Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych, Prezentacje z Matematyka

Pobierz Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych i więcej Prezentacje w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne

dr Artur Woike

Wykład 11

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych

dr Artur Woike Zaawansowane metody numeryczne

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie do metod iteracyjnychMetoda Jacobiego Metoda Gaussa-Seidla

Ogólna postać metody iteracyjnej

Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania układów równań liniowych nazy- wamy ciąg wektorów

{ x(i)

} i ∈ N zdefiniowany następująco:

x(^0 )^ – dany wektor początkowy, ∀ i= 0 , 1 ,... x(i+^1 )^ = Mx(i)^ + w ,

gdzie M i w są odpowiednio pewną macierzą kwadratową i pewnym wektorem.

Metoda Gaussa-Seidla

Wektory własne i wartości własne macierzy

Definicja 11.2. (wektory i wartości własne) Niezerowy wektor x o składowych rzeczywistych lub zespolonych nazywamy wektorem własnym macierzy kwadratowej A jeżeli istnieje taka liczba λ (rzeczywista lub zespolona), że Ax = λ x. Liczbę λ nazywamy wartością własną macierzy A.

Twierdzenie 11.1. Liczba λ jest wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego det(A − λ I ) macierzy A (gdzie I oznacza macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru).

dr Artur Woike Zaawansowane metody numeryczne

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie do metod iteracyjnychMetoda Jacobiego Metoda Gaussa-Seidla

Promień spektralny macierzy i zbieżność metody iteracyjnej

Definicja 11.3. (promień spektralny) Promieniem spektralnym macierzy kwadratowej A nazywamy licz- bę ρ (A) zdefiniowaną następująco:

ρ (A) = max {|λ| ; λ – wartość własna macierzy A }.

Twierdzenie 11.2. Ciąg przybliżeń metody iteracyjnej przybliżonego rozwiązywania układów równań liniowych dla dowolnego wektora poczatkowe- go x(^0 )^ jest zbieżny do jedynego wektora granicznego wtedy i tylko wtedy, gdy ρ (M) < 1.

Metoda Gaussa-Seidla

Warunek zgodności metody iteracyjnej

Niech będzie dany układ równań liniowych Ax = b. Oznaczmy przez xˆ rozwiazanie tego układu, czyli xˆ = A −^1 b. W metodzie ite- racyjnej rozwiązywania układów równań liniowych chcemy aby za- chodziło ρ (M) < 1 (warunek zbieżności metody) oraz xˆ = M xˆ + w (warunek zgodności metody). Jeżeli dane są macierze A, M i wek- tor b, to biorąc w = (I − M)A −^1 b zapewniamy spełnienie warunku zgodności.

Uwaga. Powyższe postępowanie jest nieefektywne. Wymaga ono znajomo- ści dokładnego rozwiazania wyjściowego układu równań liniowych. W praktyce, aby nie obliczać wyrażenia A −^1 b, postępujemy inaczej.

dr Artur Woike Zaawansowane metody numeryczne

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie do metod iteracyjnychMetoda Jacobiego Metoda Gaussa-Seidla

Rodzina metod iteracyjnych

Definicja 11.4. (szczególna rodzina metod iteracyjnych) Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = B. Kładzie- my w = Nb, gdzie N jest pewną macierzą kwadratową. Wówczas z warunku zgodności wynika, że M = I − NA. W ten sposób otrzy- mujemy następującą rodzinę metod iteracyjnych dla naszego układu równań:

x(^0 )^ – dany wektor początkowy, ∀ i= 0 , 1 ,... x(i+^1 )^ = (I − NA)x(i)^ + Nb.

Uwaga. Powyższe metody iteracyjne pozwalają wyznaczyć rozwiązanie wyj- ściowego układu Ax = b, o ile zachodzi warunek ρ (I − NA) < 1.

Metoda Gaussa-Seidla

Metoda Jacobiego

Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b. Załóż- my, że A = L + D + U, gdzie L, D i U są odpowiednio macierzą poddiagonalną, diagonalną i naddiagonalną:

A =

    

a 11 a 12_..._ a 1 n a 21 a 22_..._ a 2 n .. .

.. .

