MATEMATYKA - LISTA 5
4.11.2016
ZAD.1 Korzystaj ,
ac z regu ly de L’Hospital’a, oblicz podane granice:
lim
x→0
ln (1 + x)
x; lim
x→0+
ln x
ln sin x; lim
x→1−
2x−22−x
(x−1)2; lim
x→−∞
x(e1
x−1); lim
x→∞
π−2 arctg x
ln (1 + x)−ln x; lim
x→1−
cos π
2xln (1 −x);
lim
x→01
xsin x−1
x2; lim
x→0+xsin x; lim
x→1−
(1 −x)cos πx
2; lim
x→∞ cos 1
xx
; lim
x→π
2−
(sin x)tg x; lim
x→∞ (x+ 1) 1
√x;
lim
x→0
x−arctg x
x2; lim
x→1
x10 −10x+ 9
x5−5x+ 4 ; lim
x→0+xln x; lim
x→0−1
x−ctg x; lim
x→0
ln cos x
ln cos 3x; lim
x→∞ 2
πarctg xx
;
lim
x→0+(1 + x)ln x; lim
x→0+1
xsin x
; lim
x→1
xx−1
ln x; lim
x→∞
arcctg 3x
arcctg x; lim
x→π−
(π−x) tg x
2; lim
x→∞ (x+ 1)x
xxex
.
ZAD.2 Znajd´z przedzia ly monotoniczno´sci podanych funkcji:
a(x) = x5
5−x3
3+ 2; b(x) = xln x;c(x)=(x−3)√x;d(x) = x+ sin x;e(x) = x3
x−2;f(x) = excos x;
g(x) = x3−30x2+ 225x+ 1; h(x) = xe−3x;i(x) = x3
3−x2;j(x) = x
ln x;k(x)=4x+1
x;l(x) = 1
xln x.
ZAD.3 Znajd´z wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:
a(x) = 2x3−15x2+ 36x−14; b(x) = x
x2+ 4;c(x) = xx;d(x) = x1
x;e(x) = sin x+sin 2x
2;f(x) = x−3
√x;
g(x) = 1
x2−x;h(x) = x3−4x2;i(x) = 2 sin x+ cos 2x;j(x) = (x−5)ex;k(x) = (x+ 3)3
(x+ 1)2;l(x) = x2e1
x;
m(x) = exsin x;n(x) = x+1
x, o(x) = 2 arctg x−ln (1 + x2).
ZAD.4 Znajd´z najwi ,
eksze i najmniejsze warto´sci podanych funkcji na wskazanych przedzia lach:
a(x) = x2−2x+ 3,[−2,5]; b(x) = x2ln x, [1, e]; c(x) = arctg x−x
2,[0,2];
d(x)=2x3−3x2−36x−8,[−3,6],e(x) = x−2√x, [0,5]; f(x) = 2 sin x+ sin 2x, 0,3π
2.
ZAD.5 Okre´sl przedzia ly wypuk lo´sci i znajd´z punkty przegi ,
ecia podanych funkcji:
a(x) = x4−6x2−6x+ 1; b(x) = x2
(x−1)3;c(x) = e3
√x;d(x) = sin2x;e(x) = x2ln x;f(x) = (1 + x2)ex;
g(x) = 1
1−x2, h(x) = cos x;i(x) = tg x;j(x) = earctgx;k(x) = x3
x2+ 12;l(x) = ln x
√x.
ZAD.6 Zbadaj przebieg zmienno´sci podanych funkcji i naszkicuj ich wykresy:
a(x) = x3−3x2+ 4; b(x) = ln x
x;c(x) = e−x2;d(x) = x
1−x2;e(x)=(x−1)2(x+ 2); f(x) = x3
x−1;
g(x) = x
ln x;h(x) = xp1−x2;i(x) = x2e−x;j(x) = sin x−sin2x.
ZAD.7 Sprawd´z, czy podane funkcje spe lniaj ,
a za lo ˙zenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [−1,1]:
a(x) = x(x2−1); b(x)=1−3
√x2;c(x)=(|x| − 1)2;d(x) = sin πx;e(x) = p|x| − 1; f(x) = π
4−arctg |x|.
1
