Pobierz Funkcje zmiennej zespolonej - Notatki - Matematyka - Część 2 i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
(j)
|z+i|=
sin z z + i
dz,
(k)
|z+i|= (^52)
sin z (z − i)(z − 2 i) dz,
(l)
|z−i|=
cos z (z − i)^3 dz,
(m)
∂D
z^2 z^3 − 2 z^2 + z − 2 dz, gdzie D = {z ∈ C: |Rez| + |Imz| ≤ 3 },
(n)
∂D
tgz z − 1 dz, gdzie D = [− 2 , 2] × [− 2 , 2],
(o)
γ
(z^2 − 4 iz − 4)(z + 1)^3
dz, gdzie γ – krzywa o r´ownaniu: x^2 + y^2 − 4 y − 5 = 0,
(p)
γ
sin π 4 z z^2 − 1 dz, gdzie γ – krzywa o r´ownaniu: x^2 + y^2 − 2 x = 0,
(q)
|z− 1 |=R
(z − 1)^3 (z + 1)^3 dz, dla R > 2 i dla 0 < R < 2,
(r)
|z− 1 |= (^54)
[
z^6 − 2 z^3 + 1
]
dz,
(s)
|z− 1 |=
[
e^2 z z^3 − 3 z^2 + 3z − 1
]
dz.
- Obliczy´c calki rzeczywiste:
(a)
−∞
dx x^4 + 2x^2 + 1
(b)
−∞
dx (x^2 + x + 1)^2
(c)
0
dx (x^2 + 1)^2 (x^2 + 4)
(d)
0
x dx x^4 + 6x^2 + 13
(e)
−∞
x^2 − x + 2 x^4 + 10x^2 + 9
dx,
(f)
0
x^2 (x^2 + a^2 )^3 dx , a > 0,
(g)
0
dx (x^2 + a^2 )^2 (x^2 + b^2 ) , a, b > 0 , a 6 = b.
VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punkt´ow osobliwych
- Funkcj e↪ f (z) rozwin a´↪c w szereg Laurenta odpowiednio w pier´scieniach V 1 i V 2 :
(a) f (z) =
(z − 1)(z − 2) , V 1 = {z ∈ C: 1 < |z| < 2 } , V 2 = {z ∈ C: 2 < |z|},
(b) f (z) =
(z − 1)(z − 2) , V 1 = {z ∈ C: 0 < |z − 1 | < 1 } , V 2 = {z ∈ C: 1 < |z − 1 |},
(c) f (z) =
z
z − 3
z − 1
, V 1 = {z ∈ C: 1 < |z| < 3 } , V 2 = {z ∈ C: 3 < |z|},
(d) f (z) =
(z^2 + 1)(z^2 + 2)
, V 1 =
z ∈ C: 1 < |z| <
, V 2 =
z ∈ C:
2 < |z|
(e) f (z) =
(z^2 − 1)(z^2 − 2) , V 1 = {z ∈ C: 0 < |z| < 1 } , V 2 = {z ∈ C: 2 < |z|},
(f) f (z) = e z−z 1 , V 1 = {z ∈ C: 0 < |z − 1 |}.
- Znale´z´c cz e´↪s´c g l´own a i regularn↪ a szeregu Laurenta funkcji↪ f (z) = (^) z (^21) +1 :
(a) w dysku D
z ∈ C: |z − 1 | <
(b) w pier´scieniu P
z ∈ C:
2 < |z − 1 | < ∞
(c) w pier´scieniu P (i, 0 , 2) = {z ∈ C: 0 < |z − i| < 2 }, (d) w pier´scieniu P (−i, 0 , 2) = {z ∈ C: 0 < |z + i| < 2 }, (e) w pier´scieniu P (2i, 1 , 3) = {z ∈ C: 1 < |z − 2 i| < 3 }, (f) w pier´scieniu P (− 2 i, 1 , 3) = {z ∈ C: 1 < |z + 2i| < 3 }.
- Funkcj e↪ f (z) = (^) z^12 Ln(1 + z) rozwin a´↪c w szereg Laurenta w otoczeniu nak lutym punktu z 0 = 0. Wyznaczy´c obszar zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu oraz residuum funkcji f w punkcie z 0.
