Homologiczne problemy dla kategorii modułów ze sko ..., Prezentacje z Algebra

Pobierz Homologiczne problemy dla kategorii modułów ze sko ... i więcej Prezentacje w PDF z Algebra tylko na Docsity!

U niwersytet M ikołaja K opernika w T oruniu

Adam Skowyrski

Homologiczne problemy dla kategorii modułów

ze sko ´nczonymi cyklami

Rozprawa doktorska napisana w Katedrze Algebry i Geometrii Wydziału Matematyki i Informatyki pod kierunkiem prof. dr. hab. Andrzeja Skowro nskiego´

Toru n´ 2017

• 5.5 Kierunek dalszych bada ´n
• A · Listy grafów oraz tabele ·
  • A.1 Lista warto´sciowanych grafów typów Dynkina
  • A.2 Lista warto´sciowanych grafów typu Euklidesa i ich kanoniczne orientacje
  • A.3 Kołczany kanoniczne typu Euklidesowego
  • A.4 Kołczany kanoniczne typu tubularnego
  • A.5 Tabela no´sników modułów regularnych
  • A.6 Tabela no´sników preinjektywnych

· Wst ˛ep ·

Fundamentalne poj ˛ecia współczesnej teorii reprezentacji algebr wywodz ˛a si ˛e wła´sciwie z powstałej około połowy XIX wieku teorii grup i algebr Liego, której gł ˛ebokie wyniki istotnie wi ˛azały si ˛e z opisem reprezentacji grup, a w tym konkretnym przypadku, reprezentacji zwartych grup Liego. Dalszy rozwój tych idei zaowocował mi ˛edzy innymi wyabstrahowaniem koncepcji reprezentacji dla grup sko ´nczonych, co bezpo´srednio przyczyniło si ˛e do zdefiniowania poj ˛ecia reprezentacji sko ´nczenie wymiarowej algebry nad ciałem, przypisywanego F. G. Frobeniusowi. Na pocz ˛atku XX wieku znacz ˛aco rozwini ˛eto wiedz ˛e o reprezentacjach algebr, czego uwie ´nczeniem było wprowadzenie przez E. Noether około 1939 roku poj ˛ecia modułu, które zrewolucjonizowało ówczesne podej´scie do bada ´n.

Główn ˛a uwag ˛e skupiono odt ˛ad na badaniu ró ˙znych własno´sci kategorii mod A sko ´nczenie genero- wanych prawych A-modułów nad algebrami artinowskimi A nad przemiennymi pier´scieniami artinow- skimi K, gdzie przez algebr ˛e artinowsk ˛a rozumiemy K-algebr ˛e, która jest sko ´nczenie generowana jako K-moduł. Szczególne osi ˛agni ˛ecia w tym kierunku zawdzi ˛eczamy rozwini ˛etej w latach 70’ ubiegłego wieku przez M. Auslandera oraz I. Reiten teorii ci ˛agów prawie rozszczepialnych, której przełomowe wyniki dały istotny wgl ˛ad w homologiczn ˛a struktur ˛e kategorii mod A oraz jej pełnej podkategorii ind A składaj ˛acej si ˛e z modułów nierozkładalnych. W szczególno´sci, autorzy ci zdefiniowali bardzo wa ˙zny kombinatoryczny i homologiczny niezmiennik algebry artinowskiej A nazywany kołczanem Auslander- Reiten algebry A, oznaczanym przez ΓA. Struktura tego kołczanu odzwierciedla istotne własno´sci kate- gorii ilorazowej mod A/ rad∞ A , gdzie rad∞ A jest niesko ´nczonym radykałem Jacobsona kategorii mod A, to znaczy, przekrojem wszystkich pot ˛eg radnA, n > 1, radykału Jacobsona radA kategorii mod A. Ponadto lo- kalne własno´sci kołczanu ΓA s ˛a ´sci´sle zwi ˛azane z poj ˛eciem ci ˛agu prawie rozszczepialnego. Wspominamy jeden z wyników teorii Auslandera-Reiten, na mocy którego, dla ka ˙zdego modułu nieprojektywnego X w ind A istnieje nierozszczepialny ci ˛ag dokładny w mod A postaci

0 → τAX → E → X → 0 ,

zło ˙zony z pewnych szczególnych odwzorowa ´n, które spełniaj ˛a ´sci´sle okre´slone uniwersalne własno´sci faktoryzacji, za´s τAX = D Tr X jest tak zwan ˛a translacj ˛a Auslandera-Reiten modułu X, przy czym Tr jest operacj ˛a brania transpose oraz D = HomK(−, E) funktorem dualno´sci standardowej na mod A, gdzie E jest pewnym minimalnym injektywnym kogeneratorem w mod K. Przypominamy równie ˙z za A. Skowro ´nskim [39], ˙ze spójna składowa C kołczanu ΓA nazywana jest uogólnion ˛a standardow ˛a składow ˛a, o ile rad∞ A (X, Y) = 0 dla dowolnych modułów X i Y w C.

Bardzo wa ˙znym zadaniem teorii reprezentacji algebr jest badanie własno´sci ró ˙znych dróg pomi ˛edzy modułami nierozkładalnymi w kategoriach mod A algebr artinowskich A. Przypomnijmy za C. M. Ringelem [34], ˙ze drog ˛a w ind A nazywamy ka ˙zdy ci ˛ag homomorfizmów w mod A postaci

X 0

f (^1) // X 1

f (^2) //... fn (^) // Xn ,

gdzie X 0 , X 1 ,... , Xn s ˛a modułami w ind A, za´s wszystkie homomorfizmy f 1 ,... , fn s ˛a niezerowe i nale ˙z ˛a do radA, lub równowa ˙znie, s ˛a niezerowymi nieizomorfizmami w ind A. Powiemy w tym przypadku równie ˙z, ˙ze moduł Xn jest nast˛epnikiem modułu X 0 w ind A, oraz analogicznie, ˙ze X 0 jest poprzednikiem modułu Xn w ind A. Niezwykle istotn ˛a rol ˛e w opisie kategorii ind A pełni ˛a szczególnego typu drogi, które nazywane s ˛a cyklami. Odnotujmy, ˙ze cyklem w ind A nazywana jest ka ˙zda droga w ind A powy ˙zszej postaci, dla której moduły Xn i X 0 s ˛a izomorficzne w ind A. Bezpo´srednio zwi ˛azane z poj ˛eciem cyklu

i

wtedy, gdy klasa LA zawiera wszystkie moduły projektywne w ind A, lub równowa ˙znie, klasa RA za- wiera wszystkie moduły injektywne w ind A. Ze wzgl ˛edu na do´s´c dobr ˛a znajomo´s´c kategorii modułów algebr quazi-odwróconych, szczególn ˛a uwag ˛e zwrócono na badanie pozostałych algebr o małych wy- miarach homologicznych, to znaczy, algebr A o małych wymiarach homologicznych z gl. dim A = 3, które nazywane s ˛a równie ˙z algebrami o ´sci´sle małych wymiarach homologicznych. Pełen opis struktury kategorii modułów algebr o ´sci´sle małych wymiarach homologicznych zawdzi ˛eczamy I. Reiten i A. Skowro ´nskiemu [31], którzy odkryli, ˙ze kołczan Auslandera-Reiten tego typu algebr ma pewne zbli- zone strukturalne własno´˙ sci do kołczanów Auslandera-Reiten algebr odwróconych, w szczególno´sci dowodz ˛ac równie ˙z, ˙ze posiada zawsze wyró ˙znion ˛a składow ˛a zawieraj ˛ac ˛a tak zwan ˛a podwójn ˛a sekcj˛e, to znaczy, podkołczan spełniaj ˛acy kilka warunków uogólniaj ˛acych definicj ˛e sekcji w składowej. Wspomi- nani autorzy wykazali te ˙z, ˙ze w przypadku klasy algebr o ´sci´sle małych wymiarach homologicznych zachodzi analogiczne, do obowi ˛azuj ˛acego dla algebr odwróconych kryterium Liu-Skowro ´nskiego, kryte- rium charakteryzuj ˛ace t ˛e klas ˛e algebr poprzez istnienie uogólnionej standardowej składowej w kołczanie Auslandera-Reiten zawieraj ˛acej dokładn ˛a podwójn ˛a sekcj ˛e. Wprowadzono w tym celu oraz zbadano ró ˙zne własno´sci klasy tak zwanych algebr podwójnie odwróconych, które równowa ˙znie mo ˙zna zdefiniowa´c jako algebry A takie, ˙ze kołczan ΓA ma dokładn ˛a i uogólnion ˛a standardow ˛a składow ˛a zawieraj ˛ac ˛a pewn ˛a podwójn ˛a sekcj ˛e. Otrzymane wyniki dopełniły tym samym klasyfikacj ˛e wszystkich algebr o małych wy- miarach homologicznych, czemu została po´swi ˛econa przekrojowa praca [31], której wyniki pokazuj ˛a, ze klasa ta dzieli si ˛˙ e na dwie rozł ˛aczne podklasy składaj ˛ace si ˛e z algebr quazi-odwróconych oraz algebr ´sci´sle podwójnie odwróconych (to znaczy algebr podwójnie odwróconych, które nie s ˛a odwrócone), lub inaczej, ˙ze dowolna algebra jest algebr ˛a o małych wymiarach homologicznych wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebr ˛a quazi-odwrócon ˛a lub algebr ˛a podwójnie odwrócon ˛a.

