MATEMATYKA - LISTA 4
28.10.2016
ZAD.1* Korzystaj ,
ac z definicji zbadaj, czy istniej ,
a pochodne podanych funkcji we wskazanym punkcie:
a(x) = x|x|, x0= 0; b(x) = (xsin 1
xdla x6= 0
0 dla x= 0 , x0= 0; c(x) = (x2sin 1
xdla x6= 0
0 dla x= 0 , x0= 0;
d(x) = |x−1|, x0= 1; e(x) = |x−π|3sin x, x0=π;f(x) = (x2arctg 1
xdla x6= 0
0 dla x= 0 , x0= 0;
g(x) = (x2dla x≤1
√xdla x > 1, x0= 1.
ZAD.2* Korzystaj ,
ac z definicji, oblicz pochodne podanych funkcji
a(x) = 1
x2gdzie x6= 0; b(x) = 3
√xgdzie x∈R;c(x) = 1
sin xgdzie x6=kπ(k∈Z); d(x) = e−xgdzie x∈R;
e(x) = x2−3xgdzie x∈R;f(x) = 1
3
√xgdzie x6= 0; g(x)=4xgdzie x∈R;h(x) = sin 1
xgdzie x6= 0.
ZAD.3 Oblicz pochodne podanych funkcji:
a(x) = x7−4x5+ 13x4−x+ 19; b(x) = 4x5−2
p2 + √3;c(x) = 4x7+ 3x5−2x4+ 7x−2
3x4;d(x)=4x34
√x;
e(x) =
3
rx2qx4
√x3;f(x) = x3cos x;g(x) = 2−x2
2x3+x+ 3;h(x) = (4x5−7x3+ 14x2−5)2016;i(x) = p3x2−7x+ 12;
j(x) = sin3x;k(x) = e−x;l(x) = e4x3−6x+1;m(x) = tg47x4+x−2; n(x) = sin35
r1−2x
x;o(x) = x+ 1
√1−x;
p(x) = xpx2+ 1; r(x) = 4xarctg x;s(x) = xx;t(x) = xx(ln x+ 1); s(x) = (sin x)tg x.
ZAD.4 Oblicz pochodne podanych funkcji:
a(x) = ln tan x
3;b(x) = arcsin 4
√1−5x;c(x) = ln (ex+√ex+ 1); d(x) = xxx;
e(x) = sin72x+ 1
3x+ 1;f(x) = arctg(x) arcctg( 1
x).
ZAD.5* Korzystaj ,
ac z twierdzenia o funkcji odwrotnej, oblicz podane pochodne:
(a−1)0(y) dla a(x) = ex; (b−1)0(y) dla b(x) = ctg x;(c−1)0(y) dla c(x) = 3−x;
(d−1)0(y) dla d(x) = cos x; (e−1)0(y) dla e(x) = ln x.
ZAD.6* Zak ladaj ,
ac, ˙ze funkcje figma j ,
a pochodne w la´sciwe, oblicz pochodne podanych funkcji:
a(x) = logf(x)g(x); b(x) = arctg f(x)
g(x);c(x) = 3
pf2(x) + g2(x); d(x) = sin f(x)
cos g(x);
e(x) = sin [f(x)g(x)]; h(x)=[f(x)]g(x);i(x) = tg f(x)
g(x);j(x) = f(x) arctg(g(x)).
ZAD.7 Napisz r´owania stycznych do wykres´ow podanych funkcji we wskazanych punktach:
a(x)=(x+ 1) 3
√3−xw punkcie (−1, f(−1)); b(x) = xxw punkcie (2, g(2)); c(x) = 2x
1 + x2w punkcie (√2, f(√2));
d(x) = arctg(x2) w punkcie (0, g(0)); e(x) = x
√xw punkcie (e, h(e)); f(x) = ln x
xw punkcie (e, k(e)).
1
