I.2 Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego, Ćwiczenia z Fizyka

Pobierz I.2 Promieniowanie Ciała Doskonale Czarnego i więcej Ćwiczenia w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

I.2 Promieniowanie Cia

a

Doskonale Czarnego

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

CIA

O DOSKONALE CZARNE (CDCz)

CDCz jest to takie cia

ło, którego zdolno

absorpcyjna

a(

, T) nie zale

y od d

ługo

ści fali i wynosi 100%.

Promieniowanie CDCz o temperaturze T: interesujenas promieniowanie e-m pozostaj

ce w równowadze z

CDCz (dla ka

dej d

ługo

ści fali tyle samo

promieniowania jest emitowane co absorbowane).

Fizyka IVBC

4

r. akad. 2004/

Wyprowadzenie Boltzmanna:

ś

ą

U^

Vu

I zasada termo d ynamiki : dQ

dU

pdV

du

udV

V^

dT

udV

Vdu

udV

d(Vu)

pdV

dQ

dT

dS

,

T^

T^

p T

)^

u

(T

T

=

=^

+

⋅^

+

+^

+^

⋅

+

=^

=^

=

=

=

4

1

3

3

3

Energia

wewn

ętrzna:

Entropia:Pami

ętamy,

ci nienie:

że entropia jest funkcj

stanu zmiennych (V, T) czyli je

ó^

ł

ł^

ś^

ó^

ó^

ść

T^

V

S^

S

dS

dV

dT

V^

T

S^

S

T^

V^

V^

T

u T^

T

^

^

^



∂^

∂

^

^

^



=^

+

^

^

^



^

^

^



^

^

^



∂^

∂

∂^

∂ =

∂^

∂^

∂^

∂

∂^

 ∂

2

2

(^43)

j r

ż

niczka

jest zu

pe na:

Z zupe no ci r

ż

niczki wynika r wno

2-gich pochodnych:

V^

du

dT

.

u^

T

u^

du

u

,^

,

V^

T^

T^

dT

T

^



^

∂^

∂ ^



^ =

⋅^

=^

⋅

^



 ^

^

^



^

^

∂^

=



∂

1

4 3

4

3

co daje nam:

czyli

4

0

c

u(T)

d

u( , T)

T

R(T)

d

u( , T)

T

4

∞

′

=

λ ⋅

λ

=

σ ⋅

=

λ ⋅

λ

=

σ ⋅

∫

∫

Wniosek zteoriiMaxwella

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

Przyk

ład widma CDCz

Kosmiczne Promieniowanie T

ła – pomiar z satelity COBE

T=2.7356 K

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

Pami

tajmy,

e oprócz widm ci

g

łych cia

ła

promieniuj

widma liniowe, pasmowe etc.

Przyk

ładem s

serie widmowe atomów wodoru.

Seria Balmera czyli przej

ścia z ró

nych poziomów do

poziomu o n=

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

Model CDCz: wn

ka z promieniowaniem

Wewn

ą

trz wn

ę

ki – e-m fale stoj

ą

ce z w

ę

z

łami

na

ś

ciankach wn

ę

ki.

kraw

ęd

ź^

a

Jan Królikowski

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

Rozk

ład Boltzmanna

Najbardziej prawdopodobny rozk

ład liczb cz

ą

stek

o danych energiach dla uk

ładu N cz

ą

stek w

temperaturze T:

ś

ą

ó

gdzie normalizacja dana jest przez:

i^

N=

N(E)dE

Funkcja g(E) jest g

ę

sto ci

stan w o danej energii E.

E kT E kT

N

N(E) dE

e

g(E) dE

Z

Z

g(E) e

dE

=

=

∫

∫

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

Max Planck ok. roku

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

Wzór empiryczny Plancka

c T

c

u (

, T )d

d

e

λ

λ

=

λ

λ

− 2

1

1

Wzór Plancka

h ck T h k T

h c

u (

, T )d

d

e

h

u (

, T )d

d

c

λ e

ν

π

λ

λ

=

λ

λ

−

π

ν

ν

ν

=

ν

−

5

3

3

8

1

1

8

1

1

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

Dalsze badania: znalezienie postaci f(

λT) ze wzoru Wiena

Metoda: •

Wn

ka z promieniowaniem o obj. V jest dobrym

modelem CDCz.

