Instrukcja oceny niepewności pomiarów w I Pracowni ..., Ćwiczenia z Język polski

Pobierz Instrukcja oceny niepewności pomiarów w I Pracowni ... i więcej Ćwiczenia w PDF z Język polski tylko na Docsity! 1 Instrukcja oceny niepewności pomiarów w I Pracowni Fizycznej. Normy międzynarodowe. I. Wprowadzenie W roku 1995, po wielu latach pracy, uzgodniono międzynarodowe normy dotyczące terminologii i sposobu określania niepewności w pomiarach. Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) opublikowała „Przewodnik” [1], który został przełożony na język polski [2]. Stosowanie norm ISO w zakresie obliczania i podawania niepewności pomiarów jest obowiązkiem, podobnym do obowiązku stosowania układu [SI]. II. Podstawowe pojęcia 1. Niepewność a błąd pomiaru W przypadku pojedynczych pomiarów stosuje się określenia: Błąd bezwzględny: 0xx −=∆ Błąd względny: 0x ∆=δ , gdzie x – wartość zmierzona, x0 – wartość rzeczywista. Wielkości określone wzorami (1) i (2) są pojedynczą realizacją zmiennej losowej. W praktyce wartości rzeczywistych wielkości mierzonych są nieznane i szacuje się niepewności pomiarowe wynikające ze statystycznych praw rozrzutu pomiarów. Niepewność pomiaru – parametr związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, który można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej. Wszystkie pomiary obarczone są niepewnościami pomiarowymi, które można zmniejszać stosując lepsze przyrządy pomiarowe, lecz nie można ich całkowicie wyeliminować. 2. Niepewność standardowa wyniku pomiaru bezpośredniego wielkości X, (oszacowanie odchylenia standardowego). Oznaczenie: u (uncertainty). Sposoby zapisu: u, u(x), u(stężenie NaCl). Symbol x w konkretnej sytuacji należy zastąpić symbolem mierzonej wielkości fizycznej. Niepewność standardowa względna: ( ) ( ) %100⋅= x xu xu r (1) 3. Ocena niepewności metodą typu A – oparta na metodzie określania niepewności pomiaru drogą analizy statystycznej serii wyników pomiarów, wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru i ma zastosowanie do błędów przypadkowych. 4. Ocena niepewności metodą typu B – obliczana na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego przez eksperymentatora (prawdopodobieństwa subiektywnego), który wykorzystuje wszystkie informacje o pomiarze i źródłach jego niepewności. Ocena typu B może być zastosowana w każdej sytuacji, zwłaszcza gdy 2 statystyczna analiza nie jest możliwa. Stosuje się ją do oceny błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru. 5. Złożona niepewność standardowa uc(y) jest niepewnością wyników pomiarów pośrednich y = f(x1, x2, x3,...,xk), gdzie symbole x1, x2, x3,...,xk oznaczają k wielkości mierzonych bezpośrednio. Jest ona obliczana (wyznaczana) z prawa przenoszenia niepewności pomiaru. 6. Niepewność rozszerzona U lub U(y) jest miarą pewnego „przedziału ufności" otaczającego wynik pomiaru pośredniego. Oczekuje się, że w przedziale tym jest zawarta duża część wartości, które w rozsądny sposób można przypisać wielkości mierzonej. Wartość U oblicza się mnożąc złożoną niepewność standardową przez bezwymiarowy współczynnik rozszerzenia k. 7. Współczynnik rozszerzenia k jest mnożnikiem złożonej niepewności standardowej, stosowanym w celu uzyskania niepewności rozszerzonej. III. Niepewności