Pobierz Kinematyka bryły - Notatki - Mechanika - Część 1 i więcej Notatki w PDF z Mechanika tylko na Docsity!

5.3.1. Zmiana uk adów odniesienia

Z ka d! bry"! sztywn! mo emy zwi!za# uk"ad wspó"rz$dnych opisuj!cy ruch tej bry"y w przestrzeni. Dlatego w dalszym ci!gu w kinematyce bry"y b$dziemy si$ zajmowa# g"ównie wzajemnym ruchem uk"adów wspó"rz$dnych. Znaj!c ruch uk"adu wspó"rz$dnych x , y , z (rys. 5.8) sztywno zwi!zanego z bry"! (uk"adu ruchomego) wzgl$dem nieruchomego uk"adu odniesienia x, y, z, b$dziemy mogli obliczy# pr$dko%# i przy%pieszenie wszystkich punktów bry"y. W dalszej ko- lejno%ci wyprowadzimy zale no%ci geometryczne pomi$dzy tymi uk"adami wspó"rz$dnych.

y i

z

x

z

y

x

r O

r

r

i M

k^ j

O

j

k O

Rys. 5.8. Wyznaczenie zale no%ci pomi$dzy uk"adami wspó"rz$dnych

W tym celu ustalmy zale no%ci pomi$dzy wspó"rz$dnymi w obu uk"adach tego samego punktu M. W pierwszej kolejno%ci rozpatrzmy zale no%ci pomi$dzy wersorami obu uk"adów wspó"rz$dnych. Wersory i , j , k ruchomego uk"adu wspó"rz$dnych

x , y ,z zapiszemy w uk"adzie nieruchomym x, y, z:

i %! i # i " i $! i # j " j $! i # k " k. (a)

Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów s! rzutami wersora odpowiednio na osie x, y, z, s! one równie kosinusami kierunkowymi mi$dzy osi! a osiami x, y, z, które oznaczymy :

i

x p (^) x x , p (^) x y ,px z

! " ! " ! " &'

cosx,z p.

cosx,y p ,

cosx,x p ,

x z

xy

xx

i k

i j

i i (b)

Podstawiwszy powy sze oznaczenia do wzoru (a) oraz post!piwszy podobnie z wersorami j i k otrzymamy wzory:

p p p.

p p p ,

p p p ,

zx zy z z

yx yy yz

xx xy xz

k i j k

j i j k

i i j k (5.23)

Widzimy, e do zapisania wersorów ruchomego uk"adu wspó"rz$dnych w uk"adzie nieruchomym nale y zna# dziewi$# kosinusów kierunkowych zestawionych w poni szej tabeli.

x y z i j k x i px x px y px z y j py x py y py z z k pz x pz y pz z

Mi$dzy tymi dziewi$cioma kosinusami kierunkowymi istnieje sze%# zale no%ci. Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).

p p p p p p 0.

p p p p p p 0 ,

p p p p p p 0 ,

p p p 1 ,

p p p 1 ,

p p p 1 ,

zx xx zy xy zz x z

yx zx yy zy yz zz

xx yx xy yy xz yz

zz

2 zy

2 zx

2 yz

2 yy

2 yx

2 xz

2 xy

2 xx

k i

j k

i j

k k

j j

i i

Dla wyznaczenia po"o enia uk"adu wspó"rz$dnych x , y , z wzgl$dem uk"adu x,

y, z wystarczy poda# 6 wielko%ci:

a) trzy wspó"rz$dne wektora r (^) O! x (^) O , y (^) O , zO", b) trzy niezale ne kosinusy kierunkowe. Obecnie wyznaczymy wspó"rz$dne wektora wodz!cego r punktu M w uk"adzie x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, e wektor wodz!cy r tego punktu mo emy zapisa# jako sum$ dwóch wektorów:

r % r (^) O $ r. (5.25)

