Funkcje zmiennej zespolonej - Notatki - Matematyka - Część 1, Notatki z Matematyka

Pobierz Funkcje zmiennej zespolonej - Notatki - Matematyka - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

MiNI - zbi´or zada´n

(wyb´or i opracowanie zada´n – Agnieszka Bade´nska)

Spis tre´sci

 - I. Liczby zespolone – dzialania i w lasno´sci - II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzno´s´c - III. Funkcje elementarne - IV. Szeregi zespolone - V. Odwzorowania konforemne - VI. Ca lki funkcji zmiennej zespolonej i wz´or calkowy Cauchy’ego 

• VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punkt´ow osobliwych
• VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana - IX. Twierdzenie Rouch´e, zasada maksimum - X. Funkcje harmoniczne - XI. Funkcje specjalne Eulera Material dodatkowy:
  • XII. Transformata Fouriera
• XIII. Transformata Laplace’a

(d) (1 − i)^4 z^4 = − 1 (e) |z| − z = 1 + 2i (f) z^2 − 2 z + 5 = 0 (g) z^2 − (2 + i)z + (−1 + 7i) = 0 (h) z z¯ + (z − ¯z) = 3 + 2i (i) i(z + ¯z) + i(z − z¯) = 2i − 3 (j) (¯zz)^2 − z^2 + ¯z^2 − 1 = 0 (k) z^7 − z^4 i + z^3 − i = 0 (l) z^6 − z^4 + 4z^2 − 4 = 0

6. Niech z 0 ∈ C b edzie pierwiastkiem wielomianu o wsp´↪ o lczynnikach rzeczywistych. Po- kaza´c, ˙ze ¯z 0 jest tak˙ze pierwiastkiem tego wielomianu.
7. Znale´z´c pozosta le pierwiastki wielomianu W (z) = z^4 − 4 z^3 + 4z^2 + 4z − 5 wiedz ac, ˙↪ ze z 0 = 2 − i jest pierwiastkiem tego wielomnianu.
8. Udowodni´c, ˙ze: (a) (^) x +^1 iy = (^) xx 2 −+^ iyy 2 dla (x, y) ∈ R^2 \ (0, 0) (b) |z 1 + z 2 |^2 + |z 1 − z 2 |^2 = 2|z 1 |^2 + 2|z 2 |^2 dla z 1 , z 2 ∈ C
9. Funkcje sin(6x) oraz cos(5x) wyrazi´c za pomoc a funkcji sin↪ x i cos x (korzystajac z (^) ↪ dwumianu Newtona i wzoru de Moivre’a).
10. Udowodni´c poni˙zsze to˙zsamo´sci dla n ∈ N \ { 0 }:

(a) sin^2 nπ + sin^4 nπ + · · · + sin^2 nπn = 0 (b) cos^2 nπ + cos^4 nπ + · · · + cos^2 nπn = 0 (c) cos 11 π + cos^311 π+ cos^511 π+ cos^711 π+ cos^911 π=^12 (d) cos^211 π+ cos^411 π+ cos^611 π+ cos^811 π+ cos^1011 π = −^12

11. Zaznaczy´c na p laszczy´znie zespolonej zbiory: (a) {z ∈ C: |z| = 1} (b) {z ∈ C: |z + i| = 3} (c) {z ∈ C: | 2 iz + 6| ≤ 4 } (d) {z ∈ C: 0 < |z − 1 | < 1 } (e) {z ∈ C: 2 ≤ |z + 2 − i| < 3 } (f)

z ∈ C: |z − i| + |z + 1| =^52

II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzno´s´c

1. Wyznaczy´c cz e´↪s´c rzeczywist a i urojon↪ a funkcji:↪ (a) f (z) = z^4 (b) f (z) = z^3 + iz¯^2 (c) f (z) = z z^ + 1− 1 (d) f (z) = (^1) −^1 z 2
2. Dana jest cz e´↪s´c rzeczywista u(x, y) i cz e´↪s´c urojona v(x, y) funkcji zespolonej f. Przed- stawi´c t e funkcj↪ e jako funkcj↪ e zmiennej zespolonej↪ z. (a) u(x, y) = x^4 − 6 x^2 y^2 + y^4 − x , v(x, y) = 4x^3 y − 4 xy^3 − y (b) u(x, y) = x^2 − y^2 + x , v(x, y) = 2xy + y (c) u(x, y) = (^) x (^2) +x y 2 + x , v(x, y) = − (^) x (^2) +y y 2 − y
3. Dana jest funkcja f (z) = (^1) z. Zbada´c, czym jest przy tym odwzorowaniu obraz krzywej okre´slonej r´ownaniem: (a) x^2 + y^2 = 1 (b) y = 0 (c) x = 1 (d) (x − 1)^2 + y^2 = 1
4. Sprawdzi´c w jakich punktach z ∈ C nast epuj↪ ace funkcje spe lniaj↪ a warunki Cauchy’ego-↪ Riemanna: (a) f (z) = z^2 (b) f (z) = zImz (c) f (z) = |z|^2 + 2z (d) f (z) = |z|
5. Zbada´c istnienie pochodnej funkcji f oraz wyznaczy´c jej pochodn a w punktach, w kt´↪ orych istnieje: (a) f (z) = zRez (b) f (z) = z z¯

III. Funkcje elementarne

1. Obliczy´c warto´sci wyra˙ze´n: (a) Ln (−i) , ln (−i) , Ln (1 + i) , ln (−1), (b) cos (1 + i) , sin (1 + 2i) , tg (2 − i), (c) exp

2 − π 3 i

, cos 2i , cos ni, (d) ii^ , iπi^ , i^12.

