Docsity
Docsity

Przygotuj się do egzaminów
Przygotuj się do egzaminów

Studiuj dzięki licznym zasobom udostępnionym na Docsity


Otrzymaj punkty, aby pobrać
Otrzymaj punkty, aby pobrać

Zdobywaj punkty, pomagając innym studentom lub wykup je w ramach planu Premium


Informacje i wskazówki
Informacje i wskazówki

Karta wzorów maturalnych, Egzamin maturalny z Matematyka

Karta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorów.Karta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorówKarta wzorów

Typologia: Egzamin maturalny

2023/2024

Załadowany 06.11.2023

jakub-walerianczyk
jakub-walerianczyk 🇵🇱

1 dokument

Podgląd częściowego tekstu

Pobierz Karta wzorów maturalnych i więcej Egzamin maturalny w PDF z Matematyka tylko na Docsity! wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Zespół redakcyjny: Hubert Rauch (CKE) Mariusz Mroczek (CKE) Marian Pacholak (OKE Warszawa) dr Wioletta Kozak (CKE) dr Marcin Smolik (CKE) dr Roman Wosiek Ewa Ludwikowska (OKE Gdańsk) Joanna Berner (OKE Warszawa) Piotr Ludwikowski (OKE Kraków) Recenzenci: dr hab. Jan Jakóbowski (UWM) Agata Górniak (recenzja nauczycielska) Strona 5 z 34 Jeżeli 𝑎 < 0 oraz liczba 𝑛 jest nieparzysta, to √𝑎 𝑛 oznacza liczbę 𝑏 < 0 taką, że 𝑏𝑛 = 𝑎. W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. • Niech 𝑚, 𝑛 będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: − dla 𝑎 ≠ 0: 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 oraz 𝑎0 = 1 − dla 𝑎 ≥ 0: 𝑎 𝑚 𝑛 = √𝑎𝑚 𝑛 − dla 𝑎 > 0: 𝑎– 𝑚 𝑛 = 1 √𝑎𝑚 𝑛 • Niech 𝑟, 𝑠 będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0, to: Jeżeli wykładniki 𝑟, 𝑠 są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb 𝑎 ≠ 0 i 𝑏 ≠ 0. • Niech 𝑥, 𝑦 będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeżeli 𝑎 ∈ (0, 1), to nierówność 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 jest równoważna nierówności 𝑥 > 𝑦. Jeżeli 𝑎 ∈ (1,+∞), to nierówność 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦 jest równoważna nierówności 𝑥 < 𝑦. 3. LOGARYTMY • Niech 𝑎 > 0 i 𝑎 ≠ 1. Logarytmem log𝑎 𝑏 liczby 𝑏 > 0 przy podstawie 𝑎 nazywamy wykładnik 𝑐 potęgi, do której należy podnieść 𝑎, aby otrzymać 𝑏: Równoważnie: • Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 oraz 𝑟 prawdziwe są równości: 𝑎𝑟 ⋅ 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟+𝑠 (𝑎𝑟)𝑠 = 𝑎𝑟⋅𝑠 𝑎𝑟 𝑎𝑠 = 𝑎𝑟−𝑠 (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑟 = 𝑎𝑟 ⋅ 𝑏𝑟 ( 𝑎 𝑏 ) 𝑟 = 𝑎𝑟 𝑏𝑟 log𝑎 𝑏 = 𝑐 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑎𝑐 = 𝑏 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏 log𝑎(𝑥 ⋅ 𝑦) = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 log𝑎 𝑥 𝑟 = 𝑟 ⋅ log𝑎 𝑥 log𝑎 ( 𝑥 𝑦 ) = log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 Strona 6 z 34 Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1 oraz 𝑐 > 0, to: W szczególności: Zapisy log 𝑥 oraz lg 𝑥 oznaczają log10 𝑥. 4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY • Silnią liczby całkowitej dodatniej 𝑛 nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do 𝑛 włącznie: Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1. Dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛 ≥ 0 prawdziwa jest równość: • Dla liczb całkowitych 𝑛, 𝑘 spełniających warunki 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 definiujemy współczynnik dwumianowy ( 𝑛 𝑘 ) (symbol Newtona): Prawdziwe są równości: log𝑏 𝑐 = log𝑎 𝑐 log𝑎 𝑏 log𝑎 𝑏 = 1 log𝑏 𝑎 𝑛! = 1 