... .. . an 1 an 2_..._ ann

    

, L =

    

0 0_..._ 0 a 21 0_..._ 0 .. .

.. .

... .. . an 1 an 2_..._ 0

    

,

D =

    

a 11 0_..._ 0 0 a 22_..._ 0 .. .

.. .

... .. . 0 0_..._ ann

    

, U =

    

0 a 12_..._ a 1 n 0 0_..._ a 2 n .. .

.. .

... .. . 0 0_..._ 0

    

.

dr Artur Woike Zaawansowane metody numeryczne (11.1)

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie do metod iteracyjnychMetoda Jacobiego Metoda Gaussa-Seidla

Metoda Jacobiego

Definicja 11.5. (metoda Jacobiego) Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = B, gdzie A = L + D + U i L, D, U są odpowiednio macierzą pod- diagonalną, diagonalną i ponaddiagonalną. Kładziemy N = D −^1 oraz M = − D −^1 (L + U) i otrzymujemy następującą iteracyjną me- todę rozwiązywania układu równań liniowych nazywaną metodą Ja- cobiego:

x(^0 )^ – dany wektor początkowy, ∀ i= 0 , 1 ,... Dx(i+^1 )^ = − (L + U)x(i)^ + b.

Metoda Gaussa-Seidla

Algorytm przestawiania wierszy

Uwaga. Jeżeli macierz A ma na diagonali zerowe elementy, to można sko- rzystać z następującego algorytmu przestawiania wierszy:

1. spośród kolumn z zerowym elementem na diagonali, wybiera- my tę, w której jest największa liczba zer;
2. w ustalonej kolumnie wybieramy element o maksymalnym mo- dule i tak przestawiamy wiersze, aby znalazł się on na diagonali;
3. przestawiony wiersz pomijamy w dalszych krokach;
4. spośród pozostałych kolumn z zerowym elementem na diago- nali wybieramy tę, w której jest największa liczba zer, po czym wracamy do kroku 2;
5. kontynuujemy przestawianie wierszy aż do uzyskania macierzy o niezerowych elementach diagonalnych. dr Artur Woike Zaawansowane metody numeryczne

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie do metod iteracyjnychMetoda Jacobiego Metoda Gaussa-Seidla

Zbieżność metody Jacobiego

Definicja 11.6. (macierz silnie diagonalnie dominująca) Macierz kwadratowa A wymiaru n jest silnie diagonalnie dominująca wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek:

∀ i= 1 ,..., n | aii | >

∑^ n

k k= 6 = (^1) i

| aik |.

Definicja 11.7. (macierz silnie diagonalnie dominująca kolumnowo) Macierz kwadratowa A wymiaru n jest silnie diagonalnie dominująca ko- lumnowo wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek:

∀ i= 1 ,..., n | aii | >

∑^ n

k k= 6 = (^1) i

| aki |.

Metoda Gaussa-Seidla

Zbieżność metody Jacobiego

Uwaga.

1. Zastosowanie algorytmu zamiany wierszy nie gwarantuje speł- nienia warunku zbieżności dla metody Jacobiego, czyli warunku ρ ( − D −^1 (L + U)) < 1.
2. Dla dodatnio określonej macierzy symetrycznej metoda Jaco- biego może nie być zbieżna.
3. Jeżeli macierz A jest silnie diagonalnie dominująca lub silnie diagonalnie dominująca kolumnowo, to metoda Jacobiego jest zbieżna.

dr Artur Woike Zaawansowane metody numeryczne

Iteracyjne rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie do metod iteracyjnychMetoda Jacobiego Metoda Gaussa-Seidla

Metoda Gaussa-Seidla

Definicja 11.8. (metoda Gaussa-Seidla) Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = B, gdzie A = L + D + U i L, D, U są odpowiednio macierzą poddiago- nalną, diagonalną i ponaddiagonalną. Kładziemy N = (D + L) −^1 oraz M = − (D + L) −^1 U i otrzymujemy następującą iteracyjną metodę rozwiązywania układu równań liniowych nazywaną metodą Gaussa-Seidla:

x(^0 )^ – dany wektor początkowy, ∀ i= 0 , 1 ,... Dx(i+^1 )^ = − Lx(i+^1 )^ − Ux(i)^ + b.