Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego, Notatki z Matematyka

Pobierz Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Interpretacja graficzna równania kwadratowego

zupełnego

Wprowadzenie Przeczytaj Symulacja interaktywna Sprawdź się Dla nauczyciela

Umiesz już rozwiązywać równania kwadratowe: obliczać wyróżnik trójmianu kwadratowego oraz pierwiastki równania.

W tym materiale zapoznasz się z interpretacją graficzną równania kwadratowego zupełnego, odczytasz z wykresu rozwiązania równania kwadratowego (jeżeli istnieją).

Rozwiązania równania kwadratowego , dla to inaczej miejsca zerowe funkcji kwadratowej , dla.

Twoje cele

Rozpoznasz równanie kwadratowe, którego interpretacja graficzna jest przedstawiona na rysunku Odczytasz z rysunku liczbę rozwiązań równania kwadratowego. Określisz zależności między współczynnikami równania.

Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

ax^2 + bx + c + 0 a ≠ 0

f(x) = ax^2 + bx + c + 0 a ≠ 0

Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego

Korzystając z interpretacji graficznej równania kwadratowego zupełnego, określimy znak współczynnika dla funkcji i znak wyróżnika trójmianu kwadratowego.

Ramiona paraboli są skierowane do dołu, zatem.

Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, zatem.

Przykład 2

Przedstawimy interpretację graficzną równania.

Współczynniki równania kwadratowego to , ,.

Obliczymy.

Ponieważ zatem funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych.

Ponieważ zatem ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zatem:

a f(x) = a(x − x 1 )(x − x 2 )

a < 0

2 x^2 + x + 3 = 0

a = 2 b = 1 c = 3

Δ = b^2 − 4ac

Δ = 1^2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1 − 24 = −

Δ < 0 f(x) = 2x^2 + x + 3

a > 2

Przykład 3

Obliczymy taką wartość parametru , dla której poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania.

Miejscem zerowym funkcji kwadratowej jest liczba , natomiast współczynnik.

Zatem funkcja kwadratowa określona jest wzorem.

Czyli równanie kwadratowe ma postać.

m

−x^2 + mx − 9 = 0

f(x) = −x^2 + mx − 9 3

a = −

f(x) = −(x − 3)^2

−(x − 3)^2 = 0

Z treści zadania wiemy, że

Czyli

.

.

Przykład 5

Korzystając z interpretacji graficznej równania , dla ustalimy znaki współczynników , , i.

Ponieważ ramiona paraboli są skierowane do góry, zatem.

Na podstawie wykresu możemy powiedzieć, że funkcja ma jedno miejsce zerowe, które jest liczbą ujemną.

Ponieważ zatem współczynnik również musi być liczbą dodatnią.

Zatem.

x^2 − bx − 2 = 0

−b = −

b = 1

ax^2 + bx + c = 0 a ≠ 0

a b c

a > 0

x 0 = − 2 ba

− 2 ba < 0

b

2 a > 0

a > 0 b

b > 0

Współczynnik jest drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji z osią.

Zatem na podstawie wykresu widzimy, że.

Słownik

parabola

wykres funkcji kwadratowej , dla

c Y

f(0) = a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c

f(0) = c

c > 0

f(x) = ax^2 + bx + c a ≠ 0

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia: (^) 輸 醙 難

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 1

Przeciągnij układ warunków, które spełnia dane równanie kwadratowe.

dla

dla

dla

dla

1 2 x

2 x^ − 5 = 0

√ 2 x^2 − 4x + 2√2 = 0

−2√ 3 x^2 + 2√3 = 0

−x^2 + √ 7 x − 2 = 0

a < 0

a < 0

a > 0

a < 0

a > 0

a > 0

輸

輸

Ćwiczenie 3

Wpisz w wyznaczone miejsce taką liczbę, aby rysunek przedstawiał interpretację graficzną otrzymanego równania.

x^2 − ⋅x + 3 = 0

醙

Ćwiczenie 6

Przenieś w wyznaczone miejsce taką liczbę, aby rysunek przedstawiał interpretację graficzną równania.

−x^2 + ⋅x − 5 = 0

醙

Ćwiczenie 7

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Równanie ma dwa różne rozwiązania ujemne.

Równanie ma jedno rozwiązanie.

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Równanie ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków.

Równanie ma jeden, dodatni pierwiastek.

Równanie jest równaniem sprzecznym.

x^2 − √2 = 0

−x^2 + 4x − 4 = 0

x^2 + 4 = 0

x^2 − √2 = 0

x^2 + 2√ 2 x + 2 = 0

x^2 + 6x + 9 = 0

難

Przeciągnij w wyznaczone miejsca znak > lub <.

a 0

b 0

c 0

< < > < > >

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling

Przedmiot: Matematyka

Temat: Interpretacja graficzna równania kwadratowego zupełnego

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony

Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres podstawowy.

Uczeń:

4. rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii kompetencje cyfrowe kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się

Cele operacyjne:

Uczeń:

rozpoznaje równanie kwadratowe, którego interpretacja graficzna jest przedstawiona na rysunku odczytuje z rysunku liczbę rozwiązań równania kwadratowego określa zależności między współczynnikami równania dobiera sposób rozwiązania do określonej sytuacji problemowej

Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

odwrócona klasa burza mózgów

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest rozwiązanie przykładu 2 i 3.

Materiały pomocnicze:

Równanie kwadratowe

Wskazówki metodyczne:

Symulacja interaktywna może być wykorzystana przez uczniów jako inspiracja do stworzenia prezentacji multimedialnej.