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 𝑛 (𝑛 + 1)! = 𝑛! ⋅ (𝑛 + 1) ( 𝑛 𝑘 ) = 𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! ( 𝑛 𝑘 ) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ⋅ … ⋅ (𝑛 − 𝑘 + 1) 𝑘! ( 𝑛 0 ) = 1 ( 𝑛 1 ) = 𝑛 ( 𝑛 𝑛 − 1 ) = 𝑛 ( 𝑛 𝑛 ) = 1 ( 𝑛 𝑘 ) = ( 𝑛 𝑛 − 𝑘 ) ( 𝑛 𝑘 ) + ( 𝑛 𝑘 + 1 ) = ( 𝑛 + 1 𝑘 + 1 ) Strona 7 z 34 5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 mamy: Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏: 6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Dla dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏: Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej 𝑛 oraz dowolnych liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 mamy: W szczególności: 7. FUNKCJA KWADRATOWA • Wyróżnikiem Δ trójmianu kwadratowego 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ) zmiennej rzeczywistej 𝑥 nazywamy liczbę • Postać ogólna funkcji kwadratowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ . (𝑎 + 𝑏)𝑛 = ( 𝑛 0 ) 𝑎𝑛 + ( 𝑛 1 ) 𝑎𝑛−1𝑏 + …+ ( 𝑛 𝑘 ) 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 + …+ ( 𝑛 𝑛 − 1 ) 𝑎𝑏𝑛−1 + ( 𝑛 𝑛 ) 𝑏𝑛 (𝑎 − 𝑏)𝑛 = ( 𝑛 0 ) 𝑎𝑛 − ( 𝑛 1 )𝑎𝑛−1𝑏 + …+ (−1)𝑘 ( 𝑛 𝑘 ) 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 + …+ (−1)𝑛 ( 𝑛 𝑛 ) 𝑏𝑛 (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 + …+ 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘−1 + …+ 𝑎𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1) 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎2 − 1 = (𝑎 − 1)(𝑎 + 1) 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 𝑎3 − 1 = (𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1) 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 𝑎3 + 1 = (𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1) 𝑎𝑛 − 1 = (𝑎 − 1)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + …+ 𝑎 + 1) Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 Strona 10 z 34 • Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛) prawdziwa jest równość: • Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla 𝑛 ≥ 1, o ilorazie 𝑞. Niech (𝑆𝑛) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛), to znaczy ciąg określony wzorem 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + …+ 𝑎𝑛 dla 𝑛 ≥ 1. Jeżeli |𝑞| < 1, to ciąg (𝑆𝑛) ma granicę równą: Granicę tę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego (𝑎𝑛). • Twierdzenie o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych Jeżeli ciągi (𝑎𝑛) i (𝑏𝑛), określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1, są zbieżne i lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝑎 oraz lim 𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝑏, to ciągi (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛), (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛), (𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛) są zbieżne, a ponadto: Jeżeli ponadto 𝑏𝑛 ≠ 0 dla 𝑛 ≥ 1 oraz 𝑏 ≠ 0, to ciąg ( 𝑎𝑛 𝑏𝑛 ) jest zbieżny i • Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli wyrazy ciągów (𝑎𝑛), (𝑏𝑛) i (𝑐𝑛), określonych dla 𝑛 ≥ 1, spełniają nierówność 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 dla 𝑛 ≥ 1, a ciągi (𝑎𝑛) i (𝑐𝑛) są zbieżne do wspólnej granicy lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑐𝑛 = 𝑔, to ciąg (𝑏𝑛) jest zbieżny, a ponadto lim 𝑛→∞ 𝑏𝑛 = 𝑔. • Procent składany Jeżeli kapitał początkowy 𝐾0 złożymy na okres 𝑛 lat na lokacie bankowej, której oprocentowanie