Z drugiej strony, zaobserwowane strukturalne własno´sci kołczanów Auslandera-Reiten algebr po- dwójnie odwróconych rzuciły równie ˙z nowe ´swiatło na mo ˙zliwe kierunki dalszych uogólnie ´n definicji algebry odwróconej. Wskutek tego odkryto klas ˛e tak zwanych uogólnionych algebr podwójnie odwróconych, co było tak ˙ze bezpo´srednio zwi ˛azane z konieczno´sci ˛a zbadania poj ˛ecia wielosekcji, które jest istotnym ogólnieniem poj ˛ecia podwójnej sekcji w składowej. Odnotujmy tutaj, ˙ze klasa uogólnionych algebr podwójnie odwróconych bardzo istotnie rozszerza klasy algebr odwróconych oraz podwójnie odwró- conych, które s ˛a do´s´c w ˛askimi jej podklasami, oraz w szczególno´sci, zawiera wszystkie algebry o ´sci´sle małych wymiarach homologicznych. W konsekwencji, klasa algebr quazi-odwróconych lub uogólnio- nych podwójnie odwróconych zawiera klas ˛e algebr o małych wymiarach homologicznych, stanowi ˛ac przy tym jej interesuj ˛ace i do´s´c daleko id ˛ace uogólnienie. Pierwszy z trzech głównych problemów ni- niejszej pracy si ˛ega 2003 roku, kiedy po raz pierwszy został zakomunikowany przez A. Skowro ´nskiego w pracy [46], w której ustanowiono pewne ciekawe wspólne homologiczne kryterium dla wspomi- nanych klas algebr quazi-odwróconych oraz uogólnionych podwójnie odwróconych. Przypominamy mianowicie, ˙ze na mocy głównego twierdzenia [46] nast ˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa ˙zne.

(i) LA ∪ RA jest kosko ´nczona w ind A, to jest, zawiera prawie wszystkie klasy izomorfizmu w ind A.

(ii) Istnieje co najwy˙zej sko ´nczenie wiele klas izomorfizmu modułów w ind A le˙z ˛acych na drogach w ind A o injektywnym pocz ˛atku i projektywnym ko ´ncu.

(iii) A jest algebr ˛a quazi-odwrócon ˛a lub uogólnion ˛a algebr ˛a podwójnie odwrócon ˛a.

Powy ˙zsze równowa ˙zne warunki opisuj ˛a szerok ˛a klas ˛e algebr zawieraj ˛ac ˛a wszystkie algebry o małych wymiarach homologicznych, czyli takie algebry A, ˙ze pdA X 6 1 lub idA X 6 1, dla ka ˙zdego modułu X w ind A, które jak wiadomo s ˛a równowa ˙znie scharakteryzowane poprzez własno´s´c LA ∪ RA = ind A. W zwi ˛azku z tym postawiono równie ˙z naturalne pytanie, czy kosko ´nczono´s´c podkategorii LA ∪ LA w ind A mo ˙ze by´c równowa ˙znie zast ˛apiona słabszym warunkiem, w którym ˙z ˛adamy jedynie, aby prawie wszystkie klasy izomorfizmu modułów X w ind A spełniały pdA X 6 1 lub idA X 6 1? Odpowied´z na to pytanie nie jest oczywista, co stało si ˛e motywacj ˛a do sformułowania przez A. Skowro ´nskiego nast ˛epuj ˛acego problemu, który jest piewszym głównym problemem rozwa ˙zanym w rozprawie.

iii

P roblem 1. Niech A b˛edzie algebr ˛a artinowsk ˛a, dla której prawie wszystkie klasy izomorfizmu modułów X w ind A spełniaj ˛a pdA X 6 1 lub idA X 6 1. Czy wówczas klasa LA ∪ RA jest kosko ´nczona w ind A?

Poj ˛ecia krótkiej drogi, czy krótkiego cyklu, pełni ˛a równie ˙z bardzo istotn ˛a rol ˛e w teorii reprezentacji algebr, gdzie znalazły wiele zastosowa ´n w ró ˙znego rodzaju charakteryzacjach algebr. Przypominamy, ze˙ krótk ˛a nazywana jest ka ˙zda droga długo´sci n = 2, to znaczy, droga postaci X 0 → X 1 → X 2. Drugi z problemów niniejszej pracy został postawiony przez A. Skowro ´nskiego około 2013 roku i wywodzi si ˛e tak ˙ze ze wspomnianej charakteryzacji algebr quazi-odwróconych oraz uogólnionych algebr podwójnie odwróconych, któr ˛a tym razem uzupełniamy o równowa ˙zny warunek sformułowany w j ˛ezyku krótkich dróg. Pytamy mianowicie, czy warunek (ii) jest równowa ˙zny swojej nieco słabszej wersji, w której zakładamy tylko istnienie co najwy ˙zej sko ´nczenie wielu klas izomorfizmu modułów le ˙z ˛acych na krótkich drogach w ind A o injektywnym pocz ˛atku i projektywnym ko ´ncu, lub równowa ˙znie, modułów X w ind A spełniaj ˛acych HomA(D(A), X) , 0 oraz HomA(X, A) , 0?

P roblem 2. Załó˙zmy, ˙ze A jest algebr ˛a artinowsk ˛a, dla której prawie wszystkie klasy izomorfizmu modułów X w ind A spełniaj ˛a HomA(D(A), X) = 0 lub HomA(X, A) = 0. Czy wtedy istnieje tylko sko ´nczenie wiele klas izomorfizmu modułów nierozkładalnych le˙z ˛acych na drogach w ind A z modułów injektywnych do projektywnych?

Równie istotne okazało si ˛e badanie krótkich cykli w kategoriach modułów, które w subtelny sposób wi ˛a ˙z ˛a si ˛e z tak zwanymi krótkimi ła ´ncuchami. Odnotujmy, ˙ze krótkim ła ´ncuchem w mod A jest ka ˙zdy ci ˛ag niezerowych homomorfizmów w mod A postaci X → M → τAX, gdzie X jest modułem w ind A. Wówczas powiemy, ˙ze moduł M w mod A jest ´srodkiem tego krótkiego ła ´ncucha. Wspominamy tylko, ze na mocy wyników publikacji [15] oraz [33] moduł nierozkładalny˙ X w mod A nie le ˙zy na ´srodku zadnego krótkiego cyklu w ind˙ A wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest ´srodkiem ˙zadnego krótkiego ła ´ncucha w mod A. Ponadto dla ka ˙zdej algebry odwróconej A istnieje pewien wierny moduł w mod A nie le ˙z ˛acy na ´srodku ˙zadnego krótkiego ła ´ncucha, co jest równie ˙z interesuj ˛acym warunkiem koniecznym bycia algebr ˛a odwrócon ˛a. Odpowied´z na pytanie, czy jest to tak ˙ze warunek wystarczaj ˛acy, została sformułowana przez autorów [33] w postaci hipotezy otwartej, której pozytywne rozstrzygni ˛ecie nast ˛apiło dopiero po około 20 latach, co zawdzi ˛eczamy pracy A. Jaworskiej, P. Malickiego i A. Skowro ´nskiego [19].

Ostatni z rozwa ˙zanych problemów, zakomunikowany równie ˙z w 2013 roku przez A. Skowro ´nskiego, ma nieco inne ´zródła ni ˙z poprzednie dwa, cho´c tak ˙ze dotyczy pewnej homologicznej charakteryzacji al- gebr uogólnionych podwójnie odwróconych. Impulsem do jego sformułowania stała si ˛e wspominana wy ˙zej charakteryzacja algebr odwróconych z [19], któr ˛a próbowano rozszerzy´c do odpowiedniego kry- terium dla klasy uogólnionych algebr podwójnie odwróconych. Przypominamy tylko, ˙ze je ˙zeli A jest dowoln ˛a uogólnion ˛a algebr ˛a podwójnie odwrócon ˛a, to istnieje pewien moduł dokładny w mod A, który jest ´srodkiem co najwy ˙zej sko ´nczenie wielu krótkich ła ´ncuchów. Skłania to przypuszcza´c, ˙ze prawdziwa jest równie ˙z implikacja przeciwna, co stanowi tre´s´c trzeciego problemu sformułowanego poni ˙zej.

