Jak wyznaczyć pochodną funkcji?, Publikacje z Matematyka

Pobierz Jak wyznaczyć pochodną funkcji? i więcej Publikacje w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Jak wyznaczyć pochodną funkcji?

Wprowadzenie Przeczytaj Gra edukacyjna Sprawdź się Dla nauczyciela

Wyznaczanie pochodnych funkcji bezpośrednio z definicji bardzo często jest wymagające i czasochłonne. Z pomocą przychodzą wzory pochodnych funkcji elementarnych oraz arytmetyczne własności pojęcia pochodnej. W tym materiale stosować będziesz znane już własności pochodnej funkcji w praktyce, a zrealizowane zadania jeszcze bardziej przybliżą Cię do mistrzostwa w wyznaczaniu pochodnych przykładowych funkcji.

Twoje cele

Zestawisz własności arytmetyczne pochodnej celem zastosowania ich w praktyce. Wyznaczysz pochodne wybranych funkcji, w szczególności zastosujesz wzory wyrażające pochodną iloczynu funkcji oraz ilorazu funkcji.

Źródło: Ignat Kushanrev, dostępny w internecie: hps://unsplash.com/.

Jak wyznaczyć pochodną funkcji?

.

Przykład 2

Wyznaczymy pochodną funkcji dla.

Rozwiązanie

Skorzystamy z wzoru na pochodną różnicy funkcji. Wówczas

.

Przykład 3

Wyznaczymy pochodną funkcji dla.

Rozwiązanie

Korzystając z wzoru wyrażającego pochodną iloczynu funkcji, otrzymamy:

.

Przykład 4

Wyznaczymy pochodną funkcji dla.

Rozwiązanie

Stosując wzór na pochodną ilorazu funkcji, dostaniemy

.

Przykład 5

Wyznaczymy pochodną funkcji dla.

Rozwiązanie

Wykorzystując powyższe własności pojęcia pochodnej, otrzymamy

h′(x) = (2 sin x + 3 √^3 x^2 )

′ = 2 ⋅ (sin x)′^ + 3 ⋅ (x 23 )

′

= 2 cos x + 3 ⋅ 23 x−^13 = 2 cos x + √ 32 x

h(x) = 5 ln x − 7 cos x x > 0

h′(x) = (5 ln x − 7 cos x)′^ = 5 ⋅ (ln x)′^ − 7 ⋅ (cos x)′^ = = 5 ⋅ 1 x − 7 ⋅ (− sin x) = x^5 + 7 sin x

h(x) = 15 ln x ⋅ √^5 x^8 x > 0

h′(x) = (15 ln x ⋅ √^5 x^8 )

′ = (15 ln x)′^ ⋅ √^5 x^8 + 15 ln x ⋅ ( √^5 x^8 )

′

= 15 ⋅ (ln x)′^ ⋅ √^5 x^8 + 15 ln x ⋅ (x 85 )

′

= 15 ⋅ 1 x ⋅ √^5 x^8 + 15 ln x ⋅ 85 x 35 = 15x 35 + 24 ln x ⋅ x 35 = = √^5 x^3 (15 + 24 ln x)

h(x) = 3 sin x 8 x x ≠ 0

h′(x) = ( 3 sin x 8 x)′^ = 3 ⋅ ( sin x 8 x )′^ = 3 ⋅ (sin^ x)

′⋅x (^8) −sin x⋅(x (^8) )′

(x^8 )^2 =

= 3 ⋅ cos^ x⋅x

(^8) −sin x⋅8x 7

x^16 =^

3 x^7 (x cos x−8 sin x)

x^16 =^

3(x cos x−8 sin x) x^9

h(x) = 4 x^5 +5 cos √ 4 x x x > 0

.