- Znale´z´c zera poni˙zszych funkcji i okre´sli´c ich krotno´s´c:
(a) f (z) = z sin z, (b) f (z) = ctgz,
(c) f (z) = (z − 1)^2 cos(πz) (2z − 1)(z^2 + 1)^5 sin^3 (πz)
- Znale´z´c bieguny poni˙zszych funkcji, okre´sli´c ich krotno´s´c oraz obliczy´c residua:
(a) f (z) =
(2 − z)(z^2 − 4)
(b) f (z) =
(z^2 + 4)^3
(c) f (z) = eiπz−^4 ,
(d) f (z) = πctg(πz) z^2
VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana
- Obliczy´c ca lki
γ
f (z) dz (korzystaj ac z twierdzenia o residuach lub ze wzoru calkowego↪ Cauchy’ego), je´sli:
(a) f (z) =
1 + z^4
, γ : x^2 + y^2 − 2 x = 0,
(b) f (z) =
(z − 1)^2 (z^2 + 1)
, γ : x^2 + y^2 = 2x + 2y,
(c) f (z) = 2 z z(z − 1)
, γ : x^2 + y^2 = 9,
(d) f (z) = z^2 2 z − 1 , γ(t) = 2eit, t ∈ [0, 2 π],
(e) f (z) = eiz z^2 , γ = S^1 ,
(f) f (z) = sin z z , γ = S^1 ,
(g) f (z) = ez z^4 − 1 , γ = ∂D(a, a) , a > 1,
(h) f (z) = z sin z (z − i)^3 , γ : 4x^2 + y^2 4
- Wykorzystuj ac metody funkcji zespolonych, obliczy´↪ c ca lki rzeczywiste:
(a)
−∞
cos x x^2 + 9 dx,
(b)
−∞
x sin x x^2 + 4x + 20
dx,
(c)
−∞
cos x x^4 + 1
dx,
(d)
−∞
cos x x^2 + a^2 dx , a > 0,
(e)
−∞
cos x (x^2 + a^2 )^2 dx , a > 0,
(f)
0
x sin x (x^2 + a^2 )^2 dx , a > 0,
(g)
0
cos(mx) (x^2 + a^2 )^2 dx , a > 0 , m > 0.
- Stosuj ac podstawienie↪ z = eix^ (zmieniaj ac odpowiednio drog↪ e calkowania) obliczy´↪ c nast epuj↪ ace calki, korzystaj↪ ac z twierdzenia o residuach:↪
(a)
∫ (^2) π
0
dx 5 + 4 sin x
(b)
∫ (^2) π
0
dx 1 + 8 cos^2 x
(c)
∫ (^2) π
0
dx 1 − 2 a cos x + a^2 , 0 < a < 1,
(d)
∫ (^2) π
0
dx (2 + cos x)^2
(e)
∫ (^2) π
0
dx cos x + a , a > 1,
(f)
∫ (^2) π
0
sin^2 x a + b cos x dx , a > b > 0,
(g)
∫ (^2) π
0
cos^2 3 x 1 − 2 a cos 2x + a^2 dx , |a| < 1.
- Obliczy´c calk e↪
0
sin x x
dx.
Wsk.: Rozwa˙zy´c funkcj e pomocnicz↪ a:↪ f (z) = 1 − e^2 iz z^2
- Obliczy´c calk e↪
0
sin x x
dx.
Wsk.: Rozwa˙zy´c funkcj e pomocnicz↪ a:↪ f (z) = 3 eiz^ − e^3 iz^ − 2 z^3
X. Funkcje harmoniczne
- Znale´z´c funkcj e↪ u(x, y) harmoniczn a w obszarze↪ D i spe lniaj ac↪ a warunek brzegowy↪ u|∂D = ϕ, je˙zeli: (a) D =
(x, y): x^2 + y^2 < 1
, ϕ(x, y) = x + xy, (b) D =
(x, y): x^2 + y^2 < 4
, ϕ(x, y) = x^2 − 2 xy + 2y^2 , (c) D =
(x, y): x^2 + y^2 < 1
, ϕ(x, y) = x^2 − 3 xy − 2 y^2 − 2, (d) D =
(x, y): x^2 + y^2 < 4
, ϕ(x, y) = x + 3xy − x^2 y, (e) D =
(x, y): x^2 + y^2 < a^2
, ϕ(x, y) = 3x^2 + xy − 3 y^2 + x − y − 2 , a > 0.
- Znale´z´c funkcj e↪ u(x, y) harmoniczn a w obszarze↪ D, spe lniaj ac↪ a warunek brzegowy↪ ∂u ∂n |∂D =^ ϕ^ i tak^ a, ˙↪ ze^ u(0,^ 0) =^ a, je˙zeli: (a) D =
(x, y): x^2 + y^2 < 1
, ϕ(x, y) = x + y , a = 0, (b) D =
(x, y): x^2 + y^2 < 1
, ϕ(x, y) = x^3 − y^3 , a = 3, (c) D =
(x, y): x^2 + y^2 < 1
, ϕ(x, y) = x^2 , a = 0.
- Pokaza´c, ˙ze je´sli f : D 1 → D 2 jest funkcj a holomorficzn↪ a w obszarze↪ D 1 oraz u: D 2 → R jest harmoniczna w obszarze D 2 , to superpozycja u ◦ f jest harmoniczna w D 1.