P roblem 3. Niech A b˛edzie algebr ˛a artinowsk ˛a. Załó˙zmy, ˙ze istnieje dokładny moduł w mod A, który jest ´srodkiem co najwy˙zej sko ´nczenie wielu krótkich ła ´ncuchów. Czy wówczas A jest uogólnion ˛a algebr ˛a podwójnie odwrócon ˛a?

Głównym celem rozprawy jest rozwi ˛azanie sformułowanych powy ˙zej Problemów 1-3 dla klasy algebr cyklowo sko ´nczonych, lub inaczej, dla kategorii modułów ze sko ´nczonymi cyklami. Wyniki bada ´n prezentowane w pracy zostały opublikowane w trzech artykułach autora [51, 52, 53], w oparciu o które powstała niniejsza rozprawa. Wspominamy tylko, ˙ze w publikacjach dowody zostały przeprowadzone w ogólno´sci, to znaczy dla dowolnych algebr artinowskich, jednak dla utrzymania gładko´sci rozwa ˙za ´n oraz unikni ˛ecia niezr ˛ecznych cytowa ´n zakładamy w całej rozprawie, ˙ze wszystkie rozwa ˙zane algebry s ˛a sko ´nczenie wymiarowymi K-algebrami nad dowolnym ciałem K. Pozytywne rozstrzygni ˛ecie pierwszych dwóch problemów jest konsekwencj ˛a sformułowanego poni ˙zej Twierdzenia A, stanowi ˛acego pierwszy z dwóch głównych wyników pracy.

iv

szczególn ˛a rol ˛e w charakteryzacjach ró ˙znych klas algebr postaramy si ˛e zilustrowa´c na kilku przykładach w krótkiej sekcji 3.3. Ostatecznie w zamykaj ˛acej ten rozdział sekcji 3.4 zestawiamy pewne wyniki au- tora dotycz ˛ace niesko ´nczonych dróg w składowych preinjektywnych (postprojektywnych) w kołczanach Auslandera-Reiten algebr odwróconych typu Euklidesa, które b ˛ed ˛a odgrywały do´s´c istotn ˛a rol ˛e w dowo- dach obu głównych twierdze ´n. Rozdział 4 po´swi ˛econy jest wprowadzeniu kluczowych dla nas kategorii modułów ze sko ´nczonymi cyklami. Omawiamy tu na pocz ˛atek ró ˙zne własno´sci modułów cyklowo sko ´nczonych 4.1, po czym w sekcji 4.2 przedstawiamy najwa ˙zniejsze potrzebne twierdzenia opisuj ˛ace ogóln ˛a struktur ˛e kategorii modułów algebr cyklowo sko ´nczonych. W ostatnim podrozdziale 4.3 pre- zentujemy natomiast wybrane wyniki dotycz ˛ace pewnej szczególnej klasy algebr cyklowo sko ´nczonych składaj ˛acej si ˛e z algebr, których kołczan Auslandera-Reiten zawiera wył ˛acznie składowe półregularne, które z tego wzgl ˛edu nazywane s ˛a algebrami cyklowo sko ´nczonymi półregularnego typu. W szczególno- ´sci, wprowadzamy tam poj ˛ecie zgodnego ci ˛agu oswojonych algebr quazi-odwróconych kanonicznego typu oraz opisujemy pewn ˛a konstrukcj ˛e, która ka ˙zdemu takiemu ci ˛agowi przyporz ˛adkowuje pewn ˛a cyklowo sko ´nczon ˛a algebr ˛e typu półregularnego. Ponadto, pokazujemy w sformułowanej w 4.3 charak- teryzacji, ˙ze algebry stowarzyszone z takimi ci ˛agami wyczerpuj ˛a wszystkie algebry cyklowo sko ´nczone półregularnego typu z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu algebr (stanowi ˛acej główny wynik wspólnej pracy [5] autora z J. Białkowskim, A. Skowro ´nskim i P. Wi´sniewskim).

Zamykamy rozpraw ˛e rozdziałem 5, w którym prezentujemy pełne dowody obu głównych twierdze ´n pracy oraz dwóch sformułowanych wcze´sniej wniosków. Wspominamy tam po krótce o jednym z mo ˙z- liwych kierunków dalszych bada ´n nad rozwi ˛azaniem rozwa ˙zanych w rozprawie otwartych problemów homologicznych przy nieco innym zało ˙zeniu.

Znaczna cz ˛e´s´c wyników cytowanych rozdziałach 1-2 jest pozostawiona bez dowodów, po które cza- sami odsyłamy do znanych pozycji bibliograficznych dotycz ˛acych podstaw teorii reprezentacji algebr takich jak [2, 34, 36, 37, 49, 50]. W pozostałych przypadkach prezentowane wyniki pochodz ˛a najcz ˛e´sciej ze stosunkowo zaawansowanych artykułów opublikowanych od około pocz ˛atku lat 90’, oraz ze wzgl ˛edu na rozmiary niniejszej rozprawy, b ˛edziemy wówczas równie ˙z odsyła´c do ´zródłowych prac pomijaj ˛ac wi ˛ekszo´s´c dowodów. W szczególno´sci dotyczy to omawianych w 2.6-2.7 klas algebr podwójnie od- wróconych i uogólnionych podwójnie odwróconych wprowadzonych w gł ˛ebokich pracach [31] i [32], za którymi cytujemy wi ˛ekszo´s´c wyników. Podobnie traktujemy twierdzenia prezentowane w 3.3 oraz wi ˛ekszo´s´c wyników w 3.1-3.2 zwi ˛azanych z krótkimi cyklami i krótkimi ła ´ncuchami, które cytujemy z [33] lub z du ˙zo pó´zniejszej pracy [19]. Reszta twierdze ´n przedstawionych w rozdziale 3 oraz prak- tycznie w całym rozdziale 4 (za wyj ˛atkiem cz ˛e´sci sekcji 4.2 i 4.3) pochodz ˛a z kilku ró ˙znych artykułów dotycz ˛acych algebr cyklowo sko ´nczonych, w tym prac autora oraz nowej pracy J. Białkowskiego i A. Skowro ´nskiego [4]. Dowody w rozdziale 5 s ˛a tak ˙ze w pełni szczegółowe, jednak ˙ze tutaj do´s´c mocno ró ˙zni ˛a si ˛e od oryginalnych rozumowa ´n pod wzl ˛egem organizacji, głównie poniewa ˙z powstały na dro- dze syntezy argumentów z kilku dowodów. Wła´sciwe dowody poprzedzamy tutaj równie ˙z wst ˛epnym podrozdziałem 5.1 o charakterze pomocniczym, w którym wyprowadzamy najpierw pewne ogólne tech- niczne fakty wykorzystane pó´zniej w dowodach obu twierdze ´n, dzi ˛eki czemu s ˛a one nieco krótsze ni ˙z oryginalne rozumowania przedstawione w publikacjach.

Odnotujmy równie ˙z, ˙ze autorskie wyniki bada ´n nie zostały zaprezentowane jedynie w rozdziale 5, w którym ograniczamy si ˛e tylko do przeprowadzenia formalnych dowodów dwóch głównych twierdze ´n rozprawy. Mi ˛edzy innymi, rozdział 4 zawiera wybrane twierdzenia pochodz ˛ace z pracy [5] opublikowa- nej wraz ze współautorami, które pełni ˛a istotn ˛a rol ˛e w dowodzie Twierdzenia A. Co wi ˛ecej, rozdział 3 jest w wi ˛ekszo´sci po´swi ˛econy przedstawieniu kilku wyników autora, które zaczerpni ˛eto z prac [51, 52, 53] i które b ˛ed ˛a cz ˛esto stosowane w dowodach obu głównych twierdze ´n. Ponadto, pewne elementarne le- maty techniczne potrzebne w 4.3 zostały udowodnione w 2.5, poniewa ˙z s ˛a ´sci´sle zwi ˛azane z omawian ˛a tam klas ˛a oswojonych algebr quazi-odwróconych kanonicznego typu. Ostatecznie, równie ˙z rozdział 1 zawiera ró ˙zne przydatne w wielu miejscach rozprawy lematy oraz pewne wyniki autora, stanowi ˛ace integraln ˛a cz ˛e´s´c dowodów przeprowadzonych w 5, które postanowili´smy zamie´sci´c ju ˙z w rozdziale 1 ze wzgl ˛edu na do´s´c elementarny przebieg ich dowodów.