Słownik

funkcja różniczkowalna

funkcja posiadająca pochodną w dowolnym punkcie swojej dziedziny

suma funkcji

funkcja , , zdefiniowana jako

dla wszystkich

różnica funkcji

funkcja , , zdefiniowana jako

dla wszystkich

iloczyn funkcji

funkcja , , zdefiniowana jako

dla wszystkich

iloraz funkcji

funkcja , , zdefiniowana jako

dla wszystkich

pochodna sumy funkcji

pochodna postaci

h′(x) = ( 4 x^5 +5 cos√ (^4) x x)

′

= (^4 x

(^5) +5 cos x)′⋅ √ (^4) x−( 4 x (^5) +5 cos x)⋅( √ (^4) x)′

( √^4 x)^2 =

= (^20 x

(^4) −5 sin x) √ (^4) x−( 4 x (^5) +5 cos x)⋅ 14 x−^34 (x 14 )

2 =^

20 x 174 −5 √^4 x sin x−x 174 − 54 x−^34 cos x

x 12 =

20 √^4 x^17 −5 √^4 x sin x− √^4 x^17 − 5 cos 4 √ (^4) x^3 x

√x =^

4 √^4 x^3 ( 20 √^4 x^17 −5 √^4 x sin x− √^4 x^17 )−5 cos x

4 √^4 x^5 =^

4 √^4 x^3 ( 19 √^4 x^17 −5 √^4 x sin x)−5 cos x 4 √^4 x^5

f + g

f + g : A → R A ⊂ R

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

x ∈ A

f − g

f − g : A → R A ⊂ R

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

x ∈ A

f ⋅ g

f ⋅ g : A → R A ⊂ R

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

x ∈ A

f g f

g :^ A^ →^ R^ A^ ⊂^ R

( f g )(x) = f g((xx))

x ∈ A

f + g

(f + g)′^ = f ′^ + g′

Gra edukacyjna

Polecenie 1

Wykorzystując poznane pochodne funkcji oraz własności arytmetyczne pochodnej, sprawdź się w poniższej grze.

Polecenie 2

Wyznacz pochodne następujących funkcji:

Polecenie 3

Wiedząc, iż oraz , wyznacz pochodne następujących funkcji:

f(x) = 8√x^5 ⋅ x^2

g(x) = 4 ⋅ x x+2−2 x ≠ 2

(ln x)′^ = 1 x (sin x)′^ = cos x

f(x) = x^8 ⋅ ln x x > 0

g(x) = x

2

sin x x^ ≠^ kπ, (k^ ∈^ Z)

Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia: (^) 輸 醙 難

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pochodna funkcji f(x) = √x ⋅ 2x^3 , x ≥ 0, jest równa:

f'(x) = 8√x^3

f'(x) = 6√x^3 + 2√x^5

f'(x) = 6√x^3 + √x^5

f'(x) = 7√x^5

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Pochodna funkcji f(x) = √ 44 x 7 , x ≠ 0, jest równa:

f'(x) = − 711 √^16 x 7

f'(x) = −7 √^4 x^11

f'(x) = − √ 47 x 11

Ćwiczenie 3

Wyznacz pochodną funkcji f(x) = √^8 x 5 , x ≠ 0.

輸

輸

醙

Ćwiczenie 6

Połącz w pary poniższe funkcje oraz odpowiadające im pochodne:

f(x) = x^5 ⋅ √x f'(x) = 11√ 2 x^9

f(x) = 3x^6 ⋅ 2√x f'(x) = 35x^4

f(x) = x^43 f'(x) = − 12 x 4

f(x) = x^3 ⋅ 7x^2 f'(x) = 3√ 2 x

f(x) = 4 x

2

x^3 f'(x) = −^

4 x^2

f(x) = √x^2 x f'(x) = 39√x^11

Ćwiczenie 7

Wykorzystując pochodne funkcji elementarnych oraz poznane własności arytmetyczne pojęcia pochodnej, zaznacz poprawne komórki w poniższej tabeli.

