Pobierz Granica funkcji – obliczanie granic i więcej Egzaminy w PDF z Matematyka tylko na Docsity!
Granica funkcji – obliczanie granic
Ważniejsze granice oraz przykłady obliczania granic
Przed przejściem do przykładów obliczania granic podamy jeszcze kilka
ważnych granic funkcji:
0 dla 1
lim 1 dla 1
dla 0 1
x
x
a
a a
a
^ ^
0 dla 0 1
lim 1 dla 1 ,
dla 1
x
x
a
a a
a
^
0
dla 1 lim log dla 0 1
a x
a x a
^ ^
^ ^
dla 1 lim log dla 0 1
a x
a x a
^ ^
^ ^
0
sin lim 1 x
x
x
sin lim 0 x
x
x
0
tg lim 1 x
x
x
lim 1 e
x
x x
^
0
arcsin lim 1 x
x
x
0
arctg lim 1 x
x
x
0
lim ln
x
x
a a x
0
e 1 lim 1
x
x x
0
log ( 1) 1 lim ln
a
x
x
x a
0
ln( 1) lim 1 x
x
x
Uwaga. Granice (1) – (4) można łatwo odczytać z wykresów funkcji
wykładniczej i logarytmicznej. Ponadto korzystając ze wzorów: (5) i (7) oraz
twierdzenia o granicy funkcji złożonej można wyprowadzić ogólniejsze wzory
(dla a R ):
0
sin lim 1 x
ax
ax
0
tg lim 1 x
ax
ax
Przykład 1. Obliczyć granice:
a)
3 lim (5 2 1) x
x x
, b)
2 3 5 lim x 1 2
x x
x
, c) 2
lim
1
x
x
x
d) lim (^) 1 x
x x
, e) 0
sin 5 lim 1 x 9
x
x
, f) 0
tg lim x tg
x
x
g) 3
arctg( 3) lim x 6 2
x
x
, h) 1 2
ln( 2) lim x
x
x x
, i)
3 6
2
lim 2
x
x (^) x
j)
2
1 2
lim x 3 2
x x
x x
, k)
3
2
lim x 2
x
x
, l) 1
lim x 1
x
x
m)
2
4 1 9
3
lim 2
x x
x
, n) 2
lim arctg x 2 4
x
x
Rozwiązanie.
a) W tego tupu granicach, jeżeli otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, to
wystarczy najwyższą potęgę zmiennej x wyciągnąć przed nawias:
3 3 2 3
lim (5 2 1) [ ] lim 5 [ 5] x x
x x x x x
b) Postępujemy podobnie, jak przy obliczaniu granic odpowiednich ciągów, tj.
licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę zmiennej x występującą
w mianowniku, a więc tutaj przez x :
2
2
lim lim lim 1 2 1 2 1 2 2
x x x
x x x x x (^) x x x x
x x
x x x
c) W przypadku tego typu granic należy zachować pewną ostrożność. Okazuje
się, że zastosowanie powyższej (przykład b)) metody doprowadziłoby do
błędnego rozwiązania:
2 2
2 2 2
lim lim lim 2
1 1 1 1
x x x
x
x (^) x
x x
x x x
błędne rozwiązanie.
Taka metoda obliczeń byłaby poprawna przy x . W naszym przypadku,
tj. gdy x , należy zastosować inny sposób postępowania:
i)
3 6 3( 2)
2 2
lim lim 2 2
x x
x (^) x x x
2, to 0
x u
x u
0
lim 1
u
u u
(11)
0
lim 3ln 2
u
u u
j) Łatwo sprawdzić, że mamy tutaj do czynienia z symbolem nieoznaczonym
. Zatem liczba 1 jest pierwiastkiem zarówno licznika, jak i mianownika,
a co za tym idzie (twierdzenie Bezouta) w liczniku i mianowniku można
wydzielić czynnik x 1. W tym celu oba trójmiany kwadratowe zapisujemy
w postaci iloczynowej. Następnie wystarczy skrócić ułamek przez ten wspólny
czynnik, aby pozbyć się wyrażenia nieoznaczonego:
2
1 2 1 1
lim lim lim 4 x (^) 3 2 0 x (^) ( 1)( 2) x 2 1
x x x x x
(^) x x (^) x x x
k)
3 2 2
2 2 2
lim lim lim ( 2 4) 12 x (^) 2 0 x (^) 2 x
x x x x x x (^) x (^) x
l) Po podstawieniu liczby 1 w miejsce zmiennej x w wyrażeniu występującym
pod symbolem granicy otrzymamy
. Wynik zatem zależy od tego, czy przy
x 1
mianownik ( x 1) 0
, czy też ( x 1) 0
. Można to ocenić
w sposób mniej lub bardziej formalny. W pierwszym przypadku wystarczy
zauważyć, że ponieważ x 1
, to aby określić znak wyrażenia x 1 można
w miejsce x podstawić jakąś wartość „nieco” mniejszą od 1. Jeżeli od liczby
mniejszej od 1 odejmiemy liczbę 1, to otrzymamy wartość ujemną ( 0
).
Bardziej ścisła metoda polega na
naszkicowaniu wykresu mianownika
i sprawdzeniu, czy przy x 1
dąży on
do 0 od góry (od strony liczb dodatnich)
i wtedy mamy 0
, czy też od dołu tj. od
strony liczb ujemnych ( 0
). W naszym
przypadku wartości mianownika dążą do
zera od dołu (rysunku 4). Zatem
ostatecznie otrzymujemy:
x
y
O ^1
Rys. 4. Ilustracja do przykład 1l)
y x 1
1
lim x 1 0
x
x ^
m) W tym przypadku musimy najpierw ocenić, do czego dąży wykładnik potęgi
i w zależności od wyniku określić granicę całej funkcji posługując się wzorem
(1) ewentualnie (2), lub (co wygodniejsze) odczytać granicę z wykresu funkcji
x y .
Ponieważ
3 2
lim x 9 0
x
x ^
(rysunek 5a)), zatem
2
4 1
9 3
lim 2 2 0
x
x x
^
(rysunek 5b)).
Rys. 5. Ilustracja do przykładu 1j)
n) Postępujemy podobnie, jak w przykładzie poprzednim. Sporządzenie
odpowiednich rysunków pozostawiamy Czytelnikowi. Ponieważ:
2 2
lim x 2 0
x
x x
, zatem
2 ^
2
lim arctg arctg( ) x 2 2
x
x x
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Obliczyć granicę:
2 lim ( 3 2) x
x x
2 lim ( 3 2) x
x x
2
3
lim x 3 5
x x
x x
3
2
lim x 1
x
x x
x
y
O
x
y
O
a) (^) b)
2 y 9 x
-3 (^3)
0
2
x y
1
lim x 1
x
x
2 2
lim x 4
x
x
3 2
lim x ( 3)
x
(^) x
3
1 2
lim x ( 1)
x
x
5 4
lim x ( 5)
x
x
2
0 4
sin lim x
x
x
2
1 ( 1)
1
lim 3
x
x
2 4 4
lim 1 e
x x x
1
0
lim 2
x
x
2 4
1
lim 3 3
x x
x
x
^
3 2
lim arctg x 9
x
x
3
2 2
lim arcctg x ( 2)
x
(^) x
tg
2
lim 2
x
x
1
e 3 lim ln ln
x
x x
Opracowanie:
dr Igor Kierkosz
dr hab. Volodymyr Sushch