Warto jeszcze wspomnie´c, ˙ze na potrzeby wa ˙znych dla rozprawy dowodów przeprowadzonych w

vi

sekcji 3.4 konieczna jest znajomo´s´c no´sników modułów regularnych le ˙z ˛acych na ustach stabilnych tub w kołczanach Auslandera-Reiten algebr dziedzicznych typu Euklidesa, po któr ˛a si ˛egamy do pracy V. Dlaba i C. M. Ringela [13]. Z uwagi na fakt, i ˙z dowody te praktycznie w cało´sci opieraj ˛a si ˛e o wyniki [13] oraz korzystamy przy tym równie ˙z nieustannie z stosowanych tam oznacze ´n wierzchołków dla kanonicz- nie zorientowanych kołczanów typu Euklidesa, postanowili´smy zestawi´c niezb ˛edne nam wiadomo´sci pochodz ˛ace z tej pracy w uzupełniaj ˛acym rozpraw ˛e dodatku A. W szczególno´sci, zaczerpni ˛eto stamt ˛ad potrzebne informacje o no´snikach zawarte w tabelach A.5 i A.6 oraz, dla zachowania pełnego charakteru rozprawy, zamie´scili´smy w A.2 równie ˙z kompletn ˛a list ˛e wszystkich grafów typu Euklidesa wraz z kano- nicznymi orientacjami. Pozostałe trzy listy grafów przedstawione w A.1, A.3 oraz A.4 s ˛a równie wa ˙zne w teorii reprezentacji algebr, lecz nie zostan ˛a istotnie wykorzystane w ˙zadnym z dowodów, a odwołania do nich w zasadniczej cz ˛e´sci tekstu s ˛a bardzo sporadyczne i traktujemy je czysto informacyjnie.

Autor chciałby w tym miejscu bardzo gor ˛aco i serdecznie podzi ˛ekowa´c Panu prof. dr. hab. An- drzejowi Skowro ´nskiemu za cierpliwe kierowanie jego badaniami naukowymi oraz liczne inspiruj ˛ace dyskusje i kluczowe wskazówki prowadz ˛ace do rozwi ˛azania problemów, o których traktuje niniejsza rozprawa. Ponadto autor pragnie równie ˙z wyrazi´c wielk ˛a wdzi ˛eczno´s´c za nieoceniony wkład w post ˛ep umiej ˛etno´sci oraz kilka lat znakomitej opieki naukowej, pod któr ˛a pozostaj ˛ac miał stworzone idealne warunki do zdobywania nowej wiedzy i rozwijania swoich zainteresowa ´n, w szczególno´sci, do posze- rzania swoich matematycznych horyzontów na zaawansowanym i bardzo profesjonalnym poziomie, mi ˛edzy innymi, wygłaszaj ˛ac referaty dotycz ˛ace swoich bada ´n na kilku mi ˛edzynarodowych konferen- cjach, gdzie miał przy tym okazj ˛e kształtowa´c si ˛e w gronie ´swiatowej klasy specjalistów w zakresie teorii reprezentacji algebr. Miało to bardzo istotny wpływ na kreatywno´s´c autora i przyczyniło si ˛e w du ˙zym stopniu do powstania niniejszej pracy zestawiaj ˛acej wyniki jego bada ´n, które zostały równie ˙z cz ˛e´sciowo sfinansowane ze ´zródeł zespołowego grantu badawczego Maestro Narodowego Centrum Nauki numer 2011 / 02 /ST1/00216, kierowanego przez prof. dr. hab. Andrzeja Skowro ´nskiego.

vii

Rozdział 1

· P odstawy teorii reprezentacji algebr ·

Rozdział ten stanowi wprowadzenie do dalszej cz ˛e´sci pracy, gdzie przedstawione tutaj koncepcje i wyniki b ˛ed ˛a intensywnie wykorzystywane. Omawiamy tu zasadnicze poj ˛ecia teorii reprezentacji algebr, w tym mi ˛edzy innymi, niezb ˛edne poj ˛ecia takie jak kategoria modułów algebry, algebra bazowa 1.1, czy poj ˛ecie globalnego wymiaru algebry 1.3, i pó´zniej, pewne bardziej zaawansowane techniki pochodz ˛ace z teorii Auslandera-Reiten 1.4 i 1.7, teorii stopnia Liu 1.5 oraz teorii odwracania 1.6.

1.1 A lgebry i kategorie moduł ow ´ ·

W niniejszym wst ˛epnym podrozdziale omawiamy poj ˛ecie algebry i modułu oraz zestawiamy dobrze znane wyniki opisuj ˛ace ogólne strukturalne własno´sci kategorii modułów.

W rozwa ˙zaniach niniejszej rozprawy b ˛edziemy zawsze zakłada´c, ˙ze K jest ustalonym ciałem dowolnej charakterystyki. Przypominamy, ˙ze algebr ˛a nad ciałem K, lub krótko K-algebr ˛a, nazywamy dowolny pier´scie ´n A (z jedynk ˛a), który ma jednocze´snie okre´slon ˛a struktur ˛e przestrzeni liniowej nad ciałem K tak ˛a, ˙ze dla dowolnych a, b ∈ A oraz λ ∈ K zachodzi (ab)λ = a(bλ) = (aλ)b. Powiemy, ˙ze K-algebra A jest sko ´nczenie wymiarowa, gdy wymiar dimK A algebry A nad K jest sko ´nczony. Nazywaj ˛ac odt ˛ad pier´scie ´n A algebr ˛a przyjmujemy milcz ˛aco, ˙ze A jest sko ´nczenie wymiarow ˛a K-algebr ˛a nad ustalonym ciałem K. Odnotujmy, ˙ze centrum K-algebry A nazywamy podpier´scie ´n Z(A) pier´scienia A, składaj ˛acy si ˛e z elementów a ∈ A, które komutuj ˛a ze wszystkimi innymi elementami z A. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze centrum Z(A) dowolnej K-algebry A zawsze zawiera podpier´scie ´n K (^1) A = (^1) AK izomorficzny z ciałem K.

Radykałem Jacobsona algebry A, lub po prostu radykałem A nazywa´c b ˛edziemy (dwustronny) ideał rad A w A zdefiniowany jako przekrój wszystkich maksymalnych ideałów prawostronnych (równowa ˙znie lewostronnych) algebry A. Istnieje kilka ciekawych charakteryzacji tego wa ˙znego ideału, po które odsyłamy na przykład, do [49, Lemma 3.1]. Przypominamy tutaj, ˙ze algebr ˛e nazywamy półprost ˛a wtedy i tylko wtedy gdy rad A = 0. Odnotujmy równie ˙z, ˙ze algebr ˛a z dzieleniem nazwiemy ka ˙zd ˛a algebr ˛e, dla której wszystkie niezerowe elementy s ˛a odwracalne, to znaczy U(A) = A \ { (^0) A}, gdzie przez U(A) oznaczamy zbiór elementów odwracalnych K-algebry A. Ka ˙zda algebra z dzieleniem stanowi przykład algebry półprostej. Ponadto na mocy klasycznego twierdzenia J. H. M. Weddeburna opublikowanego oryginalnie w pracy [54] z 1908 roku (po dowód odsyłamy do [49, Theorem I.6.3]) algebra A jest półprosta wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z produktem algebr postaci Mn(F), gdzie F jest pewn ˛a algebr ˛a z dzieleniem.

Definicje modułu oraz reprezentacji mo ˙zna znale´z´c w podstawowej literaturze [49]. Moduły nad sko ´nczenie wymiarowymi K-algebrami A stanowi ˛a równowa ˙zn ˛a interpretacj ˛e poj ˛ecia reprezentacji al- gebry w tym sensie, ˙ze dla dowolnego n ∈ N istnieje bijekcja pomi ˛edzy zbiorem klas izomorfizmu lewych A-modułów M wymiaru dimK M = n, a zbiorem wszystkich klas równowa ˙zno´sci reprezentacji algebry A stopnia n (patrz [49, Proposition I.2.4]). Innymi słowy, problem opisu wszystkich klas równo- wa ˙zno´sci reprezentacji algebry A ustalonego stopnia n jest równowa ˙zny problemowi opisu wszystkich n-wymiarowych lewych A-modułów z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu.

