Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Przygotuj się do egzaminów
Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity
Otrzymaj punkty, aby pobrać
Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium
Społeczność
Odkryj najlepsze uniwersytety w twoim kraju, według użytkowników Docsity
Bezpłatne poradniki
Pobierz bezpłatnie nasze przewodniki na temat technik studiowania, metod panowania nad stresem, wskazówki do przygotowania do prac magisterskich opracowane przez wykładowców Docsity
Opracowanie z zakresu przedmiotu
Typologia: Streszczenia
1 / 12
Ta strona nie jest widoczna w podglądzie
Nie przegap ważnych części!
Problemy z analitycznym rozwiązaniem równań typu:
3
lub układów równań jak na przykład:
2
2
2
Jedynie metody numeryczne pozwalają znaleźć rozwiązania. Rozpoczynamy od równań nieliniowych jednej zmiennej.
Rozwiązywanie równań nieliniowych postaci F(x)= 0, gdzie funkcja F(x) jest funkcją nieliniową jednej zmiennej opiera się na twierdzeniu, iż funkcja F(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i F(a)F(b)<0 to w przedziale domkniętym [a,b] istnieje co najmniej jeden pierwiastek równania F(x)= 0.
Jeżeli ponadto pochodna z funkcji F(x) w tym przedziale jest stałego znaku to istnieje tylko jeden taki pierwiastek.
Typowe dwa kroki prowadzące do rozwiązania: •Pierwszy krok - znalezienie przedziału izolacji pierwiastka równania nieliniowego tj. przedziału na którego końcach funkcja ma przeciwne znaki. •Drugi krok - konstrukcja odpowiedniej procedury rekurencyjnej, która w procesie iteracji wygeneruje ciąg zbieżny do rozwiązania równania.
Nie istnieją ogólne metody doboru przedziału [a,b], tak by funkcja miała przeciwne znaki na końcach przedziału. Często najlepszym wyjściem jest wstępne tablicowanie funkcji i sprawdzenie, gdzie zmienia ona znak.
Nie zawsze proste reguły wystarczają (jak na rysunku (a)).
Podwójne miejsce zerowe (b)
Nieskończenie wiele miejsc zerowych
Asymptoty
Metoda siecznych (cięciw) Zakładamy, że funkcja F(x) jest klasy C^2 w przedziale [a,b]. Metoda siecznych polega na prowadzeniu kolejnych cięciw pomiędzy punktami na krzywej F(x) w sposób następujący:
F(x)
a (^) x 1 x 2 x 3
b
x 4
x
załóżmy, że
równanie pierwszej cięciwy ma postać
stąd
jeśli nie, to sprawdzamy, czy
jeśli tak to podstawiamy b=x 1 jeśli nie to podstawiamy a=x 1
i powracamy do punktu 2).
Metoda cięciw jest zawsze zbieżna dla funkcji ciągłej i to na ogół szybciej niż metoda bisekcji. Może być w pewnych przypadkach słabo zbieżna szczególnie, gdy miejscem zerowym jest punkt położony blisko końców przedziału.
Metoda stycznych (Newtona).
Metoda Newtona jest zbliżona do metody siecznych z tą różnicą że pierwiastek przybliżany jest przez miejsca zerowe stycznych do funkcji F(x) , a nie cięciw tej funkcji.
F(x)
a
xi+1 xi b
Metoda jest zbieżna jeśli w przedziale gdzie występuje pierwiastek dobierzemy w odpowiedni sposób punkt startowy. Zasada jest następująca:
-jeśli to x 1 = a
-jeśli to x 1 = b.
i i
i i
Równanie prostej stycznej do funkcji F(x) w punkcie xi ma postać
Stąd podstawiając y =0 otrzymujemy punkt przecięcia stycznych z osią rzędnych
0 1 0 0
Równanie prostej stycznej do funkcji F(x) w punkcie x 0 ma postać
Stąd podstawiając y =0 otrzymujemy punkt przecięcia stycznych z osią rzędnych
Następnie w celu otrzymania kolejnych przybliżeń pierwiastka równania używamy wzoru
1 0
i i i
Metoda powyższa wymaga więcej iteracji (jest wolniej zbieżna) natomiast unika się obliczania wartości pochodnej w każdym kolejnym punkcie xi co w efekcie może prowadzić do szybszego otrzymania rozwiązania.
mianownik nie ulega zmianie
Równania nieliniowe Przykład:
Obliczanie pierwiastków kwadratowych tj.
