Hydraulika: zbiór zadań z rozwiązaniami, Skrypty z Idraulica

Pobierz Hydraulika: zbiór zadań z rozwiązaniami i więcej Skrypty w PDF z Idraulica tylko na Docsity!

POLITECHNIKA KRAKOWSKA

im. Tadeusza Kościuszki

Zbiór zadań z hydrauliki

z rozwiązaniami

Katarzyna Baran-Gurgul

skrypt dla studentów

wyższych szkół technicznych

KRAKÓW 2005

POLITECHNIKA KRAKOWSKA

im. Tadeusza Kościuszki

Katarzyna Baran – Gurgul

ZBIÓR ZADAŃ

Z HYDRAULIKI

Z ROZWIĄZANIAMI

SKRYPT DLA STUDENTÓW

WYŻSZYCH SZKÓŁ TECHNICZNYCH

Kraków 2005

SPIS TREŚCI

• WSTĘP
• WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ
• I. HYDROSTATYKA
  • I.1. Ciśnienie
    • I.1.1. Ciśnienie i parcie hydrostatyczne.................................................................
    • I.1.2. Rodzaje równowagi, podstawowe równanie hydrostatyki
    • I.1.3. Obliczanie ciśnienia w punkcie cieczy.......................................................
    • I.1.4. Naczynia połączone
    • I.1.5. Przyrządy do pomiaru ciśnienia
    • I.1.6. Obliczanie ciśnienia w punkcie – zadania..................................................
      • (zastosowanie prawa Boyle’a–Mariotte’a) I.1.7. Zmiana ciśnienia gazu związaną ze zmiana jego objętości
      • interpretacja prawa Pascala i prawa Eulera I.1.8. Rozkład ciśnień na prostokątne ściany płaskie – graficzna
  • I.2. Parcie na powierzchnie płaskie
    • I.2.1. Metoda graficzno – analityczna obliczania wartości siły parcia
    • I.2.2. Metoda analityczna obliczania wartości siły parcia
    • I.2.3. Zadania – parcie na ściany płaskie
  • I.3. Parcie na ściany zakrzywione
    • I.3.1. Obliczenie wartości siły parcia
    • I.3.2. Redukcja wykresów parcia........................................................................
    • I.3.3. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem równowagi sił
    • I.3.4. Rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem równowagi momentów sił....... - działają ciecze o różnych ciężarach właściwych I.3.5. Rozwiązywanie zadań w przypadku, gdy na daną ścianę
    • I.3.6. Wypór........................................................................................................
  • I.4. Równowaga względna cieczy - wokół swej osi pionowej I.4.1. Naczynie z cieczą wirujące ze stałą prędkością kątową - prostoliniowym I.4.2. Naczynie z cieczą poruszające się ruchem jednostajnie zmiennym,
    • I.4.3. Naczynie z cieczą poruszające się ze stałym przyspieszeniem w dół
    • I.4.4. Zadania
  • I.5. Pływanie ciał
    • I.5.1. Ogólne warunki równowagi (pływania)
    • I.5.2. Równowaga ciała pływającego całkowicie zanurzonego...........................
    • I.5.3. Równowaga ciała pływającego częściowo zanurzonego
    • I.5.4. Wyznaczenie wysokości metacentrycznej
• II. HYDRAULIKA RUROCIĄGÓW
  • II.1. Równanie ciągłości przepływu
  • II.2. Równanie Bernoulliego
  • II.3. Obliczenie wysokości strat energii
    • II.3.1. Straty lokalne
    • II.3.2. Straty na długości
  • II.4. Rodzaje rurociągów
  • II.5. Konstruowanie linii ciśnień piezometrycznych
  • II.6. Rurociągi pojedynczy
  • II.7. Lewary, syfony
  • II.7. Rurociągi długie
  • II.8. Rurociągi wydatkujące po drodze..........................................................
• III. WYPŁYW PRZEZ OTWORY I PRZELEWY
  • III.1. Wypływ przez otwory............................................................................
    • III.1.1. Ustalony wypływ przez otwory
    • III.1.2. Nieustalony wypływ przez otwory
  • III.2. Wypływ przez przelewy
    • III.2.1. Klasyfikacja przelewów
    • III.2.2. Wydatek przelewu
• IV. RUCH W KORYTACH OTWARTYCH
  • IV.1. Definicje
  • IV.2. Ruch jednostajny w korytach otwartych
    • IV.2.1. Przepływ w przekroju poprzecznym zwartym
    • IV.2.2. Obliczenia hydrauliczne dla koryta zwartego
    • IV.2.3. Ruch krytyczny
    • IV.2.4. Przepływ hydraulicznie najkorzystniejszy.......................................
    • IV.2.4. Przepływ w korycie o złożonym przekroju poprzecznym
    • IV.2.5. Kolektory
  • IV.3. Ruch zmienny ustalony w korytach otwartych
• V. RUCH WODY W GRUNCIE
  • V.1. Wstęp
    • V.1.1. Prawo Darcy’ego
    • V.1.2. Współczynnik filtracji
  • V.2. Obliczanie współczynnika filtracji
  • V.3. Dopływ do rowu i drenu
  • V.4. Dopływ do studni przy poziomej warstwie nieprzepuszczalnej
  • V.5. Studnia artezyjska
  • V.6. Działanie grupy studni
• ZAŁĄCZNIKI
• LITERATURA

