są nadal jej elementami. 2.2 Równanie Schrödingera W jaki sposób wyznaczać funkcje falowe? Musimy dysponować odpowiednim równaniem, które będzie spełnione przez funkcje falowe. Innymi słowami, potrzebujemy równania, którego rozwią- zaniami będą funkcje falowe. Skupmy na razie uwagę na pojedynczej, bezspinowej cząstce o masie m poruszającej się w pewnym polu tak, że jej energia potencjalna opisywana jest funkcją V = V (~r, t) – funkcją S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 13 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 16 Równanie Schrödingera jest liniowe, więc możemy oczekiwać, że superpozycja fal płaskich, a więc pakiet falowy, będzie je spełniać. Wykonujemy więc kolejne różniczkowania, które dają następujące wyniki. Różniczkowanie po czasie prowadzi do i~ ∂ ∂t ψ(~r, t) = ∫ d 3p A(~p)E exp [ i ~p ·~r ~ − iEt ~ ] . (2.11) Dwukrotnie różniczkując po zmiennych przestrzennych otrzymujemy (−i~∇)2ψ(~r, t) = − ~ 2 ∇2 ψ(~r, t) = ∫ d 3p A(~p) ~p2 exp [ i ~p ·~r ~ − iEt ~ ] . (2.12) Odejmując stronami równania (2.11) i (2.12) (podzielone przez 2m), dostajemy i~ ∂ ∂t ψ(~r, t) + ~ 2 2m ∇2 ψ(~r, t) = ∫ d 3p A(~p) ( E − ~p2 2m ) exp [ i ~p ·~r ~ − iEt ~ ] . (2.13) Dla swobodnej cząstki nierelatywistycznej o masie m mamy klasyczny związek E = ~p2 2m . (2.14) Możemy więc oczekiwać, że prawa strona równania (2.13) powinna znikać. A zatem znikać po- winna również lewa strona, a to prowadzi do równania i~ ∂ ∂t ψ(~r, t) = − ~ 2 2m ∇2 ψ(~r, t), (2.15) które stanowi równanie Schrödingera dla cząstki swobodnej. Cząstka w polu zewnętrznym Aby uzasadnić równanie Schrödingera dla cząstki poruszającej się w polu zewnętrznym rozwa- żymy przypadek pola zachowawczego (gdzie energia potencjalna cząstki nie zależy jawnie od czasu). Klasyczna energia całkowita cząstki to Ekl = ~p2kl 2m + V (~rkl) = H(~rkl, ~pkl), (2.16) gdzie ~rkl, ~pkl iH(~rkl, ~pkl) to odpowiednio położenie, pęd i hamiltonian cząstki klasycznej. W polu zachowawczym energia cząstki jest stała, zaś ~rkl oraz ~pkl są dobrze określonymi (przez równania ruchu) funkcjami czasu. W przypadku klasycznym, cząstka jest dobrze zlokalizowana, dlatego też przyjmiemy, że związany z nią pakiet fal de Broglie’a jest wąski – istotnie różny od zera w obszarze małym w porównaniu z jakimikolwiek innymi rozmiarami układu fizycznego. Możemy więc przyjąć, że ~rkl i ~pkl z dobrym przybliżeniem opisują ruch centrum pakietu falowego. Co więcej, możemy uznać, że energia V (~r) jest wolnozmienna w obszarze, gdzie zlokalizowany jest pakiet. Wobec tego możemy napisać V (~r) ψ(~r, t) ≈ V (~rkl) ψ(~r, t). (2.17) W ciągu krótkich przedziałów czasu zmiany pędu ~pkl są bardzo małe. Wobec tego zarówno Ekl jak i ~pkl są prawie stałe. W pakiecie falowym E ≈ Ekl oraz ~p ≈ ~pkl są więc też prawie niezmien- ne. Możemy zatem wynieść je przed całki w relacjach (2.11)–(2.12). W rezultacie otrzymujemy przybliżone relacje i~ ∂ ∂t ψ(~r, t) ≈ Ekl ψ(~r, t), (2.18) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 16 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 17 −~ 2 ∇2 ψ(~r, t) ≈ ~p2kl ψ(~r, t). (2.19) Składając trzy powyższe relacje