wynosi 𝑝% w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy 𝐾𝑛 jest określony wzorem: (𝑎𝑛) 2 = 𝑎𝑛−1 ⋅ 𝑎𝑛+1 dla 𝑛 ≥ 2 𝑆 = lim 𝑛→∞ 𝑆𝑛 = 𝑎1 1 − 𝑞 lim 𝑛→∞ (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = 𝑎 + 𝑏 lim 𝑛→∞ (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = 𝑎 − 𝑏 lim 𝑛→∞ (𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛) = 𝑎 ⋅ 𝑏 lim 𝑛→∞ ( 𝑎𝑛 𝑏𝑛 ) = 𝑎 𝑏 𝐾𝑛 = 𝐾0 ⋅ (1 + 𝑝 100 ) 𝑛 Strona 11 z 34 • Wybrane granice: lim 𝑛→∞ (1 + 1 𝑛 ) 𝑛 = 𝑒 lim 𝑛→∞ √𝑛 𝑛 = 1 lim 𝑛→∞ √𝑎 𝑛 = 1 dla każdego 𝑎 > 0 lim 𝑛→∞ 𝑞𝑛 = 0 dla każdego 𝑞 ∈ (−1, 1) lim 𝑛→∞ 1 𝑛𝑘 = 0 dla każdego 𝑘 > 0 lim 𝑛→∞ 𝑛𝑘 = +∞ dla każdego 𝑘 > 0 9. TRYGONOMETRIA • Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym • Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta sin 𝛼 = 𝑎 𝑐 cos 𝛼 = 𝑏 𝑐 tg 𝛼 = 𝑎 𝑏 𝜶 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑂 𝑟 𝛼 𝐴 𝐵 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 sin 𝛼 = 𝑦 𝑟 cos 𝛼 = 𝑥 𝑟 tg 𝛼 = 𝑦 𝑥 , o ile 𝑥 ≠ 0 gdzie 𝑟 = |𝑂𝑀| = √𝑥2 + 𝑦2 > 0 Strona 12 z 34 • Wykresy funkcji trygonometrycznych • Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 tg 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼 dla 𝛼 ≠ 1 2 𝜋 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ 𝑦 1 −1 −𝜋 − 1 2 𝜋 0 1 2 𝜋 𝜋 3 2 𝜋 2𝜋 𝑥 𝑦 = sin 𝑥 𝑦 1 −1 −𝜋 − 1 2 𝜋 0 1 2 𝜋 𝜋 3 2 𝜋 2𝜋 𝑥 𝑦 = cos 𝑥 𝑦 𝑦 = tg 𝑥 1 −𝜋 − 1 2 𝜋 0 1 2 𝜋 𝜋 3 2 𝜋 2𝜋 𝑥 Strona 15 z 34 10. PLANIMETRIA Przyjmujemy następujące oznaczenia w trójkącie 𝐴𝐵𝐶: 𝑎, 𝑏, 𝑐 – długości boków w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 𝛼, 𝛽, 𝛾 – miary kątów wewnętrznych trójkąta leżących, odpowiednio, przy wierzchołkach 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 𝑅, 𝑟 – długości promieni okręgów, odpowiednio, opisanego i wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶 ℎ𝑎, ℎ𝑏, ℎ𝑐 – wysokości trójkąta opuszczone, odpowiednio, z wierzchołków 𝐴, 𝐵 i 𝐶. 𝑝 – połowa obwodu trójkąta 𝐴𝐵𝐶, tj. • Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego) Jeżeli w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 kąt 𝛾 jest kątem prostym, to: Jeżeli w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 długości boków spełniają równość 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2, to kąt 𝛾 jest kątem prostym. • Twierdzenie sinusów • Twierdzenie cosinusów 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 𝑎 sin 𝛼 = 2𝑅 𝑏 sin 𝛽 = 2𝑅 𝑐 sin 𝛾 = 2𝑅 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ⋅ cos 𝛼 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 ⋅ cos 𝛽 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ⋅ cos 𝛾 𝛼 𝛽 𝛾 𝑐 𝑎 𝑏 𝐵 𝐴 𝐶 𝑎 𝑏 𝑐 𝐶 𝐴 𝐵 Strona 16 z 34 • Wzory na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 • Związki miarowe w trójkącie prostokątnym Przyjmijmy, że w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐶 jest kątem prostym. Niech 𝐷 będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵 trójkąta. Wówczas: • Związki miarowe w trójkącie równobocznym 𝑎 – długość boku trójkąta równobocznego ℎ – wysokość trójkąta równobocznego 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑎 ⋅ ℎ𝑎 = 1 2 𝑏 ⋅ ℎ𝑏 = 1 2 𝑐 ⋅ ℎ𝑐 𝑃ΔABC = 1 2 𝑎𝑏 ⋅ sin 𝛾 = 1 2 𝑏𝑐 ⋅ sin 𝛼 = 1 2 𝑐𝑎 ⋅ sin 𝛽 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 ⋅ 𝑟 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑎2 ⋅ sin 𝛽 ⋅ sin 𝛾 sin 𝛼 = 1 2 𝑏2 ⋅ sin 𝛾 ⋅ sin 𝛼 sin 𝛽 = 1 2 𝑐2 ⋅ sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽 sin 𝛾 