- Wyznaczy´c funkcj e↪ u(x, y) harmoniczn a w g´↪ ornej p´o lp laszczy´znie, ci agl↪ a dla↪ y ≥ 0, ograniczon a w niesko´↪ nczono´sci i spe lniaj ac↪ a warunek brzegowy:↪ u(x, 0) = α(x) dla x ∈ R.
- Zbada´c czy obszar D = {(x, y): 0 < x^2 + y^2 < 1 } jest regularny ze wzgl edu na zagad-↪ nienie Dirichleta.
XI. Funkcje specjalne Eulera
- Pokaza´c, ˙ze funkcja beta Eulera, zdefiniowana wzorem:
B(a, b) =
0
xa−^1 (1 − x)b−^1 dx , dla a, b ∈ C , Re a > 0 , Re b > 0
spelnia nast epuj↪ ace to˙↪ zsamo´sci: (a) B(a, b) = B(b, a) , B(1, 1) = 1,
(b) B(a, b) = b − 1 a + b − 1 B(a, b − 1),
(c) B(m, n) = (m − 1)!(n − 1)! (m + n − 1)! dla m, n ∈ N,
(d) B(a, a) =
22 a−^1
B
, a
(e) B(a, b) =
0
ya−^1 (1 + y)a+b^ dy,
(f) B(a, b) =
0
xa−^1 + xb−^1 (1 + x)a+b^ dx,
(g)
∫ π 2
0
sinm^ x cosn^ x dx =
B
m + 1 2
n + 1 2
- Pokaza´c, ˙ze funkcja gamma Eulera, zdefiniowana wzorem:
Γ(z) =
0
e−t^ tz−^1 dt , dla Re z > 0
spelnia nast epuj↪ ace to˙↪ zsamo´sci: (a) Γ(z + 1) = zΓ(z) , Γ(1) = 1 , Γ(n + 1) = n! dla n ∈ N,
(b) B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y)
(c) Γ(z) = lim n→∞
nz^ n! z(z + 1)... (z + n)
(tzw. wz´or Gaussa)
Wsk.: Zastosowa´c podstawienie u = e−t^ i zauwa˙zy´c, ˙ze lim n→∞
[
n
1 − u n^1
)]
= ln (^1) u.
(d) Γ(z) =
z
∏^ ∞
n=
1 + (^1) n
)z
1 + (^) nz Wsk.: Wykorzysta´c wz´or Gaussa.
- Pokaza´c, ˙ze ci ag↪ un, okre´slony wzorem:
un = 1 +
n − ln n
jest zbie˙zny. Granic e tego ci↪ agu oznaczamy przez↪ γ i nazywamy sta l a Eulera.↪ Wsk.: Rozwa˙zy´c ci ag pomocniczy↪ vn = 1 + 12 + · · · + (^) n^1 − ln(n + 1), zauwa˙zy´c, ˙ze un jest malej acy, natomiast↪ vn rosn acy oraz↪ un > vn.
22
XII. Transformata Fouriera
- Zbada´c dla jakich z ∈ C zbie˙zne s a szeregi:↪
(a)
∑^ ∞
n=
(−1)n−^1 sin(nz) n
(b)
∑^ ∞
n=
(−1)n−^1 cos(nz) n^2
- Obliczy´c transformaty Fouriera nast epuj↪ acych funkcji:↪
(a) f (t) =
t + 2ω dla − 2 ω ≤ t ≤ 0 2 ω − t dla 0 ≤ t ≤ 2 ω 0 dla |t| > ω
, ω > 0,
(b) f (t) =
1 dla − 2 ω ≤ t < 0 − 1 dla 0 < t ≤ 2 ω 0 dla |t| > ω i t = 0
, ω > 0,
(c) f (t) = e−αt 2 , α > 0.