dostajemy i~ ∂ ψ ∂t + ~ 2 2m ∇2 ψ − V ψ ≈ ( Ekl − ~p2kl 2m − V (~rkl) ) ψ ≈ 0. (2.20) A zatem pakiet falowy, przynajmniej w przybliżeniu, spełnia równanie stojące po lewej, czyli właśnie równanie Schrödingera. Powyższe uzasadnienie można uznać za wystarczające w ramach omawianego przybliżenia – dla wąskiego pakietu falowego. Gdy jednak warunki przybliżenia nie są spełnione, to wówczas postulujemy, że równanie Schrödingera nadal obowiązuje. Na zakończenie powiedzmy, że w li- teraturze przedmiotu można znaleźć inne uzasadnienia równania Schrödingera. Zawsze jednak trzeba zdawać sobie sprawę, że równanie to jest w gruncie rzeczy jednym z postulatów nierela- tywistycznej mechaniki kwantowej. 2.2.3 Dalsze uwagi i komentarze W powyższym uzasadnieniu równania Schrödingera skorzystaliśmy z klasycznego związku Ekl = ~p2 2m + V (~r, t), (2.21) właściwego dla fizyki nierelatywistycznej. Wnioskujemy, że równanie Schrödingera jest równa- niem nierelatywistycznym. Oczekujemy więc, że dotyczy ono cząstek, których energie są znacznie mniejsze niż ich energie spoczynkowe E mc2. (2.22) Konsekwencje tego warunku omówimy w dalszej części wykładu. Wspomnimy tutaj, że można również podać równania relatywistyczne, będące uogólnieniem równania Schrödingera. Takimi równaniami są np. równanie Kleina–Gordona (dla cząstek bezspinowych, patrz Uzupełnienia) i równanie Diraca (dla elektronu, cząstek o spinie 1/2). Jak wiadomo, w przyrodzie mogą zachodzić procesy anihilacji i kreacji cząstek (przy czym spełnione być muszą odpowiednie zasady zachowania), np. elektron i pozyton mogą zanihilować, emitując przy tym energię unoszoną przez fotony. Aby jednak procesy anihilacji-kreacji mogły mieć miejsce, muszą być dostępne dostatecznie duże energie, bliskie energiom spoczynkowym cząstek. Warunek (2.22) nie jest spełniony, konieczne są wtedy teorie relatywistyczne. A zatem nierelatywistyczne równanie Schrödingera nie opisuje zjawisk, w których mogą zachodzić procesy anihilacji-kreacji (jest ono niewystarczające do ich poprawnego opisu). Z dyskusji tej i z warunku (2.22) wynika więc ograniczenie stosowalności teorii schrödingerowskiej. Omawiając dalej powyższe uzasadnienie równania Schrödingera zauważmy, że odpowiednie różniczkowania wykonane w równaniach (2.11)–(2.13) pozwalają wypisać odpowiedniości i~ ∂ ∂t - E − energia, (2.23a) − i~∇ - ~p − pęd. (2.23b) Relacje te wskazują na bliski związek pomiędzy operatorami (w tym wypadku różniczkowymi) działającymi na funkcje falowe, a wielkościami o dobrze określonym sensie fizycznym i mierzalny- mi doświadczalnie. Nie będziemy w tym miejscu dalej komentować tej odpowiedniości. Jest ona jednak niezwykle dalekosiężna i ogromnie ważna w całym formalizmie mechaniki kwantowej. W dalszym ciągu wykładu wrócimy do szczegółowej dyskusji operatorów działających na funkcje falowe. Omówimy ich znaczenie, własności, sposoby formalnego ich obliczania, itd. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 17 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 18 2.2.4 Uogólnienie Równanie Schrödingera (2.6) dla pojedynczej, bezspinowej cząstki możemy zapisać w postaci i~ ∂ ∂t ψ(~r, t) = Ĥψ(~r, t), (2.24) gdzie Ĥ jest operatorem zdefiniowanym wzorem Ĥ = − ~ 2 2m ∇2 + V (~r, t), (2.25) który nazwiemy operatorem Hamiltona (w skrócie hamiltonianem) dla (bezspinowej) cząstki o masie m poruszającej się polu, w którym ma ona energię potencjalną V (~r, t). Nazwa ta nie powinna być zdumiewająca, bowiem działanie operatora Ĥ na funkcję falową jest równoważne działaniu operatora z lewej strony, a ten jak wiemy, sprawia iż pojawia się energia cząstki. Dlate- go też hamiltonian uznajemy za operator energii cząstki. Nazewnictwo to pochodzi oczywiście z mechaniki klasycznej, gdzie z energią cząstki utożsamiamy jej klasyczny hamiltonian. Podkreślmy jednak, że klasyczny hamiltonian to funkcja współrzędnych i pędów uogólnionych, zaś hamilto- nian kwantowo-mechaniczny to operator, który działa na funkcję falową cząstki. Sens fizyczny hamiltonianu pozostaje więc podobny – jest to operator energii – ale jego natura matematyczna jest radykalnie inna. Zapis równania Schrödingera w formie (2.24) jest nie tylko wygodnym, skrótowym zapisem równania (2.6) dla pojedynczej cząstki, ale także punktem wyjścia do bardzo istotnych uogólnień. Przyjmiemy następujący postulat, uogólniający tezę (2.6). Niech Ĥ oznacza hamiltonian (operator energii) pewnego układu fizycznego. Wówczas funkcja falowa Ψ(t) opisująca w pełni stan fizyczny tegoż układu spełnia równanie Schrödingera i~ ∂ ∂t Ψ(t) = Ĥ Ψ(t) (2.26) które określa ewolucję funkcji falowej w czasie. Do jego rozwiązania potrzebna jest znajomość funkcji falowej Ψ0 = Ψ(t0) w pewnej chwili początkowej t0. Nie zaznaczyliśmy tu zależności funkcji falowej od innych zmiennych (dla pojedynczej cząstki było to ~r ∈ R 3). W ogólnym przypadku inne zmienne, od których zależy funkcja falowa układu mogą być bardzo różne. Ich charakter matematyczny, sens fizyczny, a także ich ilość, zależy od tego, jaki układ fizyczny jest obiektem naszych badań. Oczywiście rozwiązanie równania (2.26) jest możliwe dopiero wtedy, gdy wiemy jak należy skonstruować hamiltonian dla danego układu fizycznego. Odpowiedzi na to pytanie będziemy poszukiwać w dalszych rozdziałach. 2.3 Własności funkcji falowych 2.3.1 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej Do tej pory niewiele powiedzieliśmy o samych funkcjach falowych. Równanie Schrödingera po- zwala wyznaczyć funkcje falowe. Jak jednak należy je interpretować, jaki jest ich sens fizyczny? Formułując bardzo ogólną odpowiedź, stwierdzamy, że funkcja falowa ψ(~r, t) jest interpreto- wana jako amplituda prawdopodobieństwa. Aby lepiej zrozumieć znaczenie tego sformułowania ponownie skupimy uwagę na pojedynczej cząstce. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 18 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 21 Gęstość prądu prawdopodobieństwa Rozważmy znów pojedynczą cząstkę (bezspinową) poruszającą się w polu o potencjale (energii potencjalnej) V (~r, t). Funkcja falowa ψ(~r, t) tej cząstki spełnia więc równanie Schrödingera, zaś ψ∗(~r, t) równanie sprzężone i~ ∂ψ(~r, t) ∂t = − ~ 2 2m ∇2ψ(~r, t) + V (~r, t) ψ(~r, t), (2.37a) −i~ ∂ψ∗(~r, t) ∂t = − ~ 2 2m ∇2ψ∗(~r, t) + V (~r, t) ψ∗(~r, t) (2.37b) Oznaczmy teraz gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w otoczeniu punktu ~r przez ρ, czyli więc ρ(~r, t) = |ψ(~r, t)|2 (2.38) Niech V1 oznacza mały (choć w zasadzie dowolny) podobszar całej przestrzeni dostępnej dla cząstki. Scałkujmy gęstość prawdopodobieństwa po obszarze V1 i zróżniczkujmy po czasie. Ob- liczamy więc pochodną ∂ ∂t ∫ V1 d 3r ρ(~r, t) = ∫ V1 d 3r ( ∂ψ∗ ∂t ψ + ψ∗ ∂ψ ∂t ) . (2.39) Za pomocą równań (2.37) eliminujemy po prawej stronie (2.39) pochodne czasowe i mamy ∂ ∂t ∫ V1 d 3r ρ(~r, t) = ∫ V1 d 3r [( + ~ 2mi ∇2ψ∗ − 1 i~ V ψ∗ ) ψ + ψ∗ ( − ~ 2mi ∇2ψ + 1 i~ V ψ )] . (2.40) Ponieważ działanie potencjału V na funkcje falowe sprowadza się do mnożenia, zatem człony drugi i czwarty się skracają. Dostajemy więc ∂ ∂t ∫ V1 d 3r ρ(~r, t) = ∫ V1 d 3r [ − ~ 2mi ( ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗ ) ] . (2.41) Odwołamy się teraz do tożsamości znanej z analizy wektorowej, (tzw. twierdzenie Greena), której tu nie będziemy dowodzić, a która obowiązuje dla dowolnych funkcji ψ(~r) i φ(~r): φ∇2ψ − ψ∇2φ = div[ φ (∇ψ)− ψ (∇φ) ]. (2.42) Na mocy (2.42) z (2.41) otrzymujemy ∂ ∂t ∫ V1 d 3r ρ(~r, t) = − ~ 2mi ∫ V1 d 3r div [ ψ∗ (∇ψ)− ψ (∇ψ∗)]. (2.43) Wprowadzamy teraz pojęcie prądu prawdopodobieństwa, zdefiniowanego wzorem ~J(~r, t) = ~ 2mi [ ψ∗(~r, t) ( ∇ψ(~r, t) ) − ψ(~r, t) ( ∇ψ∗(~r, t) )] . (2.44) Stwierdzamy zatem, że gęstość i prąd prawdopodobieństwa określone odpowiednio w (2.38) i (2.44), spełniają równanie (2.43), to jest ∂ ∂t ∫ V1 d 3r ρ(~r, t) = − ∫ V1 d 3r div [ ~J(~r, t) ] , (2.45) które nazwiemy całkowym prawem ciągłości prawdopodobieństwa. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 21 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 22 Równanie ciągłości prawdopodobieństwa Uzyskane prawo możemy interpretować na dwa sposoby. Po pierwsze, obszar V1, po którym całkowaliśmy jest całkowicie dowolny. Wobec tego, z (2.45) wynika równanie ciągłości prawdo- podobieństwa w postaci różniczkowej ∂ ∂t ρ(~r, t) = − div ~J(~r, t). (2.46) Zwróćmy uwagę na formalną identyczność powyższego równania ciągłości prawdopodobieńst- wa z równaniem ciągłości ładunku znanym z elektrodynamiki klasycznej. Zbieżność formalnej postaci równań jest zresztą typowa dla relacji opisujących ciągłość takiej czy innej wielkości fizycznej (np. równanie ciągłości masy w hydrodynamice). Równanie różniczkowe (2.46) jest więc lokalnym prawem zachowania, stwierdza ono, że prawdopodobieństwo nie znika, a może jedynie "przepływać" z jednego podobszaru przestrzeni do innego. Jeszcze lepiej to widać, gdy nieco inaczej zinterpretujemy nasze rezultaty. Z drugiej strony, możemy po prawej stronie równania (2.45) zastosować całkowe twierdzenie Gaussa. Otrzymujemy wtedy ∂ ∂t ∫ V1 d 3r ρ(~r, t) = − ∮ ∂V1 d~S · ~J(~r, t). (2.47) gdzie ∂V1 oznacza powierzchnię zamkniętą ograniczającą objętość V1, a d~S jest elementem po- wierzchni stanowiącym wektor prostopadły do powierzchni i skierowany na zewnątrz. Równanie (2.47) jest ewidentnym prawem zachowania. Jeśli wektory ~S i ~J tworzą kąt większy niż 90o, wów- czas prąd prawdopodobieństwa wpływa do badanej