WYKAZ OZNACZEŃ

Symbol Znaczenie Jednostka

a przyspieszenie m^2 /s A pole powierzchni m^2 b szerokość m Bzw szerokość strumienia na poziomie zwierciadła wody m d średnica rurociągu średnica ziarn gruntu

m m E energia m F siła N Fr liczba Froude’a – G ciężar N h głębokość, napełnienie, miąższość m hdł wysokość strat energii na długości m hKR głębokość krytyczna m hlok wysokość lokalnych strat energii m hSTR wysokość strat energii m H rzędna zwierciadła wody wysokość

m n.p.m m I spadek hydrauliczny (spadek linii energii) – k chropowatość bezwzględna przewodu współczynnik filtracji gruntu

mm m/s K moduł przepływu m^3 /s L długość odskoku hydraulicznego długość przewodu

m m m wysokość metacentryczna współczynnik wydatku przelewu nachylenie skarpy koryta

m

n współczynnik szorstkości wg Manninga m-1/3s p ciśnienie Pa P parcie N p 0 ciśnienie zewnętrzne Pa pa ciśnienie atmosferyczne Pa Px pozioma składowa parcia N Py pionowa składowa parcia N q jednostkowe natężenie przepływu m^3 /s/m Q objętość przepływu cieczy m^3 /s

I. HYDROSTATYKA

I.1. CIŚNIENIE

Hydrostatyka jest nauką o cieczy znajdującej się w spoczynku. Zajmuje się przypadkiem równowagi względnej cieczy w naczyniu (gdy cząsteczki cieczy są nieruchome względem siebie, ale poruszają się wraz z naczyniem w którym ciecz) się znajduje i ciał pływających w cieczy.

Na ciecz działają dwa rodzaje sił:

a) siły powierzchniowe Siły powierzchniowe są siłami działającymi na powierzchnie zewnętrzne ograniczające daną objętość cieczy. Ich wartość jest proporcjonalna do tych powierzchni. Przykładami sił powierzchniowych są siły pochodzące od nacisku tłoka na ciecz lub ciśnienia gazu ponad swobodnym zwierciadłem cieczy. b) siły masowe Siły masowe są wynikiem oddziaływania na ciecz zewnętrznych fizycznych pól sił. Ich wartość jest proporcjonalna do masy rozpatrywanej objętości cieczy. Przykładem takich sił jest siła ciężkości, bezwładności, odśrodkowa.

I.1.1. Ciśnienie i parcie hydrostatyczne

Siła parcia cieczy Parcie hydrostatyczne P (rozumiane jako siła skupiona) jest to siła, z jaką ciecz pozostająca w stanie równowagi (spoczynku) działa na ograniczające ją lub zanurzone w niej powierzchnie (np. ściany zbiornika). Siła ta działa prostopadle do powierzchni, ze zwrotem ku tej powierzchni.

Ciśnienie w punkcie cieczy Jeżeli na powierzchni A w pewnej objętości cieczy znajdującej się w spoczynku wydzielimy jej element ∆ A , na który działa siła parcia hydrostatycznego ∆ P , to średnia wartość tej siły przypadająca na jednostkę powierzchni nazywa się średnim ciśnieniem hydrostatycznym i wyraża się stosunkiem:

A

P

psr ∆

= ( I-1 )

Ciśnienie hydrostatyczne w punkcie cieczy wyraża stosunek ∆ P /∆ A gdy pole ∆ A jest nieskończenie małe (czyli ∆ A → 0), zatem:

[Pa ] d

d lim (^0) A

P

A

P

p A

∆→

( I-2 )

UWAGA! Ciśnienie jest skalarem, a parcie – wektorem.

Ciśnienie atmosferyczne jest ciśnieniem wywieranym przez atmosferę ziemską. W obliczeniach przyjmuje się, że wartość tzw. normalnego ciśnienia atmosferycznego jest równa: pa = 101325 Pa.

Ciśnienie mierzone względem próżni nazywa się ciśnieniem bezwzględnym.