5.3.2. Pr dko!" i przy!pieszenie dowolnego punktu bry#y w ruchu

ogólnym

Dla rozpatrzenia kinematyki bry y przyjmiemy, tak jak w poprzednim punkcie, dwa uk ady wspó rz!dnych prostok"tnych: jeden nieruchomy o osiach x, y, z i pocz"tku w punkcie O, a drugi o osiach x , y , z i pocz"tku w dowolnym punkcie

(biegunie) O , poruszaj"cy si! razem z bry " (rys. 5.8). Wektor wodz"cy dowolnego punktu M bry y w nieruchomym uk adzie wspó rz!dnych x, y, z jest zgodnie ze wzorem (5.25) sum" dwóch wektorów r (^) O i r ,których znaczenie omówiono w p. 5.3.1:

r! r O (^) " r.

Wiadomo z kinematyki punktu, #e pr!dko$% punktu jest pochodn" wektora wodz"cego r wzgl!dem czasu t (wzór 5.4). Zatem szukan" pr!dko$% punktu M wyra#a zale#no$%:

v

r (^) r ! "

d (^) d d t

O d t

Pochodna wektora r O (^) wzgl!dem czasu jest pr!dko$ci" punktuO :

v

r O!^ O^!^ O^ i^ "^ O^ j " O

d dt

dx dt

dy dt

dz dt

k. (a)

Po zró#niczkowaniu wzgl!dem czasu wzoru (5.27) otrzymamy:

d dt

dx dt

dy dt

dz dt

x d dt

y d dt

z d dt

r (^)! i " j " k " i (^) " j (^) " k (^). (b)

Poniewa# wektor jest wektorem "cz"cym dwa punkty bry y sztywnej, wi!c jego modu jest sta y,

r r !const , a co za tym idzie, jego wspó rz!dne s"

wielko$ciami sta ymi niezale#nymi od czasu. Zatem ich pochodne wzgl!dem czasu s" równe zeru.

x , y ,z

dx dt

dy dt

dz dt

Wzór (b) przyjmuje wi!c posta%:

d dt

x d dt

y d dt

z d dt

r (^)! i (^) " j (^) " k (^). (c)

Wyst!puj"ce w tym wzorze pochodne wzgl!dem czasu wersorów i , j , k uk adu

ruchomego s" miar" zmiany ich kierunków w czasie, poniewa# ich modu y s" sta e. Mo#na wykaza% [9], #e pochodne te mo#na wyrazi% za pomoc" wzorów:

$ k

k

$ j

j

$ i

i

dt

d

dt

d

dt

d

Wektor $ jest pr!dko$ci" k"tow" charakteryzuj"c" zmiany kierunków osi

w czasie. W ruchomym uk adzie wspó rz!dnych pr!dko$% k"tow" $ mo#na wyrazi% za pomoc" wspó rz!dnych:

x ,y,z

$ !$ x i " $ y j "$z k. (d)

Po podstawieniu zale#no$ci (5.31) do wzoru (c) otrzymamy:

% $ i & % $ j & % $ k & $ % i j k

r

! x # "y # "z #! #x "y "z

dt

d

&.

Wyra#enie wyst!puj"ce w nawiasie, zgodnie z zale#no$ci" (5.27), jest wektorem r. Zatem

$ r

r

d t

d

. (e)

Po podstawieniu do wzoru (5.30) wzorów (a) i (e) otrzymujemy ostatecznie wzór na pr!dko$% dowolnego punktu M bry y w ruchu ogólnym.

v! v O " $ # r. (5.32)

Z otrzymanego wzoru wynika, #e pr!dko$% dowolnego punktu M bry y jest równa sumie pr!dko$ci v (^) O dowolnie obranego bieguna O , przyj!tego za

pocz"tek ruchomego uk adu wspó rz!dnych, oraz iloczynu wektorowego pr!dko$ci k"towej $ i promienia wodz"cego

$ # r

r punktu M w ruchomym uk adzie wspó rz!dnych.