Mo

na

atwo obliczy

ć^

liczb

fal stoj

cych o cz

sto

ści

(czy te

d

ługo

ści fali

): N(

)= n(

V

rednia energia fal o okre

ślonej cz

sto

ści

: <E(

,T)>;

obliczenia wymagaj

znajomo

ści rozk

ładu

Boltzmanna i s

nieco bardziej z

ło

one.

Klasycznie, na gruncie falowej teoriipromieniowania e-m energia fali nie zale

y od

, a

tylko od amplitudy (nat

enia) fali. Wtedy

<E(

,T)>=<E(T)>.

Ostatecznie

u(

,T)d

= n(

)<E(

,T)>d

Fizyka IVBC

16

r. akad. 2004/

Ca

łkowanie w przestrzeni w

z

łów

(^

)

x^

y^

z

n

n

n

a

r dr

d

c a

r^

c

a

r dr

d r

d

c

^



^



=

ν

=

^



^



^



^



^



=

=

ν

ν

+

+

^



^



=

ν

ν

^





^



^













2

2

2

3

2 2

3

2

2

3

2

1

1

2

2

3

3

3

Fizyka IVBC

17

r. akad. 2004/

Ile fal o cz

ęsto

ściach pomi

ędzy

a

+d

i ró

żnych kierunkach

wektorów falowych znajduje si

ę^

we wn

ęce CDCz?

Nale

ży policzy

ć^

liczb

ę^

w

ęz

łów w 1/8 warstwy kuliste

j^

o promieniu r=

i grubo

ści dr w przestrzeni w

ęz

łów n

i.

a 2 ν c^

ź^

ść

łó

łó

ą^

ś^

ś

'

2

Wprowad my g

ęsto

wę

z^

w N

ęz

w :

r

tego liczba fal stoj cych o jednej polaryzacji w przedziale cz

ę^

to ci [

,

+^

w

(r)

r N '(r)dr

r N '(r)dr

Liczbaw

a

Zamieniamy zmienne :

dr

d

c

Wobec

d^

]

π^

π =^ 

 ^



=^

ν^

ν

^

 ^

 ^



ν ν

ν

2

2 3

2

4

8

2 2

ś^

ą

ść

ą

ynosi:^33 8

a

N(

)

, za

uwzgl

ędniaj c obie polaryzacje: N(

)d

=

c

Ostatecznie g

ęsto

fal stoj cych:

N(

)d

n(

)d

=

V

a

d^

N '(r)dV

d^

d

^ c

^

π^

π

^



ν^

ν^

=^

=

ν^

ν

ν ν^

ν

ν

ν^

ν^

ν^

ν

^

 ^

 ^

(^3) 

2

2

2

2

d π c =^

ν^

ν 2 8 3

Fizyka IVBC

r. akad. 2004/

c c exp(

)

λ^

−^

λ 1

5

2

1

kT π^

λ

8 5 λ

hc

hc exp(

) kT

π λ^

− λ

5 8

1

1

Jan Królikowski

Fizyka IVBC

20

r. akad. 2004/

Obliczenie <E(

ν , T)> i u (

, T) przez Plancka

(^

)

ą^

h

Wyra

żenie w nawiasie pod logarytmem jest sum

post

ępu geometrycznego z q=exp(-

n^

n

n

n

E ( , T)

P ( , T)

nh

nh

exp(

)^

d

kT

nh

E( , T)

ln

exp(

) kT

nh

d( / kT)

P ( , T)

exp(

) kT

) : kT

d

E( , T)

ln

d( / kT)

exp

∞^ =

ν^

⋅^

ν^

ν

ν ⋅

−

ν

<

ν^

>=

=

=

−

−

ν

ν^

−

ν

<

ν^

>=

−

−

0

1

1

1

1

5 8

hc

u(

,

lub

T)d

=

h

exp(

) kT

h

h^

(^

exp(

))(

)

kT

h^

h

(^

)^

(^

exp(

))

kT

kT

h h

exp(

) kT

Ostateczni

h

u( , T)d

d^

d

h^

hc

c^

exp(

)^

exp(

)

kT

T

e

k

:

− ν

− ν

=

ν^

−

−

=

− ν

πν

ν^

π

ν^

ν^

=

ν^

λ^

λ^

λ

ν^

− ν λ

−

ν

=

ν^

−

−

− λ

(^23)

2

8

(^11)

1

1

1

1

1