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶 = 2𝑅 2 ⋅ sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽 ⋅ sin 𝛾 ℎ𝑐 = √|𝐴𝐷| ⋅ |𝐷𝐵| ℎ𝑐 = 𝑎𝑏 𝑐 𝑟 = 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2 𝑅 = 1 2 𝑐 𝑎 = 𝑐 ⋅ sin 𝛼 = 𝑐 ⋅ cos 𝛽 = 𝑏 ⋅ tg 𝛼 = 𝑏 ⋅ 1 tg 𝛽 ℎ = 𝑎√3 2 𝑃Δ = 𝑎2√3 4 𝑟 = 1 3 ℎ 𝑅 = 2 3 ℎ 𝛼 𝛽 90°𝛾 𝑐 𝑎 𝑏 𝐵 𝐴 𝐶 𝐷 𝐵 𝑎 𝑎 𝑎 𝐴 𝐶 ℎ Strona 17 z 34 • Cechy przystawania trójkątów a) cecha przystawania „bok–bok–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀: długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są równe odpowiednim długościom boków trójkąta 𝐾𝐿𝑀, np.: |𝐴𝐵| = |𝐾𝐿|, |𝐵𝐶| = |𝐾𝑀|, |𝐶𝐴| = |𝑀𝐿| b) cecha przystawania „bok–kąt–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀: długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są równe odpowiednim długościom dwóch boków trójkąta 𝐾𝐿𝑀 i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: |𝐴𝐵| = |𝐾𝐿|, |𝐵𝐶| = |𝐾𝑀| i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀| c) cecha przystawania „kąt–bok–kąt” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀: długość jednego boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa długości jednego boku trójkąta 𝐾𝐿𝑀 i kąty przyległe do tego boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są przystające do odpowiednich kątów przyległych do odpowiedniego boku trójkąta 𝐾𝐿𝑀, np.: |𝐴𝐵| = |𝐾𝐿| oraz |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐾𝐿𝑀| i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀| • Cechy podobieństwa trójkątów a) cecha podobieństwa „bok–bok–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀: długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta 𝐾𝐿𝑀, np.: |𝐴𝐵| |𝐾𝐿| = |𝐵𝐶| |𝐿𝑀| = |𝐶𝐴| |𝑀𝐾| b) cecha podobieństwa „bok–kąt–bok” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀: długości dwóch boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta 𝐾𝐿𝑀 i kąty między tymi parami boków są przystające, np.: |𝐴𝐵| |𝐾𝐿| = |𝐴𝐶| |𝐾𝑀| i |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀| c) cecha podobieństwa „kąt–kąt–kąt” dla trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀: kąty trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są przystające do odpowiednich kątów trójkąta 𝐾𝐿𝑀, np.: |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐿𝐾𝑀| i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐾𝐿𝑀| i |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐾𝑀𝐿| 𝐴 𝐶 𝐵 𝑀 𝐿 𝐾 𝐴 𝐶 𝐵 𝑀 𝐿 𝐾 Strona 20 z 34 • Twierdzenie o odcinkach stycznych Jeżeli styczne do okręgu w punktach 𝐴 i 𝐵 przecinają się w punkcie 𝑃, to: • Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach 𝐴 i 𝐵 oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie 𝐶. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie 𝑃, to: • Czworokąty Trapez – czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole 𝑃 trapezu: |𝑃𝐴| = |𝑃𝐵| |𝑃𝐴| ⋅ |𝑃𝐵| = |𝑃𝐶|2 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 2 ⋅ ℎ 𝑃 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵 𝑃 𝑎 ℎ 𝑏 Strona 21 z 34 Równoległobok – czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole 𝑃 równoległoboku: Romb – czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Wzory na pole 𝑃 rombu: Deltoid – czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole 𝑃 deltoidu: • Okrąg opisany na czworokącie Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°. 