Na podstawie wzoru (5.32) mo#emy ponadto sformu owa% nast!puj"ce wnioski: a) Pr!dko$% punktu O zale#y od wyboru tego punktu. b) Pr!dko$% k"towa $ nie zale#y od wyboru punktu O , lecz jedynie od zmiany kierunków osi x , y ,z w czasie.

c) Mimo zmiany punktu O pr!dko$% punktu M nie ulegnie zmianie, poniewa#

zmieni si! równie# odpowiednio wyra#enie $ # r.

5.3.3. Ruch post powy

Ruch bry y sztywnej nazywamy post!powym, je"eli dowolna prosta sztywno zwi#zana z bry # pozostaje w czasie ruchu stale równoleg a do po o"enia pocz#tkowego.

Z powy szej definicji wynika, e ka da z osi uk!adu wspó!rz"dnych

przedstawionego na rys. 5.8 b"dzie mia!a w ruchu post"powym ten sam kierunek. Podobnie wektor nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem b"dzie on wektorem sta!ym niezale nym od czasu:

x , y ,z

r! O M r! const,wi"c jego pochodna we wzorze (5.30) b"dzie równa zeru. St#d pr"dko$% dowolnego punktu bry!y wyra a zale no$%:

v

r !! v

d dt

O O.^ (5.35)

Po zró niczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przy$pieszenie.

a

r v !!! a

d dt

d dt

O O O

2 2.^ (5.36)

Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu post"powego wynikaj# nast"puj#ce wnioski: a) Wszystkie punkty bry!y sztywnej w ruchu post"powym maj# te same pr"dko$ci v (^) O i przy$pieszenia a (^) Ow tej samej chwili czasu.

b) Tory wszystkich punktów bry!y maj# ten sam kszta!t. c) Dla opisu ruchu post"powego bry!y wystarczy poda% równanie ruchu jednego

punktu bry!y, np. pocz#tku ruchomego uk!adu wspó!rz"dnych O´, r O! r O " t .#

5.3.4. Ruch obrotowy

Ruch bry y sztywnej nazywamy obrotowym, je!eli istnieje jedna prosta zwi"zana z bry ", której punkty w czasie ruchu pozostaj" w spoczynku.

Za ó!my, !e osi" obrotu jest o#. Dla u atwienia rozwa!a$ przyjmiemy uk ad wspó rz%dnych zwi"zany z bry " tak, aby o#

z

z pokrywa a si% z osi" z uk adu nieruchomego oraz aby jego pocz"tek O znajdowa si% w punkcie O, jak na rys. 5.9. Poniewa! wersor k = const, co wynika z pokrywania si% osi z osi" obrotu, jego pochodna wzgl%dem czasu jest równa zeru. Zatem z wyra!enia:

z

dt

d

! " k!

k

wynika, !e wektor # le!y na osi obrotu. Z osi" obrotu pokrywa si% równie! wektor przy#pieszenia k"towego $. W tej sytuacji wektory te mo!na zapisa& w nast%puj"cy sposób:

x

x

y

y

z=z

O=O

r = r (^) M

$

%

%

Rys. 5.9. Ruch obrotowy bry y sztywnej wokó sta ej osi obrotu

! #z k !# k oraz! !'z k !' k. (5.37)

Je!eli k"t mi%dzy osiami sta " x i ruchom" x oznaczymy przez %, to zale!no#& % = %(t) jest równaniem ruchu obrotowego bry y wokó sta ej osi. Mo!na wykaza& [9], !e pochodna wzgl%dem czasu k"ta obrotu % jest modu em pr%dko#ci k"towej, a druga pochodna modu em przy#pieszenia k"towego:

2

2

d t

d

dt

d

dt

d %

Z rysunku 5.9 wida&, !e promie$ wodz"cy punktu M jest równy r , poniewa!. Tym samym

r r (^) O! OO! 0 v (^) O! 0 i a O !0. Uwzgl%dniwszy

powy!sze zale!no#ci we wzorach na pr%dko#& (5.32) i przy#pieszenie (5.33) punktu w ruchu ogólnym, otrzymamy wzory na pr%dko#& i przy#pieszenie dowolnego punktu bry y w ruchu obrotowym wokó sta ej osi obrotu:

v! " r , (5.39)