Tego typu przeformułowanie problemu przyniosło niezmiernie istotne korzy´sci umo ˙zliwiaj ˛ac ba- danie reprezentacji algebr w nowym uniwersalnym j ˛ezyku, którego dostarczała teoria kategorii. W szczególno´sci, mo ˙zemy dzi ˛eki temu stosowa´c takie poj ˛ecia jak homomorfizm modułów czy funktor mi ˛edzy kategoriami modułów, co w przypadku reprezentacji algebr nie było w praktyce tak intuicyjne i łatwo dost ˛epne. Warto tutaj wspomnie´c, ˙ze problem opisu kategorii lewych A-modułów nad dan ˛a algebr ˛a A jest tak samo zło ˙zony jak problem opisu reprezentacji algebry A, lub równowa ˙znie, opisu wszystkich mo ˙zliwych realizacji algebry A oraz jej algebr ilorazowych jako podalgebr algebr macierzy Mn(K). Nie b ˛edziemy si ˛e dalej odwoływa´c do poj ˛ecia reprezentacji algebry, o którym wspominamy jedynie ze wzgl ˛edu na jego historyczne znaczenie, gdy ˙z stanowi wła´sciwe ´zródło koncepcji modułu. Odt ˛ad skupiamy nasz ˛a uwag ˛e na własno´sciach kategorii mod A sko ´nczenie wymiarowych (prawych) A-modułów nad sko ´nczenie wymiarowymi K-algebrami A.

U waga · Dla ka ˙zdej K-algebry mo ˙zemy rozwa ˙za´c tak zwan ˛a algebr˛e przeciwn ˛a algebry A, to znaczy algebr ˛e Aop, gdzie Aop^ = A jako zbiory, działanie dodawania oraz struktura przestrzeni K-liniowej w Aop^ s ˛a identyczne jak w A, za´s mno ˙zenie w Aop, okre´slone jest wzorem a ∗ b = ba, dla dowolnych a, b ∈ Aop^ = A, przy czym naturalnie po prawej stronie mamy mno ˙zenie w A. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze ist- nieje bijektywna odpowiednio´s´c pomi ˛edzy zbiorem wszystkich n-wymiarowych prawych Aop-modułów oraz zbiorem wszystkich n-wymiarowych lewych A-modułów, która rozszerza si ˛e do funktorialnej rów- nowa ˙zno´sci pomi ˛edzy kategori ˛a A−mod wszystkich sko ´nczenie wymiarowych lewych A-modułów oraz kategori ˛a mod Aop^ wszystkich sko ´nczenie generowanych prawych Aop-modułów, z któr ˛a b ˛edziemy j ˛a odt ˛ad uto ˙zsamia´c. W tym sensie badanie kategorii lewych modułów sprowadza si ˛e do badania kate- gorii prawych modułów. Odnotujmy równie ˙z, ˙ze je´sli K-algebra A jest pier´scieniem przemiennym, to mod A = mod Aop. W przypadku, gdy algebra A jest ciałem A = K, poj ˛ecie prawego (odpowiednio, lewego) A-modułu sprowadza si ˛e do poj ˛ecia przestrzeni liniowej nad ciałem K ·

Dla dowolnej K-algebry A istnieje kategoria Mod A, w której obiektami s ˛a wszystkie prawe A-moduły, za´s morfizmami w Mod A s ˛a homomorfizmy pomi ˛edzy (prawymi) A-modułami wraz z naturalnym zło ˙zeniem, gdzie przez homomorfizm pomi ˛edzy A-modułami M oraz N rozumiemy odwzorowanie K- liniowe f : M → N spełniaj ˛ace warunek f (ma+m′a′) = f (m)a+ f (m′)a′, dla dowolnych m, m′^ ∈ M i a, a′^ ∈ A. Struktura tej kategorii, a wła´sciwie jej pełnej podkategorii mod A składaj ˛acej si ˛e ze wszystkich modułów sko ´nczenie wymiarowych, b ˛edzie odt ˛ad naszym głównym obiektem zainteresowania. Pozostał ˛a cz ˛e´s´c tego podrozdziału po´swi ˛ecamy krótkiemu omówieniu podstawowych własno´sci kategorii mod A. Po wi ˛ecej szczegółów odsyłamu do podstawowej literatury [2, 49, 50].

Przez HomA(M, N) oznaczamy przestrze ´n homomorfizmów mi ˛edzy modułami M i N w Mod A. Ponadto, dla modułu M w mod A przez EndA(M) oznaczamy przestrze ´n liniow ˛a HomA(M, M) endomor- fizmów modułu M, która jest sko ´nczenie wymiarow ˛a K-algebr ˛a, gdzie mno ˙zenie jest składaniem funkcji, za´s jedynk ˛a jest homomorfizm identyczno´sciowy IdM : M → M. Przypomnijmy równie ˙z, ˙ze moduł M w Mod A jest sko ´nczenie generowany jako (prawy) A-moduł wtedy i tylko wtedy, gdy dimK M < ∞, to jest, M jest modułem w mod A. Odnotujmy, ˙ze homomorfizm h : X → Y w mod A nazywany jest sekcj ˛a (odpowiednio, retrakcj ˛a), o ile istnieje homomorfizm t : Y → X taki, ˙ze th = (^1) X (odpowiednio, ht = (^1) Y). Powiemy tak ˙ze, ˙ze podmoduł N modułu M w mod A jest składnikiem prostym modułu M wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podmoduł N′^ modułu M, dla którego zachodzi N ⊕ N′^ = M, to znaczy M jest sum ˛a prost ˛a podmodułów N i N′. B ˛edziemy wówczas pisa´c N A M. Wspominamy tylko, ˙ze w tej sytuacji istnieje sekcja N → M oraz retrakcja M → N. Co wi ˛ecej, dla ka ˙zdego podmodułu N modułu M ilorazowa przestrze ´n K-liniowa M/N posiada naturaln ˛a struktur ˛e prawego A-modułu. Przypomnijmy jeszcze, ˙ze w ka ˙zdej kategorii modułów prawdziwe jest tak zwane pierwsze twierdzenie o izomorfizmie, to jest, dla ka ˙zdego homomorfizmu f : M → N istnieje izomorfizm w mod A postaci Im f ' M/ Ker f.

Przypominamy dalej, ˙ze moduł M w mod A jest nierozkładalny, o ile nie jest sum ˛a prost ˛a dwóch niezerowych podmodułów, lub równowa ˙znie, nie jest izomorficzny z sum ˛a prost ˛a dwóch niezerowych modułów. Przez ind A oznaczamy pełn ˛a podkategori ˛e w mod A składaj ˛ac ˛a si ˛e ze wszystkich modułów nierozkładalnych w mod A. Odnotujmy tu jedynie, ˙ze w kategoriach modułów mod A obowi ˛azuje tak zwane twierdzenie Krulla-Schmidta, na mocy którego dowolny niezerowy moduł M w mod A posiada rozkład M = M 1 ⊕· · ·⊕Mn na sum ˛e prost ˛a nierozkładalnych podmodułów M 1 ,... , Mn, przy czym rozkład

dodatkow ˛a struktur ˛e lewego B-modułu (^) BM = M nad inn ˛a algebr ˛a B, przy czym struktury te s ˛a ze sob ˛a kompatybilne, to znaczy b(ma) = (bm)a, dla dowolnych m ∈ M oraz a ∈ A i b ∈ B. Powiemy wówczas, ˙ze M jest (B-A)-bimodułem, co cz ˛esto zaznaczamy pisz ˛ac M = (^) BMA. Przez bimod(B, A) b ˛edziemy oznacza´c kategori ˛e wszystkich (B-A)-bimodułów sko ´nczenie wymiarowych. Odnotujmy wprost z definicji, ˙ze je´sli A jest K-algebr ˛a oraz M = MA jest modułem w mod A, to działanie ciała K zadaje na M struktur ˛e lewego K-modułu (^) KM kompatybiln ˛a ze struktur ˛a prawego A-modułu MA, i w ten sposób M = (^) KMA staje si ˛e bimodułem w bimod(K, A). W tym sensie mo ˙zemy uto ˙zsamia´c kategori ˛e mod A prawych A- modułów z kategori ˛a bimod(K, A) wszystkich (K-A)-bimodułów. Analogicznie, mo ˙zemy uto ˙zsamia´c lewe A-moduły w mod Aop^ z (A-K)-bimodułami w bimod(A, K). Przypomnijmy jeszcze, ˙ze je´sli dane s ˛a moduły M i N w Mod A, które maj ˛a dodatkowo struktury (B-A)- i (C-A)-bimodułu odpowiednio, to przestrze ´n homomorfizmów HomA(MA, NA) ma równie ˙z indukowan ˛a z (^) BM i (^) CN struktur ˛e (C-B)- bimodułu. Dualnie, je´sli M i N s ˛a odpowiednio, (A-B)- i (A-C)-bimodułem, to przestrze ´n HomAop (AM, (^) AN) ma struktur ˛e (B-C)-bimodułu. Wi ˛ecej szczegółów mo ˙zna znale´z´c w [49, patrz II.2].