𝑃 = 𝑎ℎ 𝑃 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ sin 𝛼 𝑃 = 1 2 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐵𝐷| ⋅ sin 𝛾 𝑃 = 𝑎ℎ 𝑃 = 𝑎2 ⋅ sin 𝛼 𝑃 = 1 2 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐵𝐷| 𝑃 = 1 2 ⋅ |𝐴𝐶| ⋅ |𝐵𝐷| 𝛼 + 𝛾 = 𝛽 + 𝛿 𝛼 + 𝛾 = 180° 𝛽 + 𝛿 = 180° 𝑏 ℎ 𝐶 𝐷 𝛾 𝐵 𝛼 𝑎 𝐴 𝑎 ℎ 𝐷 𝐶 𝛼 𝐵 𝑎 𝐴 𝐶 𝐴 𝐷 𝐵 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 Strona 22 z 34 • Okrąg wpisany w czworokąt W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. • Pola figur podobnych Jeżeli figura ℬ o polu 𝑃ℬ jest podobna do figury 𝒜 o polu 𝑃𝒜 (różnym od zera) w skali 𝑘, to stosunek pól tych figur jest równy kwadratowi skali podobieństwa. 11. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ • Długość odcinka Długość odcinka 𝐴𝐵 o końcach w punktach 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) oraz 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) jest równa: • Współrzędne środka odcinka Współrzędne środka 𝑆 = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) odcinka 𝐴𝐵 o końcach w punktach 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) oraz 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) są równe: 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑 𝑃ℬ 𝑃𝒜 = 𝑘2 |𝐴𝐵| = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)2 𝑥𝑆 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 2 𝑦𝑆 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 2 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴) 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵) 𝑆(𝑥𝑆, 𝑦𝑆) 𝑥 𝑦 𝑂 Strona 25 z 34 • Współrzędne wektora, długość wektora, działania na wektorach Dane są punkty 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) oraz 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵). Współrzędne wektora 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ zaczepionego w punkcie 𝐴: Jeżeli ?⃗? = [𝑢1, 𝑢2] oraz 𝑣 = [𝑣1, 𝑣2] są wektorami oraz 𝑎 ∈ ℝ, to: Długością |?⃗? | wektora ?⃗? = [𝑢1, 𝑢2] nazywamy liczbę • Przekształcenia geometryczne Przesunięcie o wektor ?⃗? = [𝑎, 𝑏] przekształca punkt 𝑃 = (𝑥, 𝑦) na punkt 𝑃’ = (𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏). Symetria osiowa 𝑆𝑂𝑥 względem osi 𝑂𝑥 przekształca punkt 𝑃 = (𝑥, 𝑦) na punkt 𝑃’ = (𝑥, −𝑦). Symetria osiowa 𝑆𝑂𝑦 względem osi 𝑂𝑦 przekształca punkt 𝑃 = (𝑥, 𝑦) na punkt 𝑃’ = (−𝑥, 𝑦). Symetria środkowa 𝑆𝐾 względem punktu 𝐾 = (𝑎, 𝑏) przekształca punkt 𝑃 = (𝑥, 𝑦) na punkt 𝑃’ = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦). W szczególności symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt 𝑃 = (𝑥, 𝑦) na punkt 𝑃’ = (−𝑥,−𝑦). • Pole trójkąta Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 o wierzchołkach 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) oraz 𝐶 = (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶) jest równe: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = [𝑥𝐵 − 𝑥𝐴, 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴] ?⃗? + 𝑣 = [𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2] 𝑎 ⋅ ?⃗? = [𝑎 ⋅ 𝑢1, 𝑎 ⋅ 𝑢2] |?