objętości V1, iloczyn skalarny pod całką jest ujemny. Cała prawa strona równania (2.47) jest dodatnia. A zatem i lewa strona jest dodatnia, co oznacza, że gęstość prawdopodobieństwa wzrasta. Sytuacja, w której kąt między omawianymi wektorami jest kątem ostrym, mamy do czynienia z wypływem prądu prawdopodobieństwa, a więc gęstość ρ maleje. Zwróćmy jeszcze uwagę, że jeśli rozszerzymy V1 do całej przestrzeni R 3, to na mocy warunku (2.35) całka po prawej stronie wzoru(2.47) redukuje się do zera. W ten sposób dostajemy ∂ ∂t ∫ V d 3r ρ(~r, t) = ∂ ∂t ∫ V d 3r |ψ(~r, t)|2 = ∂ ∂t ‖ψ‖2 = 0. (2.48) Oczywiście oznacza to, że norma funkcji falowej jest stała. Nie jest to wynik nieoczekiwany, bowiem funkcji falowa jest unormowana do jedności, więc rzeczywiście jej norma jest stała i równa 1. 2.4 Stacjonarne równanie Schrödingera 2.4.1 Wprowadzenie Zbadajmy teraz równanie Schrödingera dla pojedynczej cząstki o masie m, której hamiltonian (a więc energia potencjalna) nie zależy od czasu, tj. równanie i~ ∂ ∂t ψ(~r, t) = Ĥ ψ(~r, t) = [ − ~ 2 2m ∇2 + V (~r) ] ψ(~r, t). (2.49) Szukajmy rozwiązania tego równania w postaci iloczynu ψ(~r, t) = ϕ(~r) g(t). (2.50) S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 22 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 23 Wykorzystując to podstawienie w równaniu (2.49) otrzymujemy i~ ϕ(~r) dg(t) dt = g(t) [ − ~ 2 2m ∇2 + V (~r) ] ϕ(~r), (2.51) skąd oczywiście wynika, że i~ g(t) dg(t) dt = 1 ϕ(~r) [ − ~ 2 2m ∇2 + V (~r) ] ϕ(~r). (2.52) Lewa strona jest funkcją wyłącznie czasu, a prawa zależy jedynie od ~r. Równanie (2.52) musi być spełnione dla dowolnej chwili czasu i dla dowolnego ~r ∈ V. Wnioskujemy więc, że funkcje (różnych zmiennych) po obu stronach równania muszą być równe pewnej stałej, którą oznaczymy symbolem E i umówimy się nazywać energią cząstki. Znaczenie tak wprowadzonej terminologii wyjaśnimy szczegółowo w trakcie dalszej dyskusji. W myśl poczynionych uwag, stwierdzamy, że równanie (2.52) sprowadza się do pary równań dg(t) dt = − iE ~ g(t) (2.53a) [ − ~ 2 2m ∇2 + V (~r) ] ϕ(~r) = Eϕ(~r). (2.53b) Rozwiązanie równania (2.53a) jest trywialne g(t) = C0 exp [ − iE ~ (t− t0) ] , (2.54) gdzie t0 oznacza pewną chwilę początkową. Stałą całkowania C0 możemy tutaj opuścić, bowiem w iloczynie (2.50) włączymy ją do funkcji ϕ(~r). Jest to wygodne, bowiem pisząc teraz ψ(~r, t) = ϕ(~r) exp [ − iE ~ (t− t0) ] , (2.55) widzimy, że |ψ(~r, t)|2 = |ϕ(~r)|2 i automatycznie normowanie pełnej funkcji falowej sprowadza się do normowania funkcji ϕ(~r). Co więcej, cała zależność czasowa pełnej funkcji falowej zawarta jest w czynniku eksponencjalnym. Utożsamienie stałej separacji E z energią cząstki jest więc zgodnie z postulatem de Broglie’a. Rozwiązanie równania (2.53b) jest oczywiście zależne od postaci energii potencjalnej V (~r), a więc od tego jaki konkretnie układ fizyczny jest obiektem naszych rozważań. Równanie to – nie zawierające już czasu – nazwiemy stacjonarnym równaniem Schrödingera i zapiszemy nieco ogólniej, w postaci Ĥ ϕ(~r) = E ϕ(~r), (2.56) gdzie dla pojedynczej cząstki hamiltonian Ĥ dany jest wzorem (2.25). Równanie (2.56) jest o