Przypominamy, ˙ze moduł S w mod A jest modułem prostym, o ile S ma dokładnie dwa podmoduły. Wspominamy jedynie, ˙ze algebra endomorfizmów dowolnego modułu prostego w mod A jest K-algebr ˛a z dzieleniem. Moduły które s ˛a sumami prostymi modułów prostych nazywane s ˛a w literaturze modułami półprostymi. Odnotujmy równie ˙z, ˙ze dowolna K-algebra A jest algebr ˛a półprost ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie moduły w mod A s ˛a półproste [49, Theorem I.6.3]. Warto tak ˙ze wspomnie´c, ˙ze poj ˛ecie radykału algebry mo ˙zna uogólni´c i zdefiniowa´c radykał rad M dowolnego modułu M w mod A jako przekrój wszystkich maksymalnych podmodułów modułu M. Dowodzi si ˛e, ˙ze rad M = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy moduł M jest modułem półprostym w mod A. Przyjmujemy tradycyjnie oznacza´c przez top(M) moduł ilorazowy M/ rad M modułu M, za´s przez soc(M) podmoduł w M zdefiniowany jako suma wszystkich podmodułów prostych modułu M.

Odnotujmy dalej, ˙ze ci ˛agiem kompozycyjnym modułu M , 0 w mod A nazywamy ka ˙zdy ci ˛ag podmo- dułów M postaci 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M, dla którego wszystkie kompozycyjne faktory Mn/Mn− 1 ,

... , M 2 /M 1 , M 1 /M 0 s ˛a modułami prostymi w mod A. Zachodzi ponadto znane Twierdzenie Jordana- Höldera (patrz [49, Theorem I.7.5]), na mocy którego ka ˙zdy niezerowy moduł M w mod A posiada ci ˛ag kompozycyjny, oraz ci ˛ag taki jest jednoznacznie wyznaczony przez moduł M z dokładno´sci ˛a do per- mutacji izomorficznych kompozycyjnych faktorów. W szczególno´sci wynika st ˛ad, ˙ze wszystkie ci ˛agi kompozycyjne 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ · · · ⊂ Mr = M modułu M maj ˛a jednakow ˛a długo´s´c r oznaczan ˛a przez l(M), która nie zale ˙zy od wyboru ci ˛agu kompozycyjnego i nazywana jest długo´sci ˛a modułu M. Co wi ˛ecej, je ˙zeli S 1 ,... , Sn s ˛a wszystkimi parami nieizomorficznymi modułami prostymi w mod A, to dla ka ˙zdego i ∈ { 1 ,... , n} tak zwana krotno´s´c ci(M) = cSi (M) B |{t ∈ { 1 ,... , r}; Mt/Mt− 1 ' Si}| modułu prostego Si w ci ˛agu kompozycyjnym modułu M, jest wówczas równie ˙z poprawnie zdefiniowana. Dla ka ˙zdego nie- zerowego modułu M w mod A b ˛edziemy równie ˙z oznacza´c przez c(M) tak zwany wektor kompozycyjny, to znaczy wektor c(M) = [c 1 (M),... , cn(M)] ∈ Nn, którego współrz ˛edne s ˛a krotno´sciami wyst ˛epowania kolejnych modułów prostych S 1 ,... , Sn w ci ˛agu kompozycyjnym danego modułu M.

Przypomnijmy równie ˙z dla formalno´sci definicj ˛e klasycznego poj ˛ecia grupy Grothendiecka kategorii modułów. Je´sli A jest algebr ˛a to definiuje si ˛e grup˛e Grothendiecka kategorii mod A oznaczan ˛a symbolem K 0 (A) jako grup ˛e ilorazow ˛a K 0 (A) B F/F′, gdzie F jest woln ˛a grup ˛a abelow ˛a F = Z(mod A') generowan ˛a przez wszystkie klasy izomorfizmu {M} modułów M w mod A, za´s F′^ podgrup ˛a generowan ˛a przez elementy postaci {M} − {L} − {N}, dla wszystkich ci ˛agów dokładnych 0 → L → M → N → 0 w mod A. Dla dowolnego modułu M w mod A przez [M] oznacza si ˛e zwykle warstw ˛e {M} + F′^ ∈ K 0 (A) klasy izomorfizmu {M} = 1 {M} ∈ F modułu M. Wspominamy tutaj tylko, ˙ze dzi ˛eki istnieniu filtracji modułami prostymi mo ˙zna pokaza´c, ˙ze grupa K 0 (A) jest sko ´nczonej rangi oraz posiada Z-baz ˛e składaj ˛ac ˛a si ˛e z klas [S 1 ],... , [Sn] w K 0 (A) wszystkich parami nieizomorficznych modułów prostych w mod A. Ponadto dowodzi si ˛e równie ˙z [49, patrz Theorem I.11.1], ˙ze wówczas funkcja wektora kompozycyjnego indukuje izomorfizm grup c : K 0 (A) → Zn, gdzie c([M]) = c(M).

Ostateczenie przypominamy wa ˙zne poj ˛ecie niesko ´nczonego radykału Jacobsona kategorii modu- łów, poprzedzaj ˛ac to wprowadzeniem poj ˛ecia radykału Jacobsona kategorii modułów. Odnotujmy, ze w ogólno´˙ sci ideałem w kategorii modułów, lub krótko ideałem w mod A, nazywamy dowoln ˛a funkcj ˛e

I : mod A × mod A → mod K, która ka ˙zdej parze (X, Y) modułów X, Y w mod A przyporz ˛adkowuje podprzestrze ´n K-liniow ˛a I(X, Y) ⊆ HomA(X, Y) i dla dowolnego morfizmu f ∈ I(X, Y), mamy równie ˙z g f ∈ I(X, Z) oraz f h ∈ I(Z, Y), dla wszystkich g ∈ HomA(Y, Z) oraz h ∈ HomA(Z, X). Przypomi- namy tu jedynie, ˙ze radykał Jacobsona kategorii modułów mod A algebry A jest dwustronnym ideałem radA : mod A × mod A → mod K w kategorii mod A, okre´slonym dla dowolnej pary modułów M, N w mod A jako nast ˛epuj ˛aca podprzestrze ´n K-liniowa przestrzeni HomA(M, N)

radA(M, N) B { f ∈ HomA(M, N)| IdN − f g ∈ U(EndA(N)), dla ka˙zdego g ∈ HomA(N, M)}.

Mo ˙zna pokaza´c, ze dowolny homomorfizm˙ f ∈ HomA(M, N) nale ˙zy do radA(M, N), wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka ˙zdego g ∈ HomA(N, M) homomorfizm IdM −g f jest odwracalny w EndA(M). Poni ˙zsze twierdzenie zestawia podstawowe własno´sci radykału Jacobsona kategorii modułów [49, patrz Lemma III. 1.3, 1.4 i 1.5].

T wierdzenie 1.1.1. Niech A b˛edzie algebr ˛a. Wówczas zachodz ˛a nast˛epuj ˛ace stwierdzenia.

(1) Dla dowolnych modułów X i Y w ind A, niezerowy homomorfizm f ∈ HomA(X, Y) nale˙zy do radA(X, Y) wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest izomorfizmem; w szczególno´sci wynika st ˛ad, ˙ze je´sli X ; Y, to radA(X, Y) = HomA(X, Y).

(2) Je˙zeli M oraz N s ˛a modułami w mod A oraz M = M 1 ⊕ · · · ⊕ Ms i N = N 1 ⊕ · · · ⊕ Nt, dla modułów nierozkładalnych Mi, Nj, i ∈ { 1 ,... , s}, j ∈ { 1 ,... , t}, to homomorfizm f = [ fij] ∈ HomA(M, N), gdzie fji ∈ HomA(Mi, Nj), nale˙zy do radykału radA(M, N) wtedy i tylko wtedy, gdy fji ∈ radA(Mi, Nj), dla ka˙zdego i ∈ { 1 ,... , s} oraz j ∈ { 1 ,... , t}.