Funkcja f(x) Pochodna f'(x) Pochodna f'(x)

x ln x ln x + 1 x^1

x^6 ⋅ sin x x^5 (6 sin x + x cos x) 3 x^11 sin 2x

4 cos x √x

−4(2x sin x+cos x)

2√x^3 −8√x^ sin^ x

√x^3 ln x

√x(3 ln x−2) 2 ln^2 x

3√x^3 2 cos x

sin x −^

1

sin^2 x −^

sin x

cos x = −tg^ x

醙

難

Ćwiczenie 8

Pamiętając, że , , połącz w pary poniższe funkcje oraz odpowiadające im pochodne:

(ln x)' = 1 x x > 0

f(x) = 1+2√1−√xx f'(x) = 52 √^4 x^9 + 11 √^42 x^7 − 20√x^3 − 2

f(x) = x

(^2) −2x+

x^2 +4x−3 f'(x) =^

1−ln x x^2

f(x) = 3 x x−1+1 f'(x) =^ 2√x(1+2√−3 x) 2

f(x) = ln x ⋅ 1 x f'(x) =^ (x+1)^62

f(x) = ( 2 √^4 x^5 − √x)( 8 x^2 + √x^3 ) f'(x) =^6 x

(^2) −22x− (x^2 +4x−3)^2

難

Metody i techniki nauczania:

odwrócona lekcja papierowa wstęga sztafeta zadaniowa

Formy pracy:

praca indywidualna praca w parach praca w grupach praca całego zespołu klasowego

Środki dydaktyczne:

komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer e‐podręcznik tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda długie papierowe paski kolorowe kartki A4, długopisy

Przebieg lekcji

Faza wstępna:

1. Uczniowie w domu zapoznają się z materiałem zawartym w sekcji „Przeczytaj”.
2. Pracując w parach, metodą papierowej wstęgi, uczniowie powtarzają wiadomości na temat pojęcia pochodnej funkcji (na przygotowanym uprzednio przez nauczyciela papierowym pasku na przemian zapisują poznane już własności pojęcia pochodnej, w szczególności własności arytmetyczne pochodnej oraz wzory pochodnych wybranych funkcji elementarnych, które zamieszczono w sekcji „Przeczytaj”).
3. Po skończonej pracy uczniowie wymienią się wstęgami z sąsiadami z innej ławki. Odczytują zapisane na wstędze sąsiadów wiadomości, ewentualnie dopisują to, czego tam nie ma i wstęgę podają dalej. W ten sposób wszystkie pary uczniów przypomną sobie pożądane wiadomości.
4. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel rozpoczyna od rekapitulacji wiadomości zawartych w sekcji „Przeczytaj”. Razem z uczniami omawia przykłady zawarte we wspomnianej sekcji.
2. Wybrane zadania z sekcji „Sprawdź się” rozwiązywane są metodą sztafety zadaniowej. Nauczyciel dzieli uczniów na małe grupy. Uprzednio przygotowane zadania dla grup nauczyciel przykleja na tablicy (każdej grupie przyporządkowana jest kartka w innym

kolorze). Jeden uczeń z każdej grupy podchodzi do tablicy i odrywa pierwsze zadanie. Uczniowie w grupach wspólnie pracują nad zadaniem, rozwiązanie zapisują na kartce. Kolejna osoba z każdej grupy przyczepia kartkę z rozwiązaniem na tablicy i pobiera kolejne zadanie. Nauczyciel systematycznie sprawdza kolejne przyczepione do tablicy rozwiązania zadań. Błędnie rozwiązane zadania wracają do poprawy do uczniów.

3. Po zakończonej sztafecie uczniowie omawiają swoje rozwiązania.

Faza podsumowująca:

1. Liderzy grup dzielą się informacjami na temat pracy swojej grupy, prezentują pomysły, przedstawiają wątpliwości.
2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę grup i par. Wyjaśnia wątpliwości.

Praca domowa:

Uczniowie wykonują w domu pozostałe zadania z sekcji „Sprawdź się” oraz grają w grę edukacyjną. Ponadto grupy, które podczas lekcji nie rozwiązały poprawnie któregoś z ćwiczeń sekcji „Sprawdź się”, mają za zadanie ułożenie 2 zadań podobnego typu i zapisanie ich rozwiązań.

Materiały pomocnicze:

Działania na pochodnych

Wskazówki metodyczne:

Uczniowie mogą wykorzystać grę edukacyjną do utrwalenia wiadomości z lekcji w ramach pracy domowej.