pomiarów bezpośrednich 1. Metoda typu A obliczania niepewności standardowej Ocena typu A opiera się na analizie statystycznej serii wyników pomiarów. Wykonywanie n pomiarów bezpośrednich jest odpowiednikiem losowania n - elementowej próbki {x1, x2, ....xn} z nieskończenie licznej populacji, którą stanowią wszystkie możliwe do wykonania pomiary. Jeżeli warunki zapewniają taką samą dokładność niezależnych pomiarów, to zmienna losowa, jaką jest wynik pojedynczego pomiaru podlega rozkładowi normalnemu (Gaussa). Za wynik pomiaru przyjmuje się średnią arytmetyczną n wyników pomiarów: ∑ = = n i ix n x 1 1 , (2) którą uznaje się za dobre oszacowanie (estymator) wartości prawdziwej x0. Wartość eksperymentalnego odchylenia standardowego charakteryzującego rozrzut wyników serii n pomiarów tej samej wielkości mierzonej można wyznaczyć ze wzoru: 2 1 )( )1( 1 )( xx n xs n i ii − − = ∑ = . (3) Takie odchylenie charakteryzuje każdy pomiar z osobna. Niepewnością standardową wyniku średniego x pomiaru wielkości X nazywamy odchylenie standardowe eksperymentalne średniej arytmetycznej, które oblicza się ze wzoru: 2 1 )( )1( 1 )( xx nn xu n i i − − = ∑ = . (4) UWAGA! Chociaż niepewność ta odnosi się do x jej symbolem jest )(xu a nie )(xu . Metoda regresji liniowej Ocenami niepewności typu A są wszelkie inne metody określania niepewności przy użyciu metod statystycznych, w tym np. metoda regresji liniowej. Zagadnienie polega na poprowadzeniu prostej y = ax + b, (5) 5 IV. Pomiar pośredni. Prawo przenoszenia niepewności W większości pomiarów fizycznych szukanej wielkość nie można zmierzyć bezpośrednio. Jest ona wyznaczana z zależności funkcyjnej: y= f(x1, x2, x3,...xk), (15) gdzie x1, x2, x3,...xk oznaczają wielkości mierzone bezpośrednio, a k oznacza ich ilość. Natomiast u( 1x ), u( 2x ), u( 3x ), ..., u( kx ) oznaczają niepewności standardowe tych wielkości. Złożona niepewność standardowa uc(y) wielkości fizycznej y jest wyznaczana z prawa przenoszenia (propagacji) niepewności, przy czym istotne jest określenie czy wielkości x1, x2, x3,...xk zostały zmierzone w pomiarach skorelowanych czy nieskorelowanych. 1. Wielkość złożona - pomiary bezpośrednie nieskorelowane W pomiarach nieskorelowanych każdą wielkość mierzy się w innym, niezależnym doświadczeniu (przy użyciu innego przyrządu i w innym czasie). Funkcja jednej zmiennej Jeżeli wielkość y zależy tylko od jednej bezpośrednio mierzonej wielkości fizycznej o wartości x i przyjmując, że niepewność u(x) jest mała w porównaniu z wartością mierzoną x, niepewność u(y) można obliczyć jako iloczyn pochodnej funkcji i niepewności u(x): )()( xu dx dy yu = . (16) Funkcja wielu zmiennych Przybliżoną złożoną niepewność standardową uc(y) wielkości y, liczonej na podstawie zmierzonych bezpośrednio wielkości x, oblicza się korzystając z prawa przenoszenia niepewności pomiarów bezpośrednich nieskorelowanych: )()( 2 2 1 i k i i c xu x y yu ∑ =       ∂ ∂= , (17) Powyższy wzór stanowi wyraz liniowy rozwinięcia szeregu Taylora. 