Pobierz Granica i ciągłość funkcji - Ćwiczenia - Analiza matematyczna 1 i więcej Notatki w PDF z Analiza matematyczna tylko na Docsity!
ANALIZA MATEMATYCZNA I, Matematyka Finansowa rok I
Lista 7 : Granica i ciągłość funkcji
- Wykazać na podstawie definicji:
( a ) lim x→ 1
( x^2 + 1) = 2 ( b ) lim x→ 0
√ x +1 − 1 x =^
1 2 ( c ) lim x→ 2
x + x^2 +1 =^
3 5
( d ) lim x→ + ∞
sin x x = 0^ ( e )^ x→−∞ lim ( x
2 − 2 x ) = + ∞
- Obliczyć granice:
(1) lim x→ 0
1 − cos x x^2
(2) lim x→ + ∞
x sin 1 x
(3) lim x→ 1
√ √x−^1 x− 1
(4) lim x→ + ∞
√ x^2 +1 −
√ x √ (^4) x (^3) + x−x (5) lim x→e
ln x− 1 x−e (6) lim x→ 0
1 −
√ cos 2 x· cos x x^2
(7) lim x→ 0
arc cos
( ex− 1 2 x
) (8) lim x→ 0
(cos x )
1 sin^2 x (^) (9) lim x→ π 2
2 cos x x− π 2
(10) lim x→− 2
x^3 + arc sin ( x +2) (11)^ x→ lim+ ∞
x +sin x x +cos x (12) lim x→ 0 x^
[ 1 x
]
(13) lim x→ 0
tg x 1 −
√ 1+tg x (14)^ x→ lim+ ∞
√ x +
x +
√ x √ x +
(15) lim x→ 0
1 −
√ 1 −x sin 4 x
(16) lim x→ + ∞
(cos
x + 1 − cos
x ) (17) lim x→ 0
ln (cos x ) x^2 (18)^ x lim → 0 + (1 + tg
2
x )
1 2 x
(19) lim x→ + ∞
( 3 x− 4 3 x +
) x + 3 (20) lim x→ 0
sin 3 x sin 2 x (21)^ x lim → π 2
cos 5 x cos 3 x
- Zbadać istnienie granic:
(1) lim x→ + ∞
cos x (2) lim x→ 0
( x
2 − 3) sin
π 2 x (3)^ x lim →− 1 cos^
2 π x +
(4) lim x→ 1
sgn (1 −x^2 ) sgn ( x^3 − 1) (5) lim x→ 0
3
1 x (^) − 1 3
1 x +
(6) lim x→ 2
x^2 − 4 |x− 2 |
(7) lim x→ 0
f ( x ) , gdzie f ( x ) =
{ x sin
1 x dla^ x <^^0 sin 1 x
dla x > 0
- Wykazać, że lim x→ 0
ax− 1 x = ln^ a^ dla^ a >^ 0 i^ a^6 = 1.
- Wykazać na podstawie definicji ciągłość funkcji f ( x ) =
1 x w punkcie^ x^ = 2.
- Zbadać ciągłość następujących funkcji :
(a) f ( x ) = x − [ x ]
(b) f ( x ) = sgn( x^4 − x^2 )
(c) f ( x ) =
{ 0 , x ∈ Q
1 , x ∈ R − Q
(d) f ( x ) =
{ cos
πx 2 ,^ |x| ¬^^1 |x − 1 | , |x| > 1_._
(e) f ( x ) =
{ x
2 , x ∈ Q
−x^2 , x ∈ R − Q
(f) f ( x ) = lim n→∞
nx−n−x nx + n−x^ ,^ x^ ∈^ R
docsity.com
- Dobrać parametry a, b, c tak, aby funkcja f była ciągła w dziedzinie.
(a) f ( x ) =
{ √ 1+ x− 1 x ,^ x^6 = 0 a , x = 0
(b) f ( x ) =
sin ax x ,^ x <^^0 x^3 − 1 x^2 + x− 2 ,^^0 ¬^ x <^^1 c , x = 1 x^2 +( b− 1) x−b x− 1
, x > 1_._
- Dla danych funkcji wyznaczyć punkty nieciągłości i określić ich rodzaj
(a) f ( x ) =
arc tg( x +
π 2 )^ ,^ x <^ −
π 2 cos x , −π 2
¬ x ¬ π 2 − tg x ,
π 2 < x < π 1 , x π
(b) f ( x ) =
( 1 2
) x + , x ¬ − 1
x
2
π 2 ) x^ −^
π 2 ,^ −^1 < x <^
π 2 ctg x ,
π 2 ¬^ x < π 0 , π ¬ x < 2 π
| sin x| , x 2 π.
- Uzasadnić, że równanie ex^ =
1 x ma jednoznaczne rozwiązanie w przedziale (
1 2 ,^ 1).
- Zbadać jednostajną ciągłość następujących funkcji:
(a) f ( x ) = x^2 , x ∈ R
(b) f ( x ) = sin (^1) x , x ∈ (0 , 1)
(c) f ( x ) = cos x, x ∈ R
(d) f ( x ) =
x, x ∈ R+
(e) f ( x ) =
x 1+ x^2 ,^ x^ ∈^ R
- Udowodnić, że funkcja Riemanna zadana wzorem
R ( x ) =
{ 0 dla x /∈ Q ∨ x = 0 1 m dla^ x^ ∈^ Q^ \ {^0 } ∧^ x^ =^
n m ∧^ N W D ( n, m ) = 1
jest ciągła w zbiorze liczb niewymiernych i w zerze.
docsity.com