tyle ogólniejsze od (2.53b), że również dopuszcza hamiltoniany inne niż ten właściwy dla jednej cząst- ki. Zauważmy, że stacjonarne równanie Schrödingera (2.56) ma postać zagadnienia własnego dla operatora Ĥ. Aby lepiej je zrozumieć i oswoić się z użyciem operatorów, następny rozdział po- święcimy omówieniu narzędzi matematycznych koniecznych do dalszych studiów nad mechaniką kwantową. Stacjonarne równanie Schrödingera jest niemal tak samo ważne jak równanie pełne (2.6). Wynika to stąd, że dla układu zachowawczego (czyli takiego, w którym energia potencjalna nie S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 23 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 26 • Wyrażenie dla ρ(x, t) zawiera ewidentny człon interferencyjny. Dwie fale (przeciwbieżne) o tej samej częstości są spójne, więc mogą interferować tworząc falę stojącą. Najlepiej to widać, jeśli położymy A = B. Wtedy ρ(x, t) = 2 |A|2 + |A|2 ( e−2ikx + e2ikx ) = 2 |A|2 cos (2kx) , (2.71) co istotnie przedstawia falę stojącą. • Fala eikx−iωt o amplitudzie A biegnie z lewa na prawo (w kierunku rosnących x), na co wskazuje pierwszy składnik (dodatni) w prądzie prawdopodobieństwa. Fala e−ikx−iωt o amplitudzie B biegnie zaś z prawa na lewo (w kierunku malejących x). Fale płaskie Wracamy do dyskusji funkcji falowej (2.64). Jeżeli nie ma jakichś, narzuconych z zewnątrz po- wodów, rozsądnie jest rozważać dwie fale oddzielnie • A 6= 0 i B = 0 ⇒ J > 0 – fala biegnąca w prawo; • A = 0 i B 6= 0 ⇒ J < 0 – fala biegnąca w lewo. Do tej pory przyjmowaliśmy, że k dane w (2.62) jest dodatnie i fale biegnące w przeciwnych kierunkach rozróżnialiśmy po znaku stojącym w wykładniku. Aby móc wygodnie dyskutować fale biegnące i w lewo i w prawo dopuśćmy, że k ∈ R (obojga znaków). Oba powyższe przypadki możemy teraz zapisać jednym wzorem ψ(x, t) = C exp ( ikx − iωt ) , (2.72) gdzie E = ~ω, k2 = 2mω/~, a także ρ(x, t) = |C|2, J(x, t) = k~ m |C|2. (2.73) Wartość parametru k określa więc wartości pędu i energii cząstki, zaś znak k pozwala identyfi- kować fale biegnące w prawo (k > 0) i w lewo (k < 0). Klasyczna prędkość cząstki (o wątpliwym sensie w mechanice kwantowej) wynosi vkl = p/m = ~k/m. Mówimy o tym, aby zestawić vkl z prędkościami charakteryzującymi falę. Fala związana z cząstką ma prędkość fazową vf = ω k = ~ω ~k = E p = p2 2mp = p 2m = vkl 2 . (2.74) Natomiast jej prędkość grupowa wynika ze związku dyspersyjnego (2.66) vg = dω(k) dk = d dk ( ~k2 2m ) = ~k m = vkl. (2.75) Widzimy więc, że na gruncie mechaniki kwantowej, gdzie cząstkę opisuje funkcja falowa, kon- cepcja prędkości cząstki (w ścisłym, klasycznym znaczeniu) jest rzeczywiście wątpliwa. Znacznie bezpieczniej jest mówić o pędzie cząstki. Zauważmy, że z postaci gęstości ρ(x, t) danej czy to w (2.68) czy w (2.73) wynika problem z normowaniem funkcji falowej. Widzimy, że ∫ dx ρ(x, t) obliczana na całej osi jest rozbieżna, i nie może być skojarzona z prawdopodobieństwem. Fale płaskie nie mogą więc przedstawiać dopuszczalnych fizycznie stanów cząstki i tym samym sprawiają kłopot natury interpretacyjnej. Warto sobie zdać sprawę, że fale płaskie w nieograniczonej