Pobierz Iloczyn skalarny - Notatki - Mechanika i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity! 2.3.1. Iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym (skalarowym) dwóch wektorów a i b nazywamy skalar równy iloczynowi modułów obu wektorów przez kosinus kąta zawartego między nimi.· O a b α Rys. 2.8. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego Jeżeli kąt między wektorami oznaczymy przez α (rys. 2.8), a operację mnożenia skalarnego przez a·b, to otrzymamy: .cosα=⋅ baba (2.11) Po uwzględnieniu we wzorze (2.11) zależności (2.2) iloczyn skalarny możemy przedstawić jako iloczyn rzutu jednego wektora na kierunek drugiego i modułu drugiego. ( ) ( ) ( ) ( )a b⋅ = = = =a b b a a Rz b bRz aacos cosα α b . (2.12) Iloczyn skalarny jest równy zeru (poza przypadkami, gdy a = 0 lub b = 0), gdy cos = 0. Wynika stąd warunek prostopadłości (ortogonalności) dwóch wektorów: a b a b⋅ = ⊥0, .gdy (2.13) Z faktu, że funkcja kosinus jest funkcją parzystą [cosα = cos(–α)], wynika, że do iloczynu skalarnego stosuje się prawo przemienności: .abba ⋅=⋅ Iloczyn skalarny podlega również prawu rozdzielności mnożenia skalarnego względem dodawania: ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ . Dowód tej własności wynika bezpośrednio z przytoczonego w poprzednim punkcie twierdzenia Charles’a oraz z zależności (2.2): docsity.com ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) .cabacb cbcbcba ⋅+⋅=+= =+=+=+⋅ aa aaa RzaRza RzRzaRza Jeżeli pomnożymy równanie (2.11) przez dowolny skalar k, to otrzymamy prawo łączności mnożenia iloczynu skalarnego przez skalar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).kkcosbka=cosbakk bababa ⋅=⋅=αα=⋅ Wektor pomnożony skalarnie przez siebie jest równy kwadratowi modułu: a a⋅ = a a cos0 = a .2 (2.14) Z podanych wyżej rozważań wynika, że iloczyn skalarny – poza wzorem (2.13) – ma takie same własności jak iloczyn algebraiczny liczb. Gdy mamy dowolny wektor a oraz oś l określoną przez wektor jednostkowy el (rys. 2.3), to na podstawie równania (2.12) rzut tego wektora na oś l wyraża wzór: ( ).Rz=cosa ll aea α=⋅ (2.15) Z zależności tej będziemy często korzystać przy obliczaniu współrzędnych wektora w danym układzie współrzędnych. Obecnie podamy zależności między wersorami i, j, k prostokątnego układu współrzędnych. Na podstawie wzorów (2.14) i (2.13) otrzymujemy: ⎭ ⎬ ⎫ =⋅=⋅=⋅ =⋅=⋅=⋅ .0 ,1 ikkjji kkjjii (2.16) Gdy wektory a i b zapiszemy analitycznie za pomocą ich współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z: ⎭ ⎬ ⎫ ++= ++= ,bbb ,aaa zyx zyx kjib kjia (2.17) to ich iloczyn skalarny na podstawie wzorów (2.16) można wyrazić przez współrzędne: a b⋅ = + +a b a b a bx x y y z z . (2.18) Porównanie wzorów (2.11) i (2.18) pozwala obliczyć kąt między wektorami: docsity.com prawoskrętny, należy zmienić zwrot wektora c na przeciwny, jak na rys. 2.9, czyli gdy .to, cabcba −=×=× Widzimy zatem, że do iloczynu wektorowego nie stosuje się prawo przemienności: .abba ×−=× (2.23) Można wykazać [6, 9], że iloczyn wektorowy podlega prawu rozdzielności mnożenia wektorowego względem dodawania: ( ) .dabadba ×+×=+× (2.24) Do iloczynu wektorowego stosuje się również prawo łączności mnożenia przez dowolny skalar k: ( ) ( ) ( ).kkk bababa ×=×=× (2.25) Powyższa równość wynika bezpośrednio z porównania modułów powyższych iloczynów wektorowych. Iloczyny wektorowe wersorów i, j, k prostokątnego prawoskrętnego układu współrzędnych x, y, z wynikają bezpośrednio ze wzoru (2.22) oraz z definicji iloczynu wektorowego ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ −=×−=×−=× =×=×=× =×=×=× . , ,0 jkii,jkk,ij jiki,kjk,ji kkjjii (2.26) Obecnie wyrazimy iloczyn wektorowy dwóch dowolnych wektorów a i b za pomocą ich współrzędnych w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z. Po podstawieniu zależności (2.17) do wzoru na iloczyn wektorowy mamy: ( ) ( ).bbbaaa zyxzyx kjikjibac ++×++=×= Po wykonaniu działań, wykorzystaniu zależności (2.26) oraz pogrupowaniu wyrazów przy poszczególnych wersorach powyższy wzór przyjmie postać: ( ) ( ) ( ) .babababababa xyyxzxxzyzzy kjic −+−+−= (2.27) docsity.com Wyrażenie po prawej stronie tego równania jest rozwinięciem wyznacznika . kji c zyx zyx bbb aaa= (2.28) W celu obliczenia współrzędnych iloczynu wektorowego należy wektor c zapisany analitycznie: c c cx y, , z kc i j= + +c c cx y z podstawić do równania (2.27). Z porównania wyrazów przy tych samych wersorach otrzymamy: ( ) ( ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ −= −= −= .babac ,babac ,babac xyyxz zxxzy yzzyx ) (2.29) docsity.com 2.3.3. Iloczyny złożone trzech wektorów W poprzednich dwóch punktach omówiliśmy iloczyn skalarny oraz iloczyn wektorowy dwóch wektorów. Wektory te mogły być w szczególności sumą kilku wektorów. Obecnie podamy określenia iloczynów podwójnych złożonych z trzech wektorów. Będzie to iloczyn mieszany trzech wektorów oraz podwójny iloczyn wektorowy trzech wektorów. Ograniczymy się przy tym tylko do określenia tych iloczynów oraz podania podstawowych zależności niezbędnych do przekształceń wzorów wektorowych w dalszych rozdziałach. Dowody na podane niżej przekształcenia można znaleźć w literaturze [6, 9, 11]. Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b i c nazywamy iloczyn skalarny jednego z tych wektorów, np. wektora a, przez wektor będący iloczynem wektorowym dwóch pozostałych: ( ).cba ×⋅ (2.30) Z podanej definicji wynika, że iloczyn mieszany jest skalarem. W interpretacji geometrycznej iloczyn mieszany jest równy liczbowo objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach a, b i c. Z podanej interpretacji geometrycznej wynika, że gdy wektory te leżą w jednej płaszczyźnie, to iloczyn mieszany jest równy zeru. Wartość iloczynu mieszanego nie ulega zmianie, jeżeli w iloczynie tym będziemy zmieniać cyklicznie kolejność wyrazów: ( ) ( ) ( ).bacacbcba ×⋅=×⋅=×⋅ (2.31) Jeżeli wektory występujące w iloczynie mieszanym przedstawimy analitycznie: ,ccc ,bbb ,aaa zyx zyx zyx kjic kjib kjia ++= ++= ++= to iloczyn mieszany można zapisać w postaci wyznacznika utworzonego ze współrzędnych wektorów: ( ) .cba zyx zyx zyx ccc bbb aaa =×⋅ (2.32) docsity.com