Jest to próba przed egzaminem gimnazjalnym, Egzamin maturalny z Fizyka

Pobierz Jest to próba przed egzaminem gimnazjalnym i więcej Egzamin maturalny w PDF z Fizyka tylko na Docsity!

BAZA ZADAŃ Z MATEMATYKI ROZSZERZONEJ

MATURA100PROCENT

Zadania pochodzą z oficjalnych matur majowych CKE. Czteroznakowy kod umieszczony w nawiasie przy każdym zadaniu wskazuje na źródło zadania: S – „stara” formuła; N – „nowa” formuła; R – poziom rozszerzony; np. 05 – rok 2005.

Zadanie 1. (SR05)

Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że √5 √2 + 7

3 − √5 √2 − 7

3 jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:

1. Wprowadzenie oznaczeń, np.: że 𝑥 = √5 √2 + 7

3 , 𝑦 = √5 √2 − 7

3 , 𝑎 = 𝑥 − 𝑦

2. Skorzystanie z tożsamości: (𝑥 − 𝑦)^3 = 𝑥^3 − 𝑦^3 − 3𝑥𝑦(𝑥 − 𝑦)
3. Wykorzystanie tożsamości i oznaczeń do uzyskania równania z niewiadomą a (w tym 1 p. za metodę oraz 1 p. za obliczenia): 𝑎^3 = 14 − 3𝑎 (∗)
4. Wyznaczenie całkowitego pierwiastka równania (*): 𝑎 = 2
5. Zapisanie równania () w postaci iloczynowej: (𝑎 − 2)(𝑎^2 + 2𝑎 + 7) = 0 lub stwierdzenie, że równanie () ma jeden pierwiastek
6. Wykazanie, że że √5 √2 + 7

3 − √5 √2 − 7

3 jest liczbą całkowitą sprawdzenie warunku 0 〈∆ i uzasadnienie, że a=2 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania (*)

Zadanie 2. (SR06)

Korzystając z zasady indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1

prawdziwy jest wzór: 1⋅ 3 ⋅ (1!)^2 + 2 ⋅ 4 ⋅ ( 2!) 2 + ⋅⋅⋅ + n ( n + 2) ( n !) 2 = ( n + 1)! (^2) −1.

Rozwiązanie:

Sprawdzam, czy wzór jest prawdziwy dla n = 1:

L =1⋅ 3 ⋅1! P = (2!)^2 − 1

L = P

Założenie indukcyjne:

1 ⋅ 3 ⋅^ (1!)^2 + 2^ ⋅^4 ⋅^ ( 2 !)^2 + ... +^ n (^ n^ + 2)(^ n !)^2 = (^ n^ + 1)!^2 − 1 dla n ≥ 1_._

Dowód:

Korzystam z założenia indukcyjnego i otrzymuję

L = [ ( n + 1)!]^2 − 1 + ( n + 1)( n + 3) [ ( n + 1)!]^2 =

= [ ( n + 1)!]^2 + ( n + 1)( n + 3) [ ( n + 1)!]^2 −1.

Wyłączam z pierwszych dwóch składników wyrażenia wspólny czynnik

[ ( n +1)!]^2 przed nawias:

L = [ ( n + 1)!]^2 ⋅ [1 + ( n + 1)( n + 3) ] − 1 = [ ( n + 1)!]^2 ⋅ ( n 2 + 4 n + 4 ) − 1 =

= [ ( n + 1)!]^2 ⋅ ( n + 2 )^2 −1.

Korzystam z równości : ( n + 1)!( n + 2) = ( n + 2)! i otrzymuję

L = [ ( n + 1)!( n + 2) ]^2 − 1 = [ ( n + 2)!]^2 − 1 = P.

wniosek : Z zasady indukcji matematycznej wynika, że wzór jest prawdziwy dla każdej liczby

naturalnej n ≥ 1_._

Zadanie 3. ( SR09)

Wykaż, że jeżeli 𝐴 = 34√2+2^ 𝑖 𝐵 = 32√2+3, 𝑡𝑜 𝐵 = 9√𝐴

Rozwiązanie:

9√𝐴 = (3^2 ∙ 34√2+2)

1 (^2) = 32+(4√2+2)∙

1 (^2) = 32√2+3^ c. n.d.

Zadanie 4. (SR11)

Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k^6 − 2 k^4 + k^2 jest podzielna przez 36.

Rozwiązanie:

Przekształcamy wyrażenie k^6 − 2 k^4 + k^2 do postaci iloczynowej:

( )

k^2 ( k^4 − 2 k^2 + 1) = k^2 k^2 − 1 2 = ( k − 1 ) k ( k +1) 2.

Wykazujemy, że dla każdej liczby całkowitej k liczba ( k −1) k ( k +1) jest podzielna przez 6.

Zadanie 5. (SR11)

Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b , a ≠ c , b ≠ c i a + b = 2 c , to (^) 𝑎−𝑐𝑎 + (^) 𝑏−𝑐𝑏 = 2.

Ponieważ liczba a przy dzieleniu przez 6 daje resztę 1, więc a = 6 k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną.

Ponieważ liczba b przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5, więc b = 6 l + 5 , gdzie l jest liczbą całkowitą nieujemną.

Wtedy a^2 − b^2 = ( 6 k + 1) 2 − ( 6 l + 5) 2 = ( 6 k + 6 l + 6) ( 6 k − 6 l − 4) = 12( k + l + 1) ( 3 k − 3 l − 2).