(3) Je´sli N jest modułem nierozkładalnym w mod A, to dla ka˙zdego modułu M w mod A, homomorfizm h : M → N w mod A nale˙zy do radA(M, N) wtedy i tylko wtedy, gdy h nie jest retrakcj ˛a.

(4) Je´sli M jest modułem w ind A, to dla ka˙zdego modułu N w mod A, homomorfizm h : M → N w mod A nale˙zy do radA(M, N) wtedy i tylko wtedy, gdy h nie jest sekcj ˛a.

Bardzo wiele wa ˙znych własno´sci kategorii modułów odzwierciedla si ˛e w zachowaniu nast ˛epuj ˛acego niesko ´nczonego ci ˛agu ideałów · · · ⊆ radnA ⊆ · · · ⊆ rad^2 A ⊆ radA w kategorii mod A składaj ˛acego si ˛e z kolejnych pot ˛eg radnA, n > 1, radykału Jacobsona. Odnotujmy jedynie, ˙ze dla ka ˙zdej liczby naturalnej n > 1, n-ta pot ˛ega radykału radA jest ideałem radnA w kategorii modułów mod A, okre´slonym dla pary modułów (M, N) jako podprzestrze ´n radnA(M, N) przestrzeni HomA(M, N) generowan ˛a przez wszystkie mo ˙zliwe zło ˙zenia n homomorfizmów z radykału radA. Wówczas niesko ´nczony radykał Jacobsona rad∞ A kategorii modułów mod A zdefiniowany jest jako przekrój rad∞ A =

n∈N rad n A, wszystkich pot ˛eg rad

n A, n ∈ N> 1 , radykału Jacobsona radA.

1.2 F unktorialne r ownowa ´ zno ˙ sci mi ´ edzy kategoriami moduł ˛ ow ´ ·

W tym podrozdziale omawiamy krótko ró ˙zne przykłady wyst ˛epowania poj ˛ecia równowa ˙zno´sci mi ˛edzy K-kategoriami, głównie w kontek´scie kategorii modułów. W szczególno´sci, przypominamy tu poj ˛ecie algebry bazowej ´sci´sle zwi ˛azane z relacj ˛a Morita równowa ˙zno´sci algebr oraz pobie ˙znie komentujemy pewn ˛a interpretacj ˛e K-algebr jako K-kategorii o sko ´nczonych klasach obietków. Na koniec podajemy przykład wykorzystania równowa ˙zno´sci kategoryjnej do opisu kategorii modułów pewnej istotnej dla naszych rozwa ˙za ´n klasy algebr stowarzyszonych z bimodułami.

Jednymi z najcz ˛e´sciej pojawiaj ˛acych si ˛e w tej pracy funktorów s ˛a funktory typu HomA. Przypo- minamy, ˙ze dowolny (B-A)-bimoduł M indukuje naturalnie dwa funktory, odpowiednio kowariantny i kontrawariantny, postaci

HomA(M, −) : mod A → mod B oraz HomA(−, M) : mod A → mod Bop.

T wierdzenie 1.2.1. Niech A b˛edzie algebr ˛a. Wówczas

(1) Je´sli M jest (B-A)-bimodułem oraz e ∈ A pewnym idempotentem, to HomA(eA, M) ' Me w bimod(B, eAe).

(2) Idempotent e ∈ A jest prymitywny wtedy i tylko wtedy, gdy moduł eA jest nierozkładalny w mod A.

(3) Algebra A jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi idempotentami nale˙z ˛acymi do jej centrum Z(A) s ˛a idempotenty trywialne (^0) A i (^1) A. Ponadto istnieje wtedy zbiór parami ortogonalnych idempotentów prymityw- nych e 1 ,... , en ∈ A taki, ˙ze (^1) A = e 1 + e 2 + · · · + en. Ka˙zdy inny zbiór idempotentów f 1 ,... , fm ∈ A o tych własno´sciach spełnia n = m oraz istnieje permutacja σ zbioru { 1 ,... , m} taka, ˙ze dla wszystkich i ∈ { 1 ,... , n} zachodzi izomorfizm fiA ' eσ(i)A w ind A.

dow od´ · Odsyłamy do podstawowej literatury. Dla dowodu (1) patrz [49, Lemma II.2.3], za´s dowody (2) i (3) mo ˙zna znale´z´c w [49, Corollary I.5.8, 5.9, 5.10 oraz Proposition I.3.16]. 

Wynika st ˛ad, ˙ze ka ˙zdy zbiór {e 1 ,... , en} parami ortogonalnych idempotentów prymitywnych w A z (^1) A = e 1 + · · · + en wyznacza zbiór nierozkładalnych podmodułów e 1 A,... , enA w A, dla których zachodzi rozkład AA = e 1 A ⊕ · · · ⊕ enA w mod A. Niezale ˙znie od wyboru wyj´sciowego zbioru idempotentów, otrzymany zbiór modułów nierozkładalnych jest wyznaczony jednoznacznie przez A z dokładno´sci ˛a do permutacji izomorficznych składników prostych eiA A A. Je ˙zeli moduły e 1 A,... , enA s ˛a parami nieizomorficzne, to tak ˛a algebr ˛e nazywamy algebr ˛a bazow ˛a. Poj ˛ecie bazowo´sci jest wi ˛ec poprawnie okre´slone niezale ˙znie od pocz ˛atkowego wyboru idempotentów e 1 ,... , en.

U waga · Badanie kategorii modułów mod A nad dan ˛a algebr ˛a A sprowadza si ˛e w istocie do badania stowarzyszonej (równowa ˙znej) kategorii modułów mod Ab^ pewnej algebry bazowej Ab. W istocie, Ab^ jest z definicji, algebr ˛a postaci Ab^ = EndA(ebA), gdzie eb^ jest dowoln ˛a sum ˛a eb^ = ei 1 + · · · + einA idempotentów ei 1 ,... , einA , nA 6 n, dla których odpowiadaj ˛ace moduły ei 1 A,... , einA A w ind A s ˛a parami nieizomorficzne oraz wyczerpuj ˛a z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu wszystkie moduły postaci eiA, dla i ∈ { 1 ,... , n}. Wtedy oczywi´scie Ab^ jest algebr ˛a bazow ˛a. W tej notacji algebra A jest bazowa, wtedy i tylko wtedy, gdy A = Ab, to znaczy n = nA. Odnotujmy tu jeszcze bez uzasadnienia, ˙ze algebry A i Ab^ s ˛a Morita równowa ˙zne (od- powiedni funktor ustalaj ˛acy równowa ˙zno´s´c nie b ˛edzie nam potrzebny; po wi ˛ecej szczegółów odsyłamy do [49, Theorem II.6.7]). B˛edziemy odt ˛ad zakłada´c, ˙ze wszystkie rozwa˙zane algebry s ˛a bazowe ·

Odnotujmy jeszcze, ˙ze istnieje wa ˙zny homologiczno-kombinatoryczny niezmiennik okre´slony dla klasy sko ´nczenie wymiarowych K-algebr bazowych, nazywany kołczanem zwyczajnym, który jest warto- ´sciowanym kołczanem stowarzyszonym z algebr ˛a A zawieraj ˛acym pewne istotne informacje o przestrze- niach homomorfizmów pomi ˛edzy modułami e 1 A,... , enA A. Przypomnijmy tutaj, ˙ze kołczanem nazywamy ka ˙zdy układ Q = (Q 0 , Q 1 , s, t), gdzie Q 0 i Q 1 s ˛a sko ´nczonymi zbiorami odpowiednio, wierzchołków i strza- łek kołczanu Q, za´s s, t : Q 1 → Q 0 s ˛a funkcjami, które przyporz ˛adkowuj ˛a ka ˙zdej strzałce α ∈ Q 1 jej pocz ˛atek s(α) ∈ Q 0 oraz koniec t(α) ∈ Q 0 , odpowiednio. Ponadto, je´sli dodatkowo okre´slona jest funkcja d : Q 1 → N^2 , która przyporz ˛adkowuje ka ˙zdej strzałce α tak zwane warto´sciowanie, czyli par ˛e (dα, d′ α) liczb naturalnych dα, d′ α > 1, to układ (Q, d) = (Q 0 , Q 1 , s, t, d) nazywa si ˛e kołczanem warto´sciowanym, za´s funkcj ˛e d, warto´sciowaniem kołczanu Q.