2. Rozwi aza´↪ c r´ownania: (a) cos^2 z = 4, (b) sin z = 100, (c) (z^4 − 1) sin(πz) = 0, (d) cosh^2 z = 0, (e) ez^2 = 1.
3. Wykaza´c, ˙ze dla z = x + iy zachodz a to˙↪ zsamo´sci: (a) sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, (b) cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y, (c) tgz = sin 2 cos 2xx^ + + cosh 2^ i^ sinh 2yy , (d) | sin z| =

sin^2 x + sinh^2 y, (e) | cos z| =

cos^2 x + sinh^2 y.

4. Wykaza´c, ˙ze nast epuj↪ ace funkcje s↪ a okresowe:↪ (a) sin z , cos z (o okresie T = 2π), (b) tgz , ctgz (o okresie T = π), (c) cosh z , sinh z (o okresie T = 2πi).
5. Wykaza´c, ˙ze dla z ∈ C: (a) cos(iz) = cosh z , sin z = −i sinh(iz) , cos^2 z + sin^2 z = 1 , cosh^2 z − sinh^2 z = 1, (b) sin ¯z = sin z , cos ¯z = cos z , cos(−z) = cos z , sin(−z) = − sin z, (c) cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cos z 2 − sin z 1 sin z 2 , (d) sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2.

6. Znale´z´c funkcj e holomorficzn↪ a↪ f (z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedz ac, ˙↪ ze: (a) u(x, y) = ex(x cos y − y sin x), (b) v(x, y) = ex(y cos y + x sin y) + x + y, (c) v(x, y) = arctg yx , x > 0, (d) v(x, y) = ln (x^2 + y^2 ).
7. Korzystaj ac z definicji pochodnej formalnej↪ ∂f∂ ¯z udowodni´c, ˙ze funkcje sin z, cos z, tgz, ctgz, sinh z, cosh z, tghz, ctghz s a holomorficzne w swojej dziedzinie.↪ Wyprowadzi´c wzory na pochodne tych funkcji.
8. Znale´z´c obrazy prostych x = const oraz y = const przy odwzorowaniu: (a) f (z) = ez (b) f (z) = sin z, (c) f (z) = tgz.
9. Znale´z´c obrazy koncentrycznych okr eg´↪ ow i promieni dla tzw. funkcji Zukowskiego:˙ f (z) =^12

z +^1 z

10. • Wykaza´c, ˙ze gdy w pewnym obszarze istnieje jednoznaczna ga l a´↪z pierwiastka √nz, to istnieje dokladnie n gal ezi. Czym one si↪ e r´↪ o˙zni a?↪

(e)

∑^ ∞

n=

nnzn,

(f)

∑^ ∞

n=

zn nn^ , (g)

∑^ ∞

n=

z−n cos in, (h)

∑^ ∞

n=

en(iz)−n,

(i)

∑^ ∞

n=

(z + 1 − i)n n + i.

4. Wyznaczy´c promie´n zbie˙zno´sci szeregu pot egowego oraz zbada´↪ c jego zbie˙zno´s´c na brzegu kola zbie˙zno´sci, je´sli: (a)

∑^ ∞

n=

eπin^ zn,

(b)

∑^ ∞

n=

zn (1 − i)n^ , (c)

∑^ ∞

n=

(z − 1 + i)n n^2 , (d)

∑^ ∞

n=

(1 − i)n zn^ , (e)

∑^ ∞

n=

zn(n^2 + n), (f)

∑^ ∞

n=

(z − i)n 2 n^.

5. Pokaza´c, ˙ze poni˙zsze szeregi maj a t↪ e sam↪ a sum↪ e. Zbada´↪ c obszar zbie˙zno´sci obu szereg´ow.

ln 2 −

∑^ ∞

n=

n

( 1 − z 2

)n oraz

∑^ ∞

n=

(−1)n−^1 n z

n

6. Dowie´s´c, ze sumy nast˙ epuj↪ acych szereg´↪ ow pot egowych nie maj↪ a wsp´↪ olnego obszaru zbie˙zno´sci, ale istnieje funkcja, kt´orej rozwini eciami s↪ a oba te szeregi.↪ ∑^ ∞ n=

zn n oraz^ πi^ −

∑^ ∞

n=

(−1)n−^1 n (z^ −^ 2)

n

7. Znale´z´c wsp´olny obszar zbie˙zno´sci poni˙zszych szereg´ow i pokaza´c, ˙ze maj a one t↪ e sam↪ a↪ sum e.↪ 1 +

∑^ ∞

n=

zn^ oraz (^1) −^1 i

[

∑^ ∞

n=

(z − i 1 − i

)n]