Nadwyżkę ciśnienia bezwzględnego p ponad ciśnienie atmosferyczne pa nazywa się nadciśnieniem lub ciśnieniem piezometrycznym.

Jeżeli ciśnienie bezwzględne p zaś jest mniejsze od ciśnienia atmosferycznego pa , to ujemną różnicę między p i pa nazywa się podciśnieniem.

Powierzchnia jednakowych ciśnień to powierzchnia cieczy w każdym punkcie której panuje jednakowe ciśnienie. Jeżeli jedynym ciśnieniem gazu działającym ponad tą powierzchnią jest ciśnienie atmosferyczne, powierzchnię taką nazywa się swobodnym zwierciadłem cieczy.

Wysokość ciśnienia h jest miarą ciśnienia, będącą wysokością słupa cieczy o ciężarze γ wywołującego u swej podstawy ciśnienie równe co do wartości ciśnieniu hydrostatycznemu p.

Wysokość ciśnienia atmosferycznego wyrażona wysokością wynosi:

słupa wody 10 , 325 m 10 m 9810 N/m

101325 N/m 3

2 = = ≅ W

pa

( I-3 )

słupa rtęci 0 , 7596 m 760 mm 133400 N/m

101325 N/m 3

2 = = ≅ Hg

pa

( I-4 )

I.1.2. Rodzaje równowagi, podstawowe równanie hydrostatyki

1. Ciecz znajduje się w równowadze względnej , jeżeli wszystkie cząstki tej cieczy zachowują niezmienne położenie względem siebie i względem ścian poruszającego się naczynia. Oznacza to, że względem układu współrzędnych związanego z naczyniem w którym znajduje się ciecz, a zatem wykonującego taki sam ruch jak to naczynie, ciecz znajduje się w spoczynku. Względem zaś każdego układu zewnętrznego (związanego z ziemią) ciecz ta jest w ruchu. Przykłady równowagi względnej cieczy:

Paradoks hydrostatyczny – twierdzenie Stevina Parcie hydrostatyczne na poziome dno naczynia nie zależy od kształtu naczynia ani od ilości zawartej w nim cieczy, ale wyłącznie od ciężaru właściwego cieczy, głębokości położenia dna pod zwierciadłem i wielkości dna.

h h h

D D D

Rys. I-

Zgodnie z twierdzeniem Stevina jeżeli naczynia przedstawione na rys. I- wypełnione są tą samą cieczą, parcie cieczy na dno w każdym przypadku jest jednakowe i wynosi:

h

D

P

2 = ( I-7 )

I.1.4. Naczynia połączone

Obliczając ciśnienie w dowolnych punktach naczyń połączonych wypełnionych jedną cieczą należy pamiętać, że ciśnienie w punktach leżących na jednym poziomie jest jednakowe (zasadę tę wykorzystujemy np. wylewając wodę z czajnika – rys. I-2).

Rys. I-

W przypadku gdy naczynia połączone wypełnione są różnymi niemieszającymi się cieczami, ciśnienie hydrostatyczne na granicy rozdziału każdej z cieczy jest jednakowe, a więc ciśnienie hydrostatyczne dla dolnej cieczy jest takie samo jak dla górnej.

a) Naczynia otwarte, wypełnione jednorodną cieczą

W przypadku, gdy naczynia połączone wypełnione są jednorodną cieczą, wówczas we wszystkich naczyniach zwierciadło cieczy ułoży się na takim samym poziomie.

A B linia jednakowego ciśnienia

h

pa pa

Rys. I-

Ciśnienie w dowolnych dwóch punktach A i B leżących na takiej samej głębokości h jest jednakowe, czyli:

p (^) A = pB = pa + γ h ( I-8 )

b) Naczynia zamknięte, wypełnione jednorodną cieczą – różne ciśnienia

Rys. I-

h 1 A (^) B linia jednakowego ciśnienia

p 1

p 2

h 2

h 1 A (^) B linia jednakowego ciśnienia

p 1

p 2

h 2

I.1.5. Przyrządy do pomiaru ciśnienia

a) Piezometr

Piezometr jest najprostszym przyrządem służącym do pomiaru niewielkich nadciśnień i podciśnień. Przyrząd ten jest pojedynczą, otwartą rurką wypełnioną cieczą, której ciśnienie mierzymy. Na zwierciadło cieczy w piezometrze działa ciśnienie atmosferyczne pa. Wysokość h słupa cieczy w rurce jest zatem wysokością nadciśnienia, czyli wysokością ciśnienia piezometrycznego na powierzchni jednakowych ciśnień 1-1.

h

pa pa

A 1-

Rys. I-6 Piezometr

PRZYKŁAD I-

Oblicz ciśnienie i nadciśnienie w punkcie A zbiornika (rys. I-6), jeżeli woda w rurce piezometrycznej wznosi się na wysokość h.