2. Wielkość złożona – pomiary bezpośrednie skorelowane W pomiarach skorelowanych wielkości są mierzone bezpośrednio za pomocą jednego zestawu doświadczalnego w tych samych warunkach, a więc bez wprowadzania jakichkolwiek zmian w układzie pomiarowym i w tym samym czasie. W praktyce oznacza to, że na przykład wszystkie pomiary w złożonych układach elektrycznych są pomiarami skorelowanymi. Pomiary pośrednie skorelowane –obliczenia ścisłe. W pierwszym kroku należy określić niepewności standardowe wszystkich k wielkości mierzonych bezpośrednio u(x). W drugim kroku należy określić korelacje między wynikami pomiarów wielkości zmierzonych bezpośrednio. W tym celu korzysta się ze wzoru, wynikającego z rozwinięcia w szereg Taylora: ( ) ( ) ( ),,2)()( 1 1 1 2 2 1 ∑∑∑ − = +== ⋅⋅ ∂ ∂ ∂ ∂+      ∂ ∂= k i k ij jiji ji i k i i c xxrxuxu x y x y xu x y yu (18) gdzie 6 ( ) ( ) ( ) ( )ji ji ji xuxu xxu xxr ⋅ = , , (19) Jest estymatorem współczynnika korelacji, a ( )ji xxu , oznacza estymator kowariancji wielkości xi i xj. Pomiary pośrednie skorelowane –obliczenia uproszczone. Z uwagi na bardzo skomplikowane obliczanie złożonej niepewności standardowej wielkości mierzonej pośrednio o skorelowanych wielkościach wejściowych (mierzonych bezpośrednio) w pracowniach studenckich wygodniej jest postępować następująco: Wyniki yi oblicza się korzystając z kompletu wyników pomiarów bezpośrednich k wielkości xk,i uzyskanych w i-tym pomiarze yi= f(x1,i, x2,i, x3,i,...xk,i). Seria wyników yi, uzyskanych w n pomiarach, stanowi próbkę losową podobnie jak w pomiarach bezpośrednich. Przyjmuje się, że wynikiem pomiaru pośredniego jest: ∑ = = n i iy n y 1 1 , (20) a złożoną niepewność standardową wyniku określa wzór: uc( y ) = 2 1 )( )1( 1 yy nn n i i − − ∑= . (21) V. Niepewność rozszerzona i zapisywanie wyników Dla celów komercyjnych, przemysłowych, zdrowia i bezpieczeństwa zachodzi konieczność podania miary niepewności, która określa przedział otaczający wynik pomiaru zawierający dużą, z góry określoną, część wyników, jakie można przypisać wielkości mierzonej. Niepewność taka to niepewność rozszerzona (U(y) lub U) zdefiniowana wzorem: U(y) = k uc(y), (22) gdzie k to współczynnik rozszerzenia. Jest to umownie przyjęta liczba, wybrana tak, by w przedziale y ± U(y) znalazła się większość wyników pomiaru potrzebna do danych zastosowań. W zgodzie z międzynarodową praktyką do obliczenia U przyjmuje się umowną wartość k=2. Wartości inne mogą być stosowane tylko w szczególnych przypadkach. Typowe zastosowanie niepewności rozszerzonej na I Pracowni to wnioskowanie o zgodności wyniku z wartością tablicową lub porównanie wyników uzyskanych różnymi metodami. Jeżeli różnica uzyskanego wyniku i wartości tablicowej tyyy −=∆ jest mniejsza od wartości niepewności rozszerzonej U(y), to znaczy, że uzyskany wynik jest zgodny z wartością tablicową, w przeciwnym wypadku należy uznać uzyskany wynik za niezgodny z wartością tablicową. W przypadku porównania dwóch różnych niezależnych pomiarów tej samej wielkości fizycznej, do obliczenia niepewności rozszerzonej należy posłużyć się wzorem: ( ) ( ) ( )2 2 2 121 yuyukyyU +=− . (23) Wyniki pomiarów uważamy za równe w granicach niepewności pomiarowej, jeżeli .21 Uyy <− (24) Literatura 1. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, ISO, Switzerland 1995. 2. Wyrażanie niepewności pomiaru: Przewodnik, Główny Urząd Miar, Warszawa 1999. 3. H. Szydłowski, Niepewności w pomiarach. Międzynarodowe standardy w praktyce, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2001.