⃗? | = √(𝑢1)2 + (𝑢2)2 𝑃𝛥𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ⋅ |(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)(𝑦𝐶 − 𝑦𝐴) − (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴)| Strona 26 z 34 • Współrzędne środka ciężkości trójkąta Współrzędne środka ciężkości 𝑆 = (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) trójkąta 𝐴𝐵𝐶 o wierzchołkach 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴), 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) oraz 𝐶 = (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶), czyli punktu przecięcia jego środkowych: 12. STEREOMETRIA • Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych Prosta 𝑘 przebija płaszczyznę w punkcie 𝑃 pod kątem ostrym. Prosta 𝑙 jest rzutem prostokątnym prostej 𝑘 na tę płaszczyznę. Prosta 𝑚 leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt 𝑃. Wówczas prosta 𝑚 jest prostopadła do prostej 𝑘 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑚 jest prostopadła do prostej 𝑙. Przyjmujemy oznaczenia: 𝑃𝑐 – pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑏 – pole powierzchni bocznej 𝑃𝑝 – pole podstawy 𝑉 – objętość • Prostopadłościan gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami krawędzi prostopadłościanu 𝑥𝑆 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 + 𝑥𝐶 3 𝑦𝑆 = 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 + 𝑦𝐶 3 𝑃𝑐 = 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 𝑘 𝑙 𝑚 𝑃 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴 𝐵 𝐸 𝐺 𝐹 𝐻 𝐷 𝐶 Strona 27 z 34 • Graniastosłup prosty gdzie 𝑂𝑏 jest obwodem podstawy graniastosłupa, natomiast ℎ – wysokością graniastosłupa. • Ostrosłup gdzie ℎ jest wysokością ostrosłupa. • Walec gdzie ℎ jest wysokością walca, 𝑂 – środkiem symetrii podstawy walca, 𝑟 – promieniem podstawy walca. • Stożek gdzie 𝑟 jest promieniem podstawy stożka, ℎ – jego wysokością, natomiast 𝑙 – tworzącą stożka. Punkt 𝑂 jest środkiem symetrii podstawy stożka. 𝑃𝑏 = 𝑂𝑏 ⋅ ℎ 𝑉 = 𝑃𝑝 ⋅ ℎ 𝑉 = 1 3 ⋅ 𝑃𝑝 ⋅ ℎ 𝑃𝑏 = 2𝜋𝑟ℎ 𝑃𝑐 = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ) 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ 𝑃𝑏 = 𝜋𝑟𝑙 𝑃𝑐 = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑙) 𝑉 = 1 3 𝜋𝑟2ℎ ℎ 𝐴 𝐺 𝐻 𝐹 𝐵 𝐸 𝐷 𝐶 𝐽 𝐼 ℎ 𝐷 𝐸 𝑆 𝑂 𝐵 𝐶 𝐴 ℎ 𝑟 𝑂 ℎ 𝑟 𝑂 𝑙 Strona 30 z 34 • Prawdopodobieństwo warunkowe Niech 𝐴, 𝐵 będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, przy czym 𝑃(𝐵) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym 𝑃(𝐴|𝐵) zdarzenia 𝐴 pod warunkiem zaistnienia zdarzenia 𝐵 nazywamy liczbę: • Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia losowe 𝐵1, 𝐵2, …, 𝐵𝑛 zawarte w Ω spełniają warunki: 1. 𝐵1, 𝐵2, …, 𝐵𝑛 są parami rozłączne, tzn. 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅ dla 𝑖 ≠ 𝑗, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 2. 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ …∪ 𝐵𝑛 = Ω 3. 𝑃(𝐵𝑖) > 0 dla 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 to dla każdego zdarzenia losowego 𝐴 ⊂ Ω prawdziwa jest równość: • Twierdzenie Bayesa Jeżeli zdarzenia losowe 𝐴, 𝐵1, 𝐵2, …, 𝐵𝑛 zawarte w Ω spełniają warunki: 1. 𝐵1, 𝐵2, …, 𝐵𝑛 są parami rozłączne, tzn. 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅ dla 𝑖 ≠ 𝑗, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 2. 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ …∪ 𝐵𝑛 = Ω 3. 𝑃(𝐵𝑖) > 0 dla 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 4. 𝑃(𝐴) > 0 to dla każdego 𝑘 (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) prawdziwa jest równość: • Wartość oczekiwana zmiennej losowej Niech 𝑋 będzie zmienną losową o wartościach 𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛 ∈ ℝ, określoną na zbiorze Ω, przy czym 𝑃( {𝜔:𝜔 ∈ Ω oraz 𝑋(𝜔) = 𝑥𝑖} ) = 𝑝𝑖 dla 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej 𝑋 nazywamy liczbę: 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵1) ⋅ 𝑃(𝐵1) + 𝑃(𝐴|𝐵2) ⋅ 𝑃(𝐵2) + …+ 𝑃(𝐴|𝐵𝑛) ⋅ 𝑃(𝐵𝑛) 𝑃(𝐵𝑘|𝐴) = 𝑃(𝐵𝑘) ⋅ 𝑃(𝐴|𝐵𝑘) 𝑃(𝐴|𝐵1) ⋅ 𝑃(𝐵1) + 𝑃(𝐴|𝐵2) ⋅ 𝑃(𝐵2) + …+ 𝑃(𝐴|𝐵𝑛) ⋅ 𝑃(𝐵𝑛) 𝔼(𝑋) = 𝑥1 ⋅ 𝑝1 + 𝑥2 ⋅ 𝑝2 + … + 𝑥𝑛 ⋅ 𝑝𝑛 Strona 31 z 34 15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH • Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna ?̅? z liczb 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 jest równa: • Średnia geometryczna Średnia geometryczna ?̅? z liczb nieujemnych 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 jest równa: • Średnia kwadratowa Średnia kwadratowa ?̅? z liczb 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 jest równa: • Nierówności między średnimi liczbowymi Niech 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 będą liczbami nieujemnymi. Wtedy (przy powyższych oznaczeniach) prawdziwe są nierówności: Ponadto równość pomiędzy tymi średnimi liczbowymi zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑎1 = 𝑎2 = … = 𝑎𝑛. • Średnia ważona Średnia ważona ?̅? z liczb 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛, którym przypisano dodatnie wagi – odpowiednio: 𝑤1, 𝑤2, …, 𝑤𝑛, jest równa: ?̅? = 𝑎1 + 𝑎2 + …+ 𝑎𝑛 𝑛 ?̅? = √𝑎1 ⋅ 𝑎2 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑛 𝑛 ?̅? = √ (𝑎1)2 + (𝑎2)2 + …+ (𝑎𝑛)2 𝑛 ?̅? ≥ ?̅? ≥ ?̅? ?̅? = 𝑤1 ⋅ 𝑎1 + 𝑤2 ⋅ 𝑎2 + …+ 𝑤𝑛 ⋅ 𝑎𝑛 𝑤1 + 𝑤2 + …+ 𝑤𝑛 Strona 32 z 34 • Mediana Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru 𝑛 danych liczbowych 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 jest: – dla 𝑛 nieparzystych: 𝑎 𝑛+1 2 (środkowy wyraz ciągu) – dla 𝑛 parzystych: 1 2 ⋅ (𝑎𝑛 2 + 𝑎𝑛 2 +1) (średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu) • Wariancja i odchylenie standardowe Wariancja 𝜎2 danych liczbowych 𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛 o średniej arytmetycznej ?̅? jest równa: Prawdziwa jest też równość: Odchylenie standardowe 𝜎 jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji: 16. POCHODNA FUNKCJI • Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Pochodna funkcji złożonej 𝜎2 = (𝑎1 − ?̅?) 2 + (𝑎2 − ?̅?) 2 + …+ (𝑎𝑛 − ?̅?) 2 𝑛 𝜎2 = (𝑎1) 2 + (𝑎2) 2 + …+(𝑎𝑛) 2 𝑛 − (?̅?)2 𝜎 = √ (𝑎1 − ?̅?)2 + (𝑎2 − ?̅?)2 + …+ (𝑎𝑛 − ?̅?)2 𝑛 [𝑐 ⋅ 𝑓(𝑥)]′ = 𝑐 ⋅ 𝑓′(𝑥) dla 𝑐 ∈ ℝ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥) [ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] ′ = 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2 gdy 𝑔(𝑥) ≠ 0 [𝑔(𝑓(𝑥))] ′ = 𝑔′(𝑓(𝑥)) ⋅ 𝑓′(𝑥) Centralna Komisja Egzaminacyjna ul. Józefa Lewartowskiego 6, 00-190 Warszawa tel. 22 536 65 00 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku ul. Na Stoku 49, 80-874 Gdańsk tel. 58 320 55 90 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie ul. Adama Mickiewicza 4, 43-600 Jaworzno tel. 32 616 33 99 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie os. Szkolne 37, 31-978 Kraków tel. 12 683 21 99 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży al. Legionów 9, 18-400 Łomża tel. 86 473 71 20 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi ul. Ksawerego Praussa 4, 94-203 Łódź tel. 42 634 91 33 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu ul. Gronowa 22, 61-655 Poznań tel. 61 854 01 60 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie pl. Europejski 3, 00-844 Warszawa tel. 22 457 03 35 [email protected] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna we Wrocławiu ul. Tadeusza Zielińskiego 57, 53-533 Wrocław tel. 71 785 18 94 [email protected]