Pobierz Generalne zagadnienia - Notatki - Logika matematyczna i więcej Notatki w PDF z Logika tylko na Docsity!
1. Zbiór rozmyty, zbiór normalny, wysokość zbioru
Zbiorem rozmytym A w pewnej (niepustej) przestrzeni X, co zapisujemy jako A F 0C D X, nazywamy zbiór uporządkowanych par
gdzie:
jest to funkcja przynależności zbioru rozmytego A. Funkcja ta każdemu elementowi x F 0C E X przypisuje jego stopień przynależności do zbioru rozmytego A, przy czym można wyróżnić 3 przypadki:
- μA (x) = 1 oznacza pełną przynależność do zbioru rozmytego A, tzn. x F 0C EA,
- μA (x) = 0 oznacza brak przynależności elementu x do zbioru rozmytego A, tzn. x ∉ A,
- 0 < μA (x) < 1 oznacza częściową przynależność elementu x do zbioru rozmytego A.
Symboliczny zapis zbiorów rozmytych.
Ponieważ niewygodnie jest posługiwać się uporządkowanymi dwójkami zapisywanymi np. w nawiasach, stosuje się zapis symboliczny. I tak, jeżeli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów, X = {x (^) 1, ..., x (^) n}, do zbioru rozmytego A określonego na przestrzeni X
stosujemy zapis:
Warto tu zauważyć, że elementami zbioru X mogą być nie tylko liczby, ale również inne przedmioty, osoby lub pojęcia. Zapis ten ma charakter symboliczny. Kreska ułamkowa nie oznacza dzielenia a przyporządkowanie poszczególnym elementom zbioru stopni przynależności. Podobnie znak „+” nie oznacza dodawania, a sumę mnogościową elementów.
Jeżeli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów, to zbiór A F 0C D X symbolicznie zapiszemy jako:
Zbiór rozmyty normalny
Normalnym nazywamy zbiór rozmyty wtedy i tylko wtedy, gdy h(A) = 1. Jeśli zbiór rozmyty A nie jest normalny, to możemy go znormalizować poprzez przekształcenie:
gdzie h(A) jest wysokością tego zbioru.
Wysokość zbioru rozmytego
Wysokość zbioru rozmytego A oznaczamy przez h(A) i określamy jako:
W przypadku zbiorów przeliczalnych jest to maximum funkcji przynależności.
2. Tworzenie populacji początkowej (algorytmy genetyczne) - Przykład
Inicjacja jest to utworzenie początkowej populacji chromosomów, polega na losowym wyborze żądanej liczby chromosomów (osobników) reprezentowanych przez ciągi binarne o określonej długości.
Przykład.
Zgodnie z algorytmem zaczynamy od wylosowania populacji początkowej. Zakładamy, że liczebność naszej populacji będzie wynosić 8 osobników. W wyniku losowania otrzymujemy:
ch 1 = [00110] ch 2 = [00101]
ch 3 = [01101] ch 4 = [10101]
ch 5 = [11010] ch 6 = [10010]
ch 7 = [01000] ch 8 = [00101]
Teraz rozpoczyna się główna pętla algorytmu genetycznego. Najpierw obliczamy przystosowanie poszczególnych osobników. Trzeba zdekodować informacje zawarte w chromosomach, otrzymujemy następujące fenotypy:
ch (^) 1* = 6 ch2* = 5
ch (^) 3* = 13 ch4* = 21
ch (^) 5* = 26 ch6* = 18
ch (^) 7* = 8 ch8* = 5
Następnie obliczamy wartość funkcji przystosowania, która jest taka sama jak funkcja optymalizowana. Za x podstawiamy wyliczone właśnie fenotypy:
F(ch (^) 1) = 2 F 0D 7 ch 1 + 1 = 13
F(ch (^) 2) = 2 F 0D 7 ch 2 + 1 = 11
F(ch (^) 3) = 2 F 0D 7 ch 3 + 1 = 27
gdzie T = {x F 0C E X: F 06 DA (x) F 0B 9^ F 06 DB(x)}.
Nie jest to jedyna możliwość, można spotkać różne definicje stopnia równości lub też stopnia inkluzji zbiorów rozmytych.
6. Wartość bezwzględna liczby rozmytej
Wartość bezwzględną liczby rozmytej A F 0C D R oznaczamy |A| F 0C D R i określamy jako:
Liczba rozmyta |A| jest liczbą rozmytą dodatnią.
7. Mutacja w algorytmach genetycznych
Mutacja polega na zmianie wartości genu na przeciwną w przypadku binarnego kodu w chromosomach. Zmiany tej dokonuje się dla każdego genu z prawdopodobieństwem mutacji, które jest bardzo małe, dlatego też zachodzi bardzo rzadko.
Możemy np. losować liczbę z przedziału [0, 1] i jeśli jest mniejsza od wartości prawdopodobieństwa mutacji, mutacja zachodzi i zmieniamy wartość genu. Jeśli wylosowana liczba jest większa, mutacja nie zachodzi. Podobnie jak dla krzyżowania.
