6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Dla dowolnych liczb
a , b
:
(
a+b
)
2
=a
2
+2ab+b
2
(
a−b
)
3=a3−3a2b+3ab2−b3
(
a−b
)
2=a2−2ab +b2
(
a+b
)
3=a3+3a2b+3ab2+b3
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b
zachodzi wzór:
a
n
−b
n
=
(
a−b
)
(
a
n−1
+a
n−2
+…+n
n−k
b
k−1
+…+ab
n−2
+b
n−1
)
W szczególności:
a
2
−b
2
=
(
a−b
) (
a+b
)
a
3
−b
3
=
(
a−b
)
(
a
2
+ab +b
2
)
a
3
+b
3
=
(
a+b
)
(
a
2
−ab+b
2
)
a
2
−1=
(
a−1
) (
a+1
)
a
3
−1=
(
a−1
)
(
a
2
+a+1
)
a
2
+1=
(
a+1
)
(
a
2
−a+1
)
a
n
−1=
(
a−1
)
(
a
n−1
+a
n−2
+…+a+1
)
7. CIĄGI
Ciąg arytmetyczny
Wzór za n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
(
an
)
o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r:
an=a1+
(
n−1
)
r
Wzór na sumę
Sn=a1+a2+…+an
początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
S
n
=a
1
+a
n
2∙ n=2a
1
+
(
n−1
)
r
2∙ n
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
a
n
=a
n−1
+a
n−1
2dla n ≥ 2
Ciąg geometryczny
Wzór za n-ty wyraz ciągu geometrycznego
(
an
)
o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:
a
n
=a
1
⋅q
n−1
dla n ≥ 2
Wzór na sumę
Sn=a1+a2+…+an
początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:
S
n
=
{
a
1
⋅1−q
n
1−qdla q ≠ 1
n⋅a
1
dlaq=1
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
a
n
2
=a
n−1
⋅a
n+1
dla n ≥ 2
Procent składany