Dane : h = 100 cm, pa = 1013 hPa, γW = 9,81 kN/m^3 Szukane: pA , pA – pa

Rozw .: Wartość ciśnienia w punkcie A:

p (^) A = pa + γ h = 101 , 3 kPa+ 9 , 81 ⋅ 1 kPa= 111 , 11 kPa ( I-13 )

Wartość nadciśnienia w punkcie A:

p (^) A − pa = γ ⋅ h = 9 , 81 ⋅ 1 kPa=9,81kPa ( I-14 )

b) Manometr cieczowy otwarty

Manometr cieczowy wykonany jest z rurki szklanej, wygiętej w kształcie litery U, której jeden koniec jest otwarty. Rurka ta wypełniona jest cieczą manometryczną (z reguły jest nią rtęć) o gęstości większej niż gęstość badanej cieczy.

A

h

B

C

p

z

γw

γHg

Rys. I-7 Manometr cieczowy otwarty

PRZYKŁAD I-

Oblicz ciśnienie p gazu działające na powierzchnię zwierciadła wody w zbiorniku zamkniętym (rys. I-7).

Dane : h = 100 cm, γHg = 133,4 kN/m^3 , z = 20 cm, pa = 1013 hPa, γW = 9,81 kN/m^3 Szukane: p

Rozw .: Ciśnienia w punktach A i B są jednakowe, czyli:

p p h z p p p h

p p p z a Hg W A B a Hg

A B W γ γ

( I-15 )

Po podstawieniu danych:

p = 101 , 3 + 133 , 4 ⋅ 1 − 9 , 81 ⋅ 0 , 2 = 232 , 7 kPa ( I-16 )

d) Wakuometr

Wakuometr jest przyrządem służącym do pomiaru podciśnienia. Wykonany jest z rurki łączącej zbiornik, w którym panuje szukane podciśnienie oraz naczynie wypełnione cieczą manometryczną. Dzięki działaniu ciśnienia atmosferycznego ciecz manometryczna zostaje wtłoczona do rurki na wysokość odpowiadającą wysokości podciśnienia.

p (^) z

pA

powietrze

rtęć

h

Rys. I-9 Wakuometr

PRZYKŁAD I-

Obliczyć podciśnienie p nad zwierciadłem cieczy w zamkniętym zbiorniku wypełnionym wodą (rys. I-9). Jaki popełnia się błąd względny ε , jeżeli zaniedbuje się zmianę ciśnienia powietrza zachodzącą wraz z wysokością?

Dane : γHg = 133400 N/m^3 , γpow = 12 N/m^3 , pa = 101325 Pa, z = 0,5 m, h = 0,2 m Szukane : p, ε

Rozw.: Szukane ciśnienie na poziomie zwierciadła wody w zbiorniku wynosi:

p =γ (^) pow ( z − h ) − γ rtz + pa ( I-20 )

Po podstawieniu danych:

p = 12 ⋅ ( 0 , 5 − 0 , 2 ) − 133400 ⋅ 0 , 5 + 101325 = 34628 , 6 Pa ( I-21 )

Pomijając zmianę ciśnienia powietrza wraz z wysokością:

p = pa − γ (^) rtz = 101325 − 133400 ⋅ 0 , 5 = 34625 Pa ( I-22 )

Błąd względny jaki popełniamy przy pominięciu działania gazu:

0 , 06 ‰ 34628 , 6

ε = ( I-23 )

Tak mały błąd popełniamy przy pominięciu ciśnienia gazu tylko przy małych różnicach wysokości. Dlatego ciśnienie to można pominąć w przypadku zbiorników.

I.1.6. Obliczanie ciśnienia w punkcie – zadania

PRZYKŁAD I-5 Prasa hydrauliczna

Na ciecz znajdującą się w dwóch połączonych ze sobą naczyniach (rys. I-10) działa tłok o średnicy d 1 z siłą P 1. Obliczyć z jaką siłą P 2 drugi tłok o średnicy d 2 prasuje przedmiot nad nim umieszczony i o ile zostanie przesunięty w górę, jeżeli pierwszy z tłoków opuszczono o s 1.

Uwaga: Wpływ ciśnienia wywołanego siłą ciężkości jest pomijalnie mały w stosunku do ciśnienia wywołanego działaniem sił powierzchniowych.

Dane : d 1 = 5 cm, d 2 = 50 cm, s 1 = 10 cm, P 1 = 500 N Szukane : s 2 d

P 1

d

P 2

s 1

s 2

Rys. I-10 Prasa hydrauliczna