Wpływ mutacji.
Rozważmy teraz wpływ mutacji. Mutacja zachodzi albo w puli populacji potomków, albo w populacji rodzicielskiej. Możemy zatem rozważać wpływ tej mutacji tylko na pulę rodzicielską, gdyż populacja potomków będzie pulą rodzicielską w następnej generacji, a właśnie o wpływ na pulę rodzicielską nam chodzi.
Operator mutacji zmienia z prawdopodobieństwem p (^) m zmienia wartość jakiegoś bitu na przeciwną. Jeżeli schemat ma przetrwać mutację, to ustalone pozycje w schemacie, czyli zera i jedynki powinny pozostać niezmienione. Mutacja może zachodzić dla każdego bitu. Prawdopodobieństwo mutacji wynosi p (^) m , czyli prawdopodobieństwo, że mutacja nie zajdzie
to 1 – p (^) m. Prawdopodobieństwo tego, że mutacja zajdzie na kilku bitach jest iloczynem poszczególnych prawdopodobieństw, a tego, że nie zajdzie też jest odpowiednim iloczynem.
pm · pm· p (^) m· p (^) m p (^) m·…= pmL^ – jest prawdopodobieństwem zajścia mutacji na wszystkich bitach chromosomu.
(1 – p (^) m) ·(1 – pm)…= (1 – p (^) m ) L^ – jest prawdopodobieństwem nie zajścia mutacji na wszystkich bitach chromosomu.
Ostatecznie prawdopodobieństwo tego, że mutacja nie zajdzie dla żadnej ustalonej pozycji w schemacie wynosi:
Wniosek 4 – wpływ mutacji.
Dla danego chromosomu ze zbioru M(t) F 0C 7 S, czyli z populacji rodzicielskiej pasującego do schematu S, prawdopodobieństwo, że chromosom ten będzie należał do schematu S po operacji mutacji, jest dane przez
Jest to prawdopodobieństwo przetrwania mutacji przez schemat S.
Wniosek 5 – wpływ mutacji.
Jeżeli prawdopodobieństwo mutacji p (^) m jest małe, (p (^) m << 1), to można przyjąć, że prawdopodobieństwo przetrwania mutacji przez schemat S, jest w przybliżeniu równe:
Mutacja.
Operacja mutacji jest dokonywana jest na pojedynczym osobniku. Jako pierwszy mutacji poddawany jest chromosom odchyleń standardowych zgodnie z formułą:
gdzie:
n – długość chromosomu
N(0, 1) – liczba losowa z rozkładu normalnego losowana dla całego chromosomu
N (^) i(0, 1) - liczba losowa z rozkładu normalnego losowana dla każdego genu osobno
F 0 7 4’,^
F 0 7 4 - parametry strategii ewolucyjnej
Najczęściej spotykaną postacią tych parametrów jest:
C najczęściej przyjmuje wartość 1.
W ten sposób obliczone nowe zakresy mutacji wpływają na zmianę wartości genów niezależnych x tak jak w poprzedniej strategii:
gdzie znowu N (^) i(0, 1) jest liczbą losową z rozkładu normalnego.
Mutacja binarna.
Jest to specyficzna funkcja przynależności, gdyż przyjmuje wartość 1 tylko w jednym punkcie przestrzeni, w pozostałych punktach przyjmuje wartość 0. Ta funkcja charakteryzuje jednoelementowy zbiór rozmyty, jedynym elementem tego zbioru jest punkt x-kreska. Funkcja ta jest stosowana głównie do operacji rozmywania w rozmytych systemach wnioskujących. W sumie jest bardzo podobna do delty Diracka stosowanej w przetwarzaniu sygnałów, która to delta Diracka też przyjmuje wszędzie 0, poza jednym punktem, gdzie ma wartość nieskończoną.
Funkcja Gausowska.
Gausowska funkcja przynależności jest opisana wzorem:
gdzie x-kreska jest środkiem, a sigma określa szerokość krzywej gausowskiej. Ta funkcja jest najczęściej spotykana w różnych zastosowaniach. Wykres funkcji:
Rysunek. Gaussowska funkcja przynależności.
Funkcja przynależności typu dzwonowego.
Wzór:
gdzie parametry a, b, c określają wygląd funkcji. a określa szerokość, b nachylenie, c środek. Wykres:
Rysunek. Funkcja typu dzwonowego.
Funkcja przynależności klasy s.
Definiujemy ją jako:
gdzie b=(a+c)/
Wykres tej funkcji przypomina literę s, stąd jej nazwa. Jej kształt zależy od parametrów a, b, c i w punkcie x = b funkcja przyjmuje wartość 0,5. Wykres:
Rysunek. Funkcja typu s.
Funkcja przynależności klasy F 07 0.
Tą funkcję przynależności definiuje się poprzez funkcję klasy s:
0 1 Funkcja ta przyjmuje warto (^) 5 Bci zerowe dla x F 0 B 3 c+b oraz x F 0A 3 c – b , natomiast w punktach x = c F 0B 1 b/2 jej wartość wynosi 0,5. Wykres:
Rysunek. Funkcja przynależności typu pi.