- Obliczy´c F^2
[
e−|x|
]
, gdzie F^2 = F ◦ F oznacza drug a iteracj↪ e transformaty Fouriera.↪
- Niech F oznacza transformat e Fouriera oraz oznaczmy↪ F(f ) = F. Wykaza´c, ˙ze praw- dziwe s a nast↪ epuj↪ ace wlasno´↪ sci: (a) Je´sli tnf (t) jest bezwzgl ednie calkowalna na↪ R, to dn dωn^ F (ω) = (−i)n
−∞
e−iωttnf (t) dt = (−i)nF [tnf (t)] (ω)
(b) Je´sli f, f ′,... , f (n)^ s a bezwzgl↪ ednie calkowalne na↪ R, to
F
[
f (n)(t)
]
(ω) = (iω)nF (ω)
(c) Je´sli f oraz ϕ(t) =
∫ (^) t t 0 f^ (τ^ )dτ^ s^ a bezwgl↪^ ednie ca lkowalne na↪^ R^ oraz^ t→±∞lim ϕ(t) = 0, to F [ϕ(t)] (ω) =
iω F (ω)
(d) Je´sli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na↪ R, to
F [f (t − t 0 )] (ω) = e−iωt^0 F (ω)
(e) Je´sli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na↪ R, to F
[
eiω^0 tf (t)
]
= F (ω − ω 0 )
(f) Je´sli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na↪ R, to
F [f (t) cos(ω 0 t)] (ω) =
[F (ω − ω 0 ) + F (ω + ω 0 )]
(g) Je´sli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na↪ R, to
F [f (t) sin(ω 0 t)] (ω) =
[F (ω − ω 0 ) − F (ω + ω 0 )]
(h) Je´sli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na↪ R, to
F
[
f
t a
)]
(ω) = |a|F (aω)
(i) Je´sli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na↪ R, to
F
[
f (t)
]
(ω) = F (−ω)
(h) F (s) = s^2 (s^2 + 1)^2
(i) F (s) =
s(s + a)^3 , a ∈ R,
(j) F (s) = s (s + a)(s + b) , a, b ∈ R.
- Stosuj ac przekszta lcenie Laplace’a, rozwi↪ aza´↪ c nast epuj↪ ace zagadnienia Cauchy’ego:↪
(a) y′′^ − y′^ − y = 1 , y(0) = 1 , y′(0) = 0, (b) y′′^ + 2y′^ + y = 5 sin(2t) , y(0) = y′(0) = 0, (c) y′′^ + 9y = 30 cosh t , y(0) = 3 , y′(0) = 0, (d) y′′^ − 2 y′^ + y = t^2 et^ , y(0) = y′(0) = 0, (e) y′′^ − y = 4 sin t + 5 cos(2t) , y(0) = − 2 , y′(0) = 3, (f) y′′′^ + y′^ = e^2 y^ , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0, (g) y′′′^ + 3y′′^ + 3y′^ + y = 6e−t^ , y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0, (h) y(4)^ + 4y = t^2 , y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0.
- Rozwi aza´↪ c nast epuj↪ ace r´↪ ownania r´o˙zniczkowo-ca lkowe:
(a) f ′(x) − f (x) +
∫ (^) x
0
(x − t)f ′(t)dt −
∫ (^) t
0
f (t)dt = x , f (0) = −1,
(b) f ′′(x) − 2 f ′(x) + f (x) + 2
∫ (^) x
0
cos(x − t)f ′′(t)dt + 2
∫ (^) t
0
sin(x − t)f ′(t)dt = cos x , f (0) = f ′(0) = 0,
(c) f ′′(x) − f (x) −
∫ (^) x
0
f (t) sinh(x − t)dt +
∫ (^) t
0
f ′(t) cosh(x − t)dt = cosh x , f (0) = − 1 , f ′(0) = 1.
- Rozwi aza´↪ c nast epuj↪ ace uk lady r´↪ owna´n r´o˙zniczkowych:
(a)
y′^ − z′^ − 2 y + 2z = 1 − 2 t y′′^ + 2z′^ + y = 0 , y(0) =^ y
′(0) = z(0) = z′(0) = 0,
(b)
z′^ − 2 y − z = 0 y′^ + z = 0 , y(0) =^ z(0) = 0,
(c)
x′^ = y − z y′^ = x + y z′^ = x + z
, x(0) = 1 , y(0) = 2 , z(0) = 3.
- Rozwi aza´↪ c nast epuj↪ ace uk lady r´↪ owna´n calkowych:
(a)
f 1 (x) = 1 − 2
∫^ x 0
f 1 (t)e2(x−t)dt +
∫^ x 0
f 2 (t)dt
f 2 (x) = 4x −
∫^ x 0
f 1 (t)dt +
∫^ x 0
(x − t)f 2 (t)dt
(b)
f 1 (x) = ex^ +
∫^ x 0
f 1 (t)dt −
∫^ x 0
f 2 (t)ex−tdt
f 2 (x) = −x −
∫^ x 0
(x − t)f 1 (t)dt +
∫^ x 0
f 2 (t)dt
(c)
f 1 (x) = ex^ −
∫^ x 0
f 1 (t)dt + 4
∫^ x 0
f 2 (t)ex−tdt
f 2 (x) = 1 −
∫^ x 0
f 1 (t)et−xdt +
∫^ x 0
f 2 (t)dt
(d)
∫^ t 0
τ f ′(τ )dτ = 12 t^2 + 1 − g(t)
f (t) =
∫^ t 0
g(τ )dτ