przestrzeni są także kłopotliwe w S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 26 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 27 zwykłych zagadnieniach fizyki klasycznej. Jednym ze sposobów, i to chyba najbardziej eleganc- kim,uniknięcia kłopotów "normalizacyjnych" jest konsekwentny opis cząstek za pomocą pakietów falowych. Przykład takiego opisu zamieszczony jest w Uzupełnieniach. Inny sposób polega na zmianie interpretacji. Łącząc wzory (2.73) i (2.75) dostajemy J(x, t) = vkl|C|2 = vklρ(x, t). Wyrażenie to przypomina klasyczną formułę dla gęstości prądu elektrycznego ~jq = ρq~v związanego z ładunkami elektrycznymi o gęstości ρq poruszającymi się z prędkością ~v. Analogia ta pozwala interpretować fale płaskie jako fale odpowiadające ciągłemu strumieniowi cząstek. Amplituda |C|2 jest wtedy miarą gęstości strumienia cząstek – tego ile cząstek zawiera się w jednostce objętości strumienia. Można wykazać (choć nie jest to wcale proste), że uzyskane w ten sposób przewidywania fizyczne są identyczne z przewidywaniami otrzymanymi dla pakietów falowych. Mimo omówionych problemów interpretacyjnych fale płaskie typu (2.72) bywają pożytecz- nym, bo matematycznie prostym, narzędziem w wielu zagadnieniach mechaniki kwantowej. Przy posługiwaniu się nimi należy jednak wykazać się sporą dozą ostrożności. Problem w tym, że fale płaskie są nienormowalne. Nazywanie ich funkcjami falowymi wydaje się więc być pewnym nadużyciem terminologicznym (niestety dość częstym). Do dyskusji tych problemów wrócimy raz jeszcze po wprowadzeniu pojęć reprezentacji położeniowej i pędowej. 2.4.3 Stany związane i rozproszeniowe Prowadząc dalszą dyskusję pozostajemy przy bezspinowej cząstce poruszającej się w pewnym polu tak, że jej energia potencjalna nie zależy od czasu. Rozwiązania równania Schrödingera mają postać sfaktoryzowaną (2.55), przy czym funkcja ϕ(~r) spełnia równanie stacjonarne (2.53b). Oczywiste jest, że wartość E całkowitej energii cząstki determinuje charakter rozwiązań. Załóżmy, że energia potencjalna V (~r) zmienia się w granicach Vmin ¬ V (~r) ¬ Vmax. (2.76) Energia całkowita cząstki jest sumą energii kinetycznej (dodatniej) i potencjalnej. Oczywiście więc E Vmin. Rozwiązania równania Schrödingera dla E < Vmin są niemożliwe (niefizyczne). Pozostają więc do rozważenia dwa przypadki (i) Vmin < E < Vmax, (2.77a) (ii) E > Vmax. (2.77b) Te dwie sytuacje są zasadniczo różne. Scharakteryzujemy je bez podawania ścisłych dowodów matematycznych. ad (i) Rozwiązania równania Schrödingera odpowiadające energiom E < Vmax nazwiemy stanami związanymi. Nazwa ta bierze się z mechaniki klasycznej, gdzie ruch cząstki jest w takim przypadku ograniczony. Stany związane odpowiadają normowalnym funkcjom falowym (znikającym przy dużych |~r|, patrz (2.35)). Funkcje te odpowiadają z kolei energiom, które tworzą zbiór dyskretny. Tylko pewne energie z przedziału (Vmin, Vmax) prowadzą do fizycznie sensownych rozwiązań równania Schrödingera. Stany związane mają więc skwantowane poziomy energetyczne. ad (ii) Gdy energia całkowita cząstki E > Vmax wówczas dozwolone rozwiązania równania Schrödingera