Rozwiązanie jest równoważne rozwiązaniu równania nieliniowego
Korzystając z równania iteracyjnego Newtona
np. dla R= 17 można przyjąć że x 0 = 4. Otrzymamy wtedy: x 1 = 4. x 2 =4. x 3 =4. x 4 =4.
Ilość cyfr znaczących podwaja się w każdej iteracji. Metoda znajdowania pierwiastka wykorzystywana w wielu bibliotekach (a była już znana Heronowi z Aleksandrii - I w n.e.)
i i
i i
i
i i
i i i
2 1
Niefortunne przypadki gdy metoda Newtona zawodzi
Proces iteracji powinien być kończony jeśli w procesie iteracji osiągnięty zostanie stan gdy: a) gdzie jest wielkością co najmniej kilkanaście rzędów mniejszą niż zakres zmienności F(x) w przedziale [a,b] b) xk+ 1 = xk tj. wartości argumentu nie ulegają zmianom c) iteracja trwa zbyt długo tj. k>kmax d) xk znalazło się na zewnątrz przedziału [a,b] e) procedura jest rozbieżna tj. ciąg F(xk) nie zbliża się do zera (lub oddala się od niego); w tym wypadku początkowy przedział został wybrany nieprawidłowo – zbyt szeroki.
Można udowodnić twierdzenie mówiące, że gdy [a,b] jest przedziałem izolacji pierwiastka równania
i pochodna funkcji spełnia warunek
to proces iteracji jest zbieżny do.
x (^) 0 ∈ [ a b , ]
Moduł pochodnej musi być mniejszy od jedności co jest równoważne wyrażeniu
Rozwiązując ostatnią nierówność możemy wyznaczyć przedział wartości współczynników λ zapewniających zbieżność procesu.
Dla układów równań nieliniowych nie istnieją uniwersalne algorytmy prowadzące do znalezienia rozwiązania. By unaocznić trudności rozwiążmy układ dwóch równań nieliniowych z dwoma niewiadomymi :
g(x,y)=
f(x,y)=
g(x,y)= g(x,y)= f(x,y)=
Rozwiążmy następujący układ:
Niech
2
1
( x 1 , x 2 ) będzie przybliżonym rozwiązaniem układu zaś ( ε 1 , ε 2 ) poprawkami które dają lepsze przybliżenie rzeczywistego rozwiązania w punktach ( x 1 + ε 1 , x 2 + ε 2 )
Rozwińmy funkcję w szereg Taylora z zachowaniem wyłącznie członów liniowych:
2
2 1 1
2 2 1 1 2 2 2 1 2
2 2
1 1 1
1 1 1 1 2 2 1 1 2
1 2
1 2
0 , ,
x x
x x
x
f x
f f x x f x x
x
f x
f f x x f x x
2
1 2
1
2
2 1
2
2
1 1
1
2 1 2
1 1 2
1 2
1 2 ,
ε
ε ε
ε J
x
f x
f
x
f x
f
f x x
f x x
x x
x x
2 1 2
1 1 1 2 2
1 ,
f x x
f x x J
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
k
k k
k k
k x
x x
x 2
1 2
1 1 2
1 1
Rozwiązanie układu istnieje gdy macierz J jest nieosobliwa:
Rozwiązanie jest otrzymywane poprzez wielokrotne rozwiązywanie powyższego układu równań i poprawianie aproksymacji rozwiązania dokładnego.
Rozwiązanie układu jedną z poznanych metod rozwiązywania u.r.l.
Poniżej przedstawiony zostanie ogólny algorytm do rozwiązania układów równań nieliniowych spełniających dość ogólne założenia. Niech będzie dany układ N funkcji nieliniowych
f (^) i ( x (^) 1 , x (^) 2 ,… xN )= 0 Układ ten zapisujemy niekiedy w formie wektorowej
f x = 0 [ ]
x x x … xN
T = 1 , 2 , [ ]
f f x f x f (^) N x
T = 1 ( ), 2 ( ), ( )
Rozwiązywanie układów równań odbywa się najczęściej na drodze skonstruowania pewnego procesu iteracyjnego zbieżnego do rozwiązania x 1