Niech A b ˛edzie ustalon ˛a K-algebry oraz załó ˙zmy, ˙ze e 1 ,... , en s ˛a parami ortogonalnymi prymityw- nymi idempotentami w A z e 1 + · · · + en = (^1) A, n = nA. Wówczas dla ka ˙zdego i ∈ { 1 ,... , n} moduł Si = top(eiA) jest modułem prostym w mod A oraz algebra Fi = EndA(Si) jest sko ´nczenie wymiarow ˛a K-algebr ˛a z dzieleniem [49, Proposition I.5.16 oraz Lemma I.5.1]. Ponadto, algebra Fi jest izomorficzna z K-algebr ˛a eiAei/ei(rad A)ei [49, patrz Lemma I.11.2], z któr ˛a b ˛edziemy j ˛a dalej uto ˙zsamia´c. Wspominamy, ze przy tej identyfikacji dla dowolnych˙ i, j ∈ { 1 ,... , n} przestrze ´n K-liniowa ei(rad A)ej/ei(rad A)^2 ej ma naturaln ˛a struktur ˛e (Fi-Fj)-bimodułu zadan ˛a wzorami

a¯ x¯ = ax + ei(rad A)^2 ej oraz x¯¯b = xb + ei(rad A)^2 ej,

dla ¯x = x + ei(rad A)^2 ej, ¯a = a + ei(rad A)ei i b¯ = b + ej(rad A)ej, gdzie x ∈ ei(rad A)ej, a ∈ ei(rad A)ei oraz b ∈ ej(rad A)ej. Ostatecznie przypomnijmy, ˙ze dla ka ˙zdej K-algebry A jej kołczanem zwyczajnym nazywamy warto´sciowany kołczan QA = (Q, d), przy czym:

• Q jest kołczanem postaci Q = (Q 0 , Q 1 , s, t), gdzie Q 0 jest zbiorem Q 0 = { 1 ,... , n} indeksuj ˛acym dowolnie wybrany układ parami ortogonalnych prymitywnych idempotentów e 1 ,... , en w A, dla których e 1 + · · · + en = (^1) A (n = nA), oraz dla ka ˙zdej pary wierzchołków i, j ∈ Q 0 istnieje strzałka i → j w Q 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ej(rad A)ei/ej(rad^2 A)ei , 0.
• warto´sciowanie d : Q 1 → N^2 okre´slone jest dla ka ˙zdej strzałki α : i → j w Q 1 wzorem d(α) = (dij, d′ ij), gdzie dij = dimFj

ei(rad A)ej ei(rad A)^2 ej

oraz d′ ij = dimFi

ei(rad A)ej ei(rad A)^2 ej

Omawiamy teraz pewn ˛a interpretacj ˛e K-algebr jako K-kategorii o sko ´nczonej liczbie obiektów, które odpowiadaj ˛a idempotentom danej algebry. Mamy wówczas mo ˙zliwo´s´c stosowania poj ˛e´c i metod teorii kategorii do badania struktury samej algebry, w nieco inny ni ˙z dotychczas sposób. W tej sytuacji bowiem rozwa ˙zamy kategorie o sko ´nczonych klasach obiektów (co dla kategorii modułów ma miejsce jedynie w przypadku algebr sko ´nczonego reprezentacyjnego typu), za´s równowa ˙zno´sci mi ˛edzy takimi kategoriami odpowiadaj ˛a przy tej identyfikacji K-algebrowym izomorfizmom. Stosuj ˛ac t ˛e interpretacj ˛e zdefiniujemy dalej równie ˙z pewn ˛a operacj ˛e na algebrach nazywan ˛a sum ˛a włóknist ˛a, która b ˛edzie pó´zniej pełni´c istotn ˛a rol ˛e w opisie struktury algebr cyklowo sko ´nczonych półregularnego typu (patrz 4.3).

Rozwa ˙zmy dowoln ˛a spójn ˛a algebr ˛e bazow ˛a A oraz niech e 1 ,... , en b ˛edzie ustalonym zbiorem parami ortogonalnych prymitywnych idempotentów w A takich, ˙ze e 1 +· · ·+en = (^1) A. W dalszym ci ˛agu rozprawy b ˛edziemy do´s´c cz ˛esto identyfikowa´c algebr ˛e A z odpowiadaj ˛ac ˛a K-kategori ˛a A∗, w której klas ˛a obiektów jest sko ´nczony zbiór { 1 ,... , n} indeksuj ˛acy ustalony zestaw bazowych idempotentów w A, za´s zbiór morfizmów mi ˛edzy dowolnymi obiektami i oraz j w A∗^ okre´slony jest jako HomA∗^ (i, j) = ejAei, gdzie operacja składania morfizmów w A∗^ jest naturalnie indukowana z mno ˙zenia w A.

Przede wszystkim, bardzo przydatne okazuje si ˛e badanie pełnych podkategorii w A∗, które nazywa´c b ˛edziemy po prostu pełnymi podkategoriami w A. Na przykład, je´sli dana jest rodzina modułów C w ind A, to istnieje naturalnie stowarzyszona z ni ˛a podkategoria suppA(C ) w A, która jest z definicji pełn ˛a podkategori ˛a w A∗^ rozpi ˛et ˛a na zbiorze obiektów i ∈ { 1 ,... , n} takich, ˙ze Xei , 0, dla pewnego modułu X z C , lub równowa ˙znie, takich, ˙ze ei < AnnA(C ). Ponadto, dla ka ˙zdego modułu M w mod A analogicznie definiujemy suppA(M) jako pełn ˛a podkategori ˛e w A∗^ składaj ˛ac ˛a si ˛e z obiektów i w A∗^ takich, ze˙ Mei , 0; w szczególno´sci, je´sli M = X 1 ⊕ · · · ⊕ Xr, dla modułów X 1 ,... , Xr w ind A, to suppA(M) = suppA({X 1 ,... , Xr}). Podkategoria suppA(C ) (odpowiednio, suppA(M)) nazywana jest cz ˛esto no´snikiem rodziny C (odpowiednio, no´snikiem modułu M). Moduł M w mod A, b ˛ad´z ogólniej, rodzin ˛e modułów C w ind A, nazwiemy wiernym (odpowiednio, wiern ˛a), o ile suppA(M) = A∗^ (odpowiednio, suppA(C ) = A∗). Odnotujmy tak ˙ze, ˙ze ka ˙zda rodzina C modułów w ind A wyznacza rozkład AA = PC ⊕ QC algebry AA na sum ˛e prost ˛a modułów w mod A, przy czym wszystkie nierozkładalne składniki proste Pi A PC s ˛a postaci Pi = eiA, gdzie i ∈ suppA(C ), a QC takich składników prostych nie posiada. Przypomnijmy równie ˙z, ze podkategorie no´˙ sników modułów lub ogólniej, rodzin modułów, indukuj ˛a naturalnie pewne algebry ilorazowe danej algebry A. Dla rodziny modułów C w ind A, definiuje si ˛e bowiem tak zwan ˛a algebr˛e no´snikow ˛a (rodziny) C , która jest algebr ˛a postaci SuppA(C ) = A/tA(C ), gdzie tA(C ) jest dwustronnym ideałem w A generowanym przez obrazy wszystkich homomorfizmów w HomA(QC , A).

Szczególnie wa ˙zn ˛a rol ˛e w niniejszej pracy (i nie tylko), odgrywa poj ˛ecie podkategorii wypukłej. Wspo- minamy, ze pełna podkategoria˙ B algebry A nazywana jest wypukł ˛a podkategori ˛a w A wtedy i tylko wtedy, gdy dowolna droga w A∗^ postaci i 0 → i 1 → · · · → it, t > 1, dla której obiekty i 0 oraz it nale ˙z ˛a do B, spełnia równie ˙z is ∈ B, dla wszystkich s ∈ { 1 ,... , t − 1 }, to znaczy jest to droga w B. Ustalmy wypukł ˛a podkategori ˛e B algebry A oraz niech B składa si ˛e z obiektów b 1 ,... , br. Przyjmijmy ponadto oznacza´c przez eB stowarzyszony z B idempotent eB B eb 1 +... ebr w A. Mo ˙zna pokaza´c, ˙ze wówczas odpowiedni ideał tA(eBA) jest postaci A fBA, gdzie fB = 1 − eB, oraz zachodzi K-algebrowy izomorfizm SuppA(eBA)  eBAeB. Tak wi ˛ec mamy równie ˙z pełne i dokładne zanurzenie mod eBAeB ↪→ mod A, gdzie w tym przypadku kategori ˛e mod BA algebry BA = eBAeB  EndA(eBA), uto ˙zsamiamy z pełn ˛a podkategori ˛a mod A zawieraj ˛ac ˛a wszystkie moduły M w mod A takie, ˙ze M. fB = 0. Ponadto, łatwo tak ˙ze zauwa ˙zy´c, ˙ze B∗ A w B jako K-kategorie.