są możliwe dla dowolnych energii. Innymi słowy, dozwolone energie (więk- sze niż Vmax) tworzą zbiór ciągły. W tym przypadku rozwiązaniami równania Schrödin- gera są funkcje nienormowalne, które dla |~r| → ∞ zachowują się jak fale płaskie. Stany takie nazywamy rozproszeniowymi, ponieważ w przypadku klasycznym ruch cząstki S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 27 3.10.2004 2. Funkcje falowe i równanie Schrödingera 28 byłby nieograniczony i odpowiadałby, przy |~r| → ∞, cząstce swobodnej, która ulega rozpraszaniu na potencjale V (~r). Konsekwentne stosowanie pakietów falowych pozwa- la ominąć problemy związane z funkcjami nienormowalnymi. Niestety jest to znacznie bardziej złożone matematycznie. W praktyce, przy dyskusji stanów rozproszeniowych, posługujemy się falami płaskimi, reinterpretując ich amplitudy jako miary gęstości strumienia cząstek. Na zakończenie ogólnej dyskusji stanów związanych i rozproszeniowych zwróćmy uwagę, że war- tości Vmin i Vmax nie muszą być skończone, co omówimy na przykładach. • Nieskończona jednowymiarowa jama potencjału określona jest za pomocą potencjału V (x) = { 0, dla |x| < a, +∞, dla |x| > a. (2.78) Ruch cząstki możliwy jest jedynie w obszarze |x| < a, bo energia całkowita nie może być nieskończona. Funkcja falowa poza obszarem |x| < a znika. Wewnątrz tego obszaru spodziewamy się stanów związanych opisanych normowalnymi funkcjami falowymi, Energie tych stanów będą skwantowane – tworzą dyskretny zbiór wartości i leżą w przedziale 0 < E < Vmax = +∞. • Jednowymiarowa skończona jama potencjału odpowiada przykładowo energii potencjalnej V (x) = { 0, dla |x| < a, V0, dla |x| > a przy czym V0 > 0. (2.79) W tym przypadku Vmin = 0 oraz Vmax = V0, mamy więc dwie możliwe sytuacje. Dla energii całkowitych 0 < E < V0 oczekujemy, że w jamie będą stany związane odpo- wiadające skwantowanym (dyskretnym) poziomom energetycznym. Natomiast dla ener- gii E > Vmax = V0 spodziewamy się stanów rozproszeniowych o dowolnych (dodatnich) energiach, które daleko od jamy (tj. dla |x| a) zachowują się jak fale płaskie. • Energia potencjalna jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o masie m i częstości ω dana jest wzorem Vosc(x) = 1 2mω 2x2, (2.80) więc Vmin = 0 zaś Vmax = +∞. Energie oscylatora leżą więc w przedziale (0,∞). Oczeku- jemy jedynie stanów związanych odpowiadających dyskretnym energiom. Dozwolone po- ziomy energetyczne oscylatora są skwantowane. • W atomie wodoru proton i elektron oddziałują coulombowsko. Energia potencjalna elek- tronu wynosi V (~r) = − q2 4πε0 |~r| , (2.81) a więc Vmin → −∞, natomiast Vmax = 0. Dla energii E < 0 spodziewamy się stanów związanych. Jest to intuicyjnie zrozumiałe, bowiem aby zjonizować atom trzeba elektronowi dostarczyć energię niezbędną do "zerwania" wiązania. Jeśli zaś energia elektronu E > 0 to oczekujemy stanów rozproszeniowych. Swobodny elektron może ulec rozproszeniu na protonie i po oddziaływaniu ponownie być swobodny. Wszystkie z tych przykładów są przedmiotem szczegółowej dyskusji w dalszych rozdziałach lub w Uzupełnieniach. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 28