MATEMATYKA - LISTA 3
21.10.2016
ZAD.1 Wyznacz podane granice:
lim
x→2
x2+ 4
x+ 2 ; lim
x→2
x2−1
x−2; lim
x→− 1
2
4x2−1
2x+ 1 ; lim
x→3
27 −x3
x−3; lim
x→−2
3x2+ 5x−2
4x2+ 9x+ 2; lim
x→0
√x2+ 1 −√x+ 1
1−√x+ 1 ;
lim
x→0
sin 3x
4x; lim
x→0
tg 5x
7x; lim
x→0
sin 6x
tg 5x; lim
x→π
2
cos x
π−2x; lim
x→0
5x−1
x; lim
x→0
1−e2x
tg x; lim
x→∞
x2−5x+ 4
x(x−5) ;
lim
x→∞ (px2+ 1 −x); lim
x→∞
2x+ 3x
3x+ 1 ; lim
x→∞
√1 + x2
3
√1−x3.
ZAD.2 Wyznacz asymptoty podanych funkcji:
a(x) = sin x
x;b(x) = x3−1
x−1;c(x) = 1
1−x2;d(x) = e−xsin x+x;e(x) = √1 + x2
x;
f(x) = x3
(x+ 1)2;g(x) = 1
ex−1;h(x) = 1−x2
x+ 1 .
ZAD.3* Okre´sl zbi´or punkt´ow ci ,
ag lo´sci podanych funkcji:
f(x) = (1 dla x=kπ, k ∈Z
x
sin xdla x6=kπ, k ∈Z;g(x) = (√xcos 1
x2dla x > 0
0 dla x≤0;h(x)=[x](x−1).
ZAD.4 Dobierz parametry a, b ∈Rtak, aby podane funkcje by ly ci ,
ag le we wskazanych punktach:
f(x) = (bx dla x<π
sin x
ax dla x≥πx0=π;g(x) = (bx + 3 dla x < 1
2x2+x+adla x≥1x0= 1;
h(x) =
x+ 3 dla x > 0
adla x= 0
sin bx
xdla x < 0
x0= 0.
ZAD.5 Dla danej funkcji sprawd´z, czy jest ona injekcj ,
a (”1-1”), surjekcj ,
a (”na”), bijekcj ,
a (”1-1” i ”na”).
Je´sli to mo˙zliwe, to zna jd´z funkcj,
e odwrotn ,
a. Zna jd´z obrazy i przeciwobrazy podanych zbior´ow.
a:R→R, a(x) = 3x+ 4, A = [1,2], A0= (4,7);b:R→R, b(x) = x2, B = [0,4], B 0= (−1,1);
c:R→R, c(x)=2x+1, C = [0,2], C0= (0,2); d: (0,∞)→R, d(x) = log2x−1, D = (0,2), D0= [0,2];
e: [0,∞)→[0,∞); e(x) = x2, E = [0,4], E0= (0,1); f:R→(0,∞), f (x)=2x+1, F = [0,2], F 0= (0,2);
g:R→[−1,1], g(x) = sin x,G = [0, π], G0={1};h:R→[−1,1], h(x) = cos x, H = [0, π], H0={1};
i:R×R→R, i(x, y) = xy, I = (−1,1] ×[−2,2), I 0= [0,1);
j:R×R→R, j(x, y) = x2+y2, J = (−2,3] ×[−2,3), J0= (9,16].
ZAD.6* Niech f:N×N→Nzadane b,
edzie wzorem f((n, k)) = n·k. Czy fjest injekcj ,
a? surjekcj ,
a?
bijekcj ,
a? Zna jd´z f[P×(N\P)], f−1[{10}], f−1[N\P] i f−1[{2n:n∈N\ {0}}]
ZAD.7 Niech f:R→(0,∞) zadana b,
edzie wzorem f(x) = x2+ 1.
a) Wyznacz (f◦f)(x2+ 1).
b) Wyznacz f[A], gdzie A= [−2,1].
c) Wyznacz f−1[B], gdzie B= (2,3).
d)* Rozwa ˙zmy funkcj ,
egα:R→Rzadan ,
a wzorem gα(x) = f(x−α) (α∈Rjest parametrem). Wyznacz
zbi´or {α∈R:gαjest funkcj ,
a r´o ˙znowarto´sciow ,
a}.
1