8. Wyznaczy´c rozwini ecia nast↪ epuj↪ acych funkcji w szereg pot↪ egowy postaci↪ ∑^ cnzn^ oraz znale´z´c obszar zbie˙zno´sci uzyskanego szeregu: (a) f (z) = (^2) z 1 + 5, (b) f (z) = (^) 1 +^1 z 4 , (c) f (z) = 1 + 1 −^ iziz , (d) f (z) = (^) 1 + z^1 + z 2 , (e) f (z) = (^) (1 + z)(^1 z + 2), (f) f (z) = (^) (1 +^1 z) 2 , (g) f (z) = (^) (1 +^1 z) 3 , (h) f (z) = e^2 z+πi, (i) f (z) = cos(z − π), (j) f (z) = sin

(z 2 +^

π 3

9. Funkcj e↪ f (z) = (^) 2+^3 z rozwin a´↪c w szereg pot egowy wok´↪ o l punktu z 0 = −1 i wyznaczy´c obszar zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu. Nast epnie t↪ e sam↪ a funkcj↪ e rozwin↪ a´↪c w szereg pot egowy wok´↪ o l punkt´ow z 1 = 0 i z 2 = −1 + i. Por´owna´c obszary zbie˙zno´sci wszystkich otrzymanych szereg´ow.

9. Niech D = {z ∈ C: Imz < 0 }. Znale´z´c obraz zbioru D przy odwzorowaniu f (z) = Lnz.
10. Niech D = {z ∈ C: 0 < Rez < π}. Znale´z´c obraz zbioru D przy odwzorowaniu f (z) = cos z.
11. Znale´z´c obraz siatki linii r´ownoleglych do osi uk ladu wsp´olrz ednych (prostych i od-↪ cink´ow) w pasie {z ∈ C: −π 2 < Rez < π 2 }^ przy odwzorowaniu f (z) = tgz.
12. Wykaza´c, ˙ze na to, aby r´o˙zna od identyczno´sci homografia f (z) = azcz++db by la inwolucj a↪ (tzn. f = f −^1 ) potrzeba i wystarczy, by a + d = 0.
13. Wykaza´c, ˙ze ka˙zda r´o˙zna od identyczno´sci homografia, b ed↪ aca inwolucj↪ a, posiada do-↪ k ladnie dwa punkty sta le.

VI. Calki funkcji zmiennej zespolonej i wz´or calkowy Cauchy’ego

1. Obliczy´c calk e z funkcji↪ f (z) wzd lu˙z krzywej γ, je´sli: (a) f (z) = Rez, γ – odcinek [0, 1 + i], (b) f (z) = Imz, γ – odcinek [0, 2 + i], (c) f (z) = |z|, γ – zadana opisem parametrycznym: z = eit^ , t ∈ [−π 2 , π 2 ], (d) f (z) = ez¯^ , γ – lamana o wierzcho lkach: z 1 = 0, z 2 = 1, z 3 = 1 + i, (e) f (z) = ez¯^ , γ – lamana o wierzcho lkach: z 1 = 0, z 2 = i, z 3 = 1 + i, (f) f (z) = eiz^ , γ – dowolna krzywa o pocz atku↪ z 1 = i oraz ko´ncu z 2 = 0, (g) f (z) = cos z, γ – dowolna krzywa o pocz atku↪ z 1 = 0 oraz ko´ncu z 2 = π 2 , (h) f (z) = z sin z, γ – dowolna krzywa o pocz atku↪ z 1 = 0 oraz ko´ncu z 2 = i, (i) f (z) = sin(2z + 1), γ – dowolna krzywa o pocz atku↪ z 1 = 0 oraz ko´ncu z 2 = π 2 , (j) f (z) = (z − 1) cos z, γ – dowolna krzywa o pocz atku↪ z 1 = −π 2 i oraz ko´ncu z 2 = π 2 i, (k) f (z) = ze−^2 z^ , γ – dowolna krzywa o pocz atku↪ z 1 = 0 oraz ko´ncu z 2 = π 2 i.
2. Obliczy´c nast epuj↪ ace calki po krzywych zamkni↪ etych:↪

(a)

|z|=

z dz, (b)

|z|=

z − 1 dz, (c)

|z|=

z − 2 z + 1 dz, (d)

|z|=

z^2 z − 1 dz, (e)

|z|=

z^2 z − 2 i dz, (f)

|z−i|=

z^2 + 9 dz, (g)

|z− 2 i|=

(z^2 + 9)^2 dz,

(h)

|z|=

z^2 + 1 z + i dz, (i)

|z− 3 i|=

ez z(z − 2 i) dz,

14