Funkcja przynależności klasy F 06 7.
Wzór:
Wykres funkcji gamma jest podobny do wykresu funkcji s.
Rysunek. Funkcja typu gamma.
Funkcja przynależności klasy t.
Wzór:
Wykres tej funkcji z kolei jest analogiczny do funkcji klasy pi.
Rysunek. Funkcja typu t.
Funkcja przynależności klasy L.
Wzór:
Wykres:
Zakładamy tutaj, że liczba rozmyta A jest albo dodatnia albo ujemna. Jeśli liczba rozmyta nie jest ani dodatnią ani ujemną, to zbiór rozmyty B nie jest wypukły, a więc B nie jest liczbą rozmytą.
Mamy liczbę rozmytą. Liczba rozmyta:
przeciwna – A :
()
odwrotna A -1:
()
Możemy sprawdzić, że , oraz. Zatem liczby rozmyte charakteryzują się brakiem liczby rozmytej przeciwnej i odwrotnej względem dodawania i mnożenia, co uniemożliwia np. zastosowanie metody eliminacji do rozwiązywania równań zawierających liczby rozmyte.
przeskalowana F 0B 40,5:
przeskalowana F 0B 42:
Liczbę rozmytą „mniej więcej 5” możemy zapisać jako:
A = (5, 3, 3) (^) LP
11. Mnożenie liczb rozmytych
Mnożenie dwu liczb rozmytych A 1 i A 2 oznaczamy
przy czym funkcja przynależności jest określona wzorem wynikającym z zasady rozszerzania przybierającym postać:
12. Liczby rozmyte – pozostałe działania
Liczby rozmyte
Liczbą rozmytą nazywamy zbiór rozmyty A określony na zbiorze liczb rzeczywistych
A F 0C D R, którego funkcja przynależności:
F 0 6 DA: R^
F 0 A E [0, 1]
spełnia warunki:
- sup (^) x (^) F 0 C EF 06 DA (x) = 1, tzn. zbiór rozmyty A jest normalny,
- F 06 DA [ F 06 Cx1 + (1 - F 06 C)x (^) 2] F 0B 3 min{ F 06 DA (x (^) 1), F 06 DA (x (^) 2)}, tzn. zbiór A jest wypukły,
- F 06 DA (x) jest funkcją przedziałami ciągłą.
Liczby rozmyte.
Na rysunku przedstawione są różne przykłady liczb rozmytych.
Rysunek. Przykłady liczb rozmytych.
Liczby dodatnie i ujemne
Liczba rozmyta A F 0C D R jest dodatnia , jeżeli F 06 DA (x) = 0 dla wszystkich x < 0.
Liczba rozmyta A F 0C D R jest ujemna , jeżeli F 06 DA (x) = 0 dla wszystkich x > 0.
Na rysunku przedstawiony jest przykład liczby rozmytej dodatniej, ujemnej oraz liczby, która nie jest ani dodatnia, ani ujemna.
Rysunek. Liczba dodatnia i ujemna.
Operacje arytmetyczne.
Definicje operacji arytmetycznych są konsekwencją zasady rozszerzania II, w której odwzorowanie przybiera postać:
()
Dodawanie dwu liczb rozmytych A 1 i A 2 oznaczamy
przy czym funkcja przynależności jest określona wzorem wynikającym z zasady rozszerzania przybierającym postać:
Liczby rozmyte A i – A są symetryczne względem osi y.
13. Przecięcie zbiorów rozmytych
Przecięciem zbiorów rozmytych A, B F 0C D X jest zbiór rozmyty A F 0C 7 B o funkcji przynależności:
F 0 6 DA F 0 C 7B (x) = min(^
F 0 6 DA (x),^
F 0 6 DB (x))
dla każdego x F 0C E X.
Przecięcie większej ilości zbiorów A (^) 1, A2, A (^) 3, …, A (^) n określone jest podobną funkcją przynależności:
F 0 6 DA1 F 0 C 7A2 F 0 C 7A3… F 0 C 7An (x) = min(^
F 0 6 DA1 (x),^
F 0 6 DA2 (x) ,^
F 0 6 DA3 (x), …,^
F 0 6 DAn (x))
dla każdego x F 0C E X.
Ilustracja operacji przecięcia.
Działanie operacji przecięcia zbiorów rozmytych możemy przedstawić na rysunku:
Rysunek. Operacja przecięcia zbiorów rozmytych.
14. Eksponenta liczby rozmytej.
Operacja eksponent. W wyniku operacji f(x) = e x, x > 0 , otrzymujemy potęgę liczby rozmytej
A F 0C D R. Liczbę tą oznaczamy e A^ F 0C D R, a jej funkcja przynależności jest równa:
Liczba rozmyta e A^ jest liczbą rozmytą dodatnią.
x
F 0 6 DA(x)
B (x)
x
F 0 6 DA (x)
F 0 6 DB (x)