Wykazaliśmy, że liczba a^2 − b^2 jest podzielna przez 12. Należy jeszcze wykazać, że przynajmniej jedna z liczb k + l + 1 lub 3 k − 3 l − 2 jest podzielna przez 2.

Jeśli liczby całkowite k i l są jednakowej parzystości, to liczba k − l jest parzysta oraz liczba 3 k − 3 l − 2 = 3 ( k − l ) − 2 jest parzysta, jako różnica dwóch liczb parzystych.

Jeśli liczby całkowite k i l są różnej parzystości, to liczba k + l + 1 jest parzysta, jako suma dwóch liczb nieparzystych i jednej parzystej. To kończy dowód.

Zadanie 9. (SR16)

Niech log 7 4 = a. Wyznacz log 2 √49.

Rozwiązanie:

log 2 √49 =

log 7 49 log 7 √

log 7 √

log 7 4 = a to log 7 4 = log 7 (√2)

4 = 4 log 7 √2 =a zatem log 7 √2 =

𝑎 4 𝑠𝑡ą𝑑 𝑤𝑦𝑛𝑖𝑘𝑎 ż𝑒 log^2 √49 =^

2 𝑎 4

8 𝑎.

Zadanie 10. (NR16)

W rozwinięciu wyrażenia (2√3 + 4𝑦)

3 współczynnik xy^2 jest równy:

A. 32√𝟑 B. 48 C. 𝟗𝟔√𝟑 D.

Rozwiązanie:

C.

Zadanie 11. (NR16)

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y takich, że x^2 + y^2 = 2 , prawdziwa jest nierówność x + y = 2.

Rozwiązanie:

Dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że x^2 + y^2 = 2 nierówność x + y ≤ 2 jest równoważna kolejno nierównościom:

Zadanie 12. (NR19)

Dla dowolnych liczb x>0 , x ≠ 1, y> 0, y ≠ 1wartość wyrażenia (𝑙𝑜𝑔 1 𝑥

𝑦

𝑥) jest równa:

A. xy B.

𝟏 𝒙𝒚 C. -1^ D. 1

Rozwiązanie:

D.

Zadanie 13. (NR17)

Liczba (√2 − √3 − √2 + √ 3 )

2 jest równa

Rozwiązanie:

A. 2

Zadanie 15. (NR18)

Dane są liczby:

 x + y ^2 ≤ 4 ,

x^2 + 2 xy + y^2 ≤ 4 ,

x^2 + 2 xy + y^2 ≤ 2 ⋅ 2 ,

x^2 + y^2 + 2 xy ≤ 2  x^2 + y^2  ,

x^2 + y^2 + 2 xy ≤ 2 x^2 + 2 y^2 ,

x^2 + y^2 − 2 xy ≥ 0 ,

 x − y ^2 ≥ 0 .

Ta ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y. To kończy

dowód.

A. -1 B. 0 C.1 D.

Rozwiązanie:

C. 1

Zadanie 18. (NR18)

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej k i dla każdej liczby całkowitej m liczba k^3 m-km^3 jest

podzielna przez 6.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że

Iloczyn k(k – 1)(k + 1) to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna z nich jest

podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc iloczyn jest podzielny przez 2 i przez 3, a więc jest podzielny przez 6. Analogicznie iloczyn

m(m – 1)(m + 1) jest podzielny przez 6. Różnica dwóch liczb podzielnych przez 6 jest podzielna przez

6. To kończy dowód.

Zadanie 19. (SR18)

Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

Wyróżniamy na osi liczbowej trzy przedziały: (−∞, −2), 〈−2,3〉, (3, +∞). Rozwiązujemy równanie w tych przedziałach, sprawdzając czy otrzymane rozwiązanie należy do niego.

Dla x ∈ (−∞, −2) otrzymujemy równanie – 3x – 6 = − x + 3 + 11, a stąd x = − 10. Liczba −10 spełnia założenia x ∈ (−∞, −2), więc jest rozwiązaniem podanego w zadaniu równania.

Dla x ∈ 〈−2,3〉, otrzymujemy równanie 3x + 6 = − x + 3 +11 , a stąd x = 2. Liczba 2 spełnia założenia x

∈ 〈−2,3〉, więc jest rozwiązaniem podanego w zadaniu równania.

Dla x ∈ (3, +∞) otrzymujemy równanie 3x + 6 = x – 3 + 11 , a stąd x = 1. Liczba 1 nie należy do

przedziału (3, +∞), więc nie jest rozwiązaniem podanego równania.

Podane równanie ma zatem dwa rozwiązania 𝑥 = – 10 𝑖 𝑥 = 2.

Zadanie 20. (SR14)

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y , prawdziwa jest nierówność

(𝑥 + 1) 𝑥𝑦 + (𝑦 + 1) 𝑦𝑥 > 2.

Rozwiązanie:

(𝑥 + 1)𝑥^2 + (𝑦 + 1)𝑦^2 > 2𝑥𝑦 𝑥^3 + 𝑥^2 + 𝑦^3 + 𝑦^2 > 2𝑥𝑦 𝑥^2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦^2 + 𝑥^3 + 𝑦^3 > 0 (𝑥 − 𝑦)^2 + 𝑥^3 + 𝑦^3 > 0

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż (𝑥 − 𝑦)^2 ≥ 0 dla dowolnych liczb rzeczywistych, natomiast 𝑥^3 > 0 𝑖 𝑦^3 > 0 , gdyż liczby x